Art. 108 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 132 OG: Zulässigkeit neuer Akten. - Nach Ablauf der Rechtsmittelfrist können - ausser im Rahmen eines zweiten Schriftenwechsels - keine neuen Akten mehr eingebracht werden (Änderung der Rechtsprechung). - Vorzubehalten ist immerhin der Fall, dass solche Aktenstücke neue erhebliche Tatsachen oder entscheidende Beweismittel im Sinne von Art. 137 lit. b OG darstellen und als solche eine Revision des Gerichtsurteils rechtfertigen könnten.
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A.- A. a travaillé en qualité de chef du service de montage de la menuiserie-ébénisterie X SA. A ce titre, il était assuré par la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA) pour les accidents professionnels et non professionnels.
Le 11 juillet 1996, A. fit une chute dans un échafaudage d'une hauteur de trois mètres, avec réception sur le dos. Il fut transporté à l'Hôpital Y. (...)
La CNA a pris en charge le cas et alloué à A. les prestations dues pour les suites de l'accident du 11 juillet 1996. (...)
Sur la base d'un rapport du 20 mars 1998 du docteur H. (...) et d'une appréciation médicale du 7 mai 1998 du docteur I. (...), la CNA, par décision du 5 juin 1998, a avisé A. que les troubles dont il était atteint n'étaient plus en relation de causalité avec l'accident du 11 juillet 1996. Elle mettait fin, le 21 juin 1998, au paiement de l'indemnité journalière et des frais de traitement.
L'assuré a formé opposition contre cette décision. Par décision du 3 septembre 1998, la CNA a rejeté l'opposition.
B.- Par jugement du 11 mars 1999, le Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel a rejeté le recours formé par A. contre cette décision.
C.- Dans un mémoire du 22 avril 1999, A. interjette recours de droit administratif contre ce jugement, en concluant, sous suite de dépens, à l'annulation de celui-ci et de la décision sur opposition du 3 septembre 1998. A titre principal, il invite le Tribunal fédéral des assurances à statuer sur le fond, la CNA devant être condamnée à continuer le paiement des frais de traitement et des indemnités journalières. A titre subsidiaire, il demande que la cause soit renvoyée à la CNA pour nouvelle décision au sens des considérants. Il dépose plusieurs documents, dont une attestation médicale du docteur D., du 21 avril 1999. Il invoque l'ensemble du dossier de la CNA et sollicite l'avis d'un expert médical indépendant.
La CNA renonce à répondre au recours, tout en demandant que le jugement attaqué soit confirmé. L'Office fédéral des assurances sociales ne s'est pas déterminé.
D.- Par lettre du 18 octobre 1999, A. a produit un premier "complément" au recours, en y joignant copies de pièces extraites de son dossier de l'assurance-invalidité, dont une expertise rhumatologique du docteur J., spécialiste FMH en médecine interne & rhumatologie, du 6 juillet 1999.
Dans ses déterminations du 17 mai 2000, la CNA déclare qu'elle persiste dans ses conclusions libératoires. Se référant à l'expertise rhumatologique du 6 juillet 1999, elle relève que l'inorganicité des troubles avoisine la certitude et que l'incapacité de travail de l'assuré, essentiellement d'origine psychique, n'est donc pas en relation de causalité adéquate avec l'accident du 11 juillet 1996.
Dans un deuxième "complément", du 8 juin 2000, A. a communiqué à la Cour de céans une décision du 24 mai 2000, par laquelle l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel lui a alloué une rente entière d'invalidité à partir du 1er juillet 1997 pour une invalidité de 70%.
Extrait des considérants:
Aux termes de l'art. 108 al. 2 en corrélation avec l'art. 132 OJ, le mémoire de recours indique les conclusions, motifs et moyens de preuve et porte la signature du recourant ou de son mandataire; celui-ci y joint l'expédition de la décision attaquée et les pièces invoquées comme moyens de preuve, lorsqu'elles se trouvent en ses mains.
Selon sa jurisprudence, le Tribunal fédéral des assurances prend en considération, dans les procédures soumises à l'art. 132 OJ, les écritures et moyens de preuve présentés après l'expiration du délai de recours, lorsque ceux-ci lui paraissent pertinents (VSI 2000 p. 310 sv. ad let. C et consid. 2b; RCC 1986 p. 202 sv. consid. 3b, 1980 p. 415 consid. 2). En revanche, le Tribunal fédéral se montre plus strict et n'admet pas la production de pièces nouvelles après l'échéance du délai de recours, sauf dans le cadre d'un deuxième échange d'écritures (ATF 109 Ib 249 consid. 3c; arrêt H. du 25 février 2000 [2A.459/1999] et arrêt non publié B. du 10 octobre 1997 [2A.616/1996]).
3.a) Pour qu'un revirement de jurisprudence soit compatible avec le principe de l'égalité de traitement que l'art. 8 al. 1 Cst. a repris de l'art. 4 al. 1 aCst. sans en modifier la portée matérielle, il faut qu'il repose sur des motifs objectifs, à savoir une connaissance plus approfondie de l'intention du législateur, un changement des circonstances extérieures ou l'évolution des conceptions juridiques. Les motifs doivent être d'autant plus sérieux que la jurisprudence est ancienne. Si elle se révèle erronée ou que son application a conduit à des abus répétés, elle ne saurait être maintenue (ATF 126 V 40 consid. 5a et les références, ATF 126 I 129 consid. 5 et les références).
b) Vu qu'il existe une pratique divergente entre les deux tribunaux fédéraux, les motifs de la jurisprudence du Tribunal fédéral des assurances méritent d'être reconsidérés. En effet, même dans les procédures où la Cour de céans n'est pas liée par la constatation de l'état de fait (art. 132 let. b OJ), il ne se justifie plus de déroger à la règle de l'art. 108 al. 2 OJ d'après laquelle le mémoire de recours doit indiquer, notamment, les moyens de preuve. La production, après l'échéance du délai de recours (art. 106 al. 1 OJ), de nouveaux moyens de preuve, non annoncés et/ou non requis, n'est, en principe, pas admissible.
Le sens littéral de l'art. 108 al. 2 OJ est clair. Que ce soit le texte français - qui parle des pièces invoquées comme moyens de preuve, lorsqu'elles se trouvent en mains du recourant -, allemand - "die als Beweismittel angerufenen Urkunden ..., soweit der Beschwerdeführer sie in Händen hat" - ou italien - "documenti indicati come mezzi di prova, se sono in possesso del ricorrente" -, il ne peut s'agir que de pièces qui existent déjà.
Ce sens littéral correspond à la volonté du législateur de réunir, d'adapter et de compléter dans cette disposition de la loi les prescriptions réglant les documents à produire (Message du Conseil fédéral du 24 septembre 1965 concernant l'extension de la juridiction administrative fédérale, FF 1965 II 1301).
Par pièces (voir aussi art. 33 PCF), il faut entendre les titres au sens des art. 50 ss PCF en liaison avec l'art. 40 OJ (OSCAR VOGEL, Grundriss des Zivilprozessrechts und des internationalen Zivilprozessrechts der Schweiz, 6ème édition, Berne 1999, p. 279 ss; MEYER-BLASER, Die Rechtspflege in der Sozialversicherung, in: BJM 1989 p. 29), à savoir les titres que le justiciable (art. 50 PCF) ou les tiers (art. 51 PCF) détiennent et qu'ils sont tenus de produire (MAX KUMMER, Grundriss des Zivilprozessrechts, 4ème édition, Berne 1984, p. 132; FRANK/STRÄULI/MESSMER, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3ème édition, Zurich 1997, Vorbemerkungen zu § 183 ss ch.m. 4 p. 528, § 183 ch.m. 5 p. 531 et § 184 ch.m. 1 p. 533). Il ne saurait s'agir de preuves futures, notamment d'expertises.
Il n'est donc pas admissible qu'une partie annonce son intention de produire un futur moyen de preuve après l'expiration du délai de recours ou qu'elle demande à cette fin la suspension de la procédure (arrêt G. du 6 novembre 2000 [I 158/00]). Les pièces invoquées comme moyens de preuve ne peuvent être que des titres qui existent déjà, susceptibles d'être déposés devant le tribunal dans le délai légal (art. 106 al. 1 OJ), qui n'est pas extensible (ATF 126 III 31 consid. 1b).
c) La voie suivie jusqu'ici par le Tribunal fédéral des assurances peut également être une source d'inégalité de traitement, dans la mesure où elle favorise les justiciables qui produisent hors délai de nouvelles pièces par rapport à ceux qui s'en tiennent à la règle de l'art. 108 al. 2 OJ. En outre, les nouvelles pièces produites étant souvent des rapports médicaux qui tiennent compte de l'évolution de l'état de santé de l'assuré à partir du moment où la décision litigieuse a été rendue, elle a pour défaut de rendre problématiques les règles sur la révision (art. 41 LAI, art. 22 LAA).
4.a) Pour ces motifs pertinents, il se justifie d'aligner dorénavant la jurisprudence du Tribunal fédéral des assurances sur celle du Tribunal fédéral et de ne plus admettre la production de pièces nouvelles après l'échéance du délai de recours, sauf dans le cadre d'un deuxième échange d'écritures (ATF 109 Ib 249 consid. 3c déjà cité, ATF 99 Ib 89 consid. 1; d'avis contraire lorsque l'autorité attaquée est une autorité administrative: KÖLZ/HÄNER, Verwaltungsverfahren und Verwaltungsrechtspflege des Bundes, 2e édition, Zurich 1998, no 944 p. 334 et ATTILIO R. GADOLA, Das verwaltungsinterne Beschwerdeverfahren, Zurich 1991, p. 385 ss).
Cela fait partie de l'ordre de la procédure. Un deuxième échange d'écritures n'a lieu qu'exceptionnellement (art. 110 al. 4 OJ) et seulement si le juge délégué ou la Chambre du tribunal le décide (ATF 119 V 323 consid. 1 et les références).
b) Il convient toutefois de réserver les cas où des pièces produites après l'échéance du délai de recours ou la clôture du deuxième échange d'écritures constituent des faits nouveaux importants ou des preuves concluantes au sens de l'art. 137 let. b OJ et pourraient, le cas échéant, justifier la révision de l'arrêt du tribunal. De telles pièces doivent être prises en considération, nonobstant leur production hors délai.
5.a) L'expertise rhumatologique du docteur J. du 6 juillet 1999, dont le recourant reprend dans son écriture du 18 octobre 1999 les conclusions en ce qui concerne la diminution de sa capacité de travail sur le plan psychique, est largement postérieure à l'échéance du délai de recours. Il en va de même de la décision du 24 mai 2000 par laquelle l'office AI alloue au recourant une rente entière d'invalidité à partir du 1er juillet 1997, pour une incapacité de gain de 70%.
Il faut dès lors examiner s'il s'agit là de faits nouveaux importants ou de preuves concluantes au sens de l'art. 137 let. b OJ dans le cadre du présent procès qui a pour objet le point de savoir si les troubles dont est atteint le recourant ne sont plus en relation de causalité naturelle et adéquate avec l'accident du 11 juillet 1996, l'intimée ayant pour ce motif mis fin le 21 juin 1998 au paiement de l'indemnité journalière et des frais de traitement.
b) Sont "nouveaux" au sens de l'art. 137 let. b OJ, les faits qui se sont produits jusqu'au moment où, dans la procédure principale, des allégations de faits étaient encore recevables, mais qui n'étaient pas connus du requérant malgré toute sa diligence. En outre, les faits nouveaux doivent être importants, c'est-à-dire qu'ils doivent être de nature à modifier l'état de fait qui est à la base de l'arrêt entrepris et à conduire à un jugement différent en fonction d'une appréciation juridique correcte. Les preuves, quant à elles, doivent servir à prouver soit les faits nouveaux importants qui motivent la révision, soit des faits qui étaient certes connus lors de la procédure précédente, mais qui n'avaient pas pu être prouvés, au détriment du requérant. Si les nouveaux moyens sont destinés à prouver des faits allégués antérieurement, le requérant doit aussi démontrer qu'il ne pouvait pas les invoquer dans la procédure précédente. Une preuve est considérée comme concluante lorsqu'il faut admettre qu'elle aurait conduit le juge à statuer autrement s'il en avait eu connaissance dans la procédure principale. Ce qui est décisif, c'est que le moyen de preuve ne serve pas à l'appréciation des faits seulement, mais à l'établissement de ces derniers. Ainsi, il ne suffit pas qu'un nouveau rapport médical donne une appréciation différente des faits; il faut des éléments de fait nouveaux, dont il résulte que les bases de la décision entreprise comportaient des défauts objectifs. Pour justifier la révision d'une décision, il ne suffit pas que le médecin ou expert tire ultérieurement, des faits connus au moment du jugement principal, d'autres conclusions que le tribunal. Il n'y a pas non plus motif à révision du seul fait que le tribunal paraît avoir mal interprété des faits connus déjà lors de la procédure principale. L'appréciation inexacte doit être la conséquence de l'ignorance ou de l'absence de preuve de faits essentiels pour le jugement (ATF 110 V 141 consid. 2 et 293 consid. 2a, ATF 108 V 171 consid. 1; voir aussi ATF 121 IV 322 consid. 2, ATF 118 II 205 consid. 5).
c) L'expertise rhumatologique du docteur J., du 6 juillet 1999, porte sur la capacité de travail du recourant sur le plan psychique. Il en ressort qu'il présente une incapacité de travail dans toute profession lucrative, pour des motifs psychiatriques essentiellement, dont le taux était de 70% lors de l'expertise.
Cette expertise n'est cependant pas de nature à entraîner une modification de l'arrêt dans un sens favorable au recourant (POUDRET, Commentaire de la loi fédérale d'organisation judiciaire, vol. V, p. 32, n. 2.3.2 ad art. 137). Bien au contraire, puisque le docteur J. a posé le diagnostic de "comportement-maladie" pathologique et histrionique chez un assuré présentant une probable personnalité de type borderline. Ce diagnostic, quand bien même l'expertise ne portait pas sur le point de savoir si l'incapacité de travail d'origine psychique est imputable à l'accident du 11 juillet 1996, ne parle pas en faveur de la causalité naturelle.
En conséquence, l'écriture du recourant du 18 octobre 1999 et la décision de l'office AI du 24 mai 2000, qui se fondent sur cette expertise pour conclure à une invalidité médico-théorique de 70%, ne peuvent être prises en considération dans la présente procédure.