Erwägungen
I.
In der Berufungsstreitsache der Parteien erstattete die Gesuchstellerin am 16. Januar 2007 die Berufungsantwort (act. B/10) und stellte gleichzeitig den Antrag, den Gesuchsgegner, gegen welchen Verlustscheine bestünden, ohne vorherige Anhörung zur Sicherstellung der Parteikosten von voraussichtlich rund Fr. 12'040.- zu verpflichten (act. B/12). Dem Antrag wurde stattgegeben und dem Gesuchsgegner mit Entscheid vom 24. Januar 2007 (act. B/14; ZZ.2007.5-P3) die Verpflichtung auferlegt, für Gerichts- und Parteikosten innert zehn Tagen eine Sicherheit von Fr. 13'000.- zu leisten. Diese Frist wurde am 9. Februar 2007 bis 10. März 2007 erstreckt (act. B/18). Ein weiteres Fristerstreckungsgesuch - mit der Begründung, es bestehe Grund zur Annahme, dass die Kautionsverfügung aufzuheben sei (act. B/19) - wurde am 14. März 2007 abgewiesen und dem Gesuchsgegner stattdessen eine Nachfrist bis 30. März 2007 gesetzt mit der Androhung, dass nach unbenützter Frist auf die Berufung nicht eingetreten würde, sowie mit dem Hinweis, dass die Kautionsverfügung auch später noch in Wiedererwägung gezogen werden könne (act. B/22). Die Sicherheit wurde in der Folge nicht geleistet; stattdessen verlangte der Gesuchsgegner mit Wiedererwägungsgesuch vom 30. März 2007 die Aufhebung der Kautionsverfügung vom 24. Januar 2007 (act. B/23). Mit Eingabe vom 4. April 2007 (act. B/27) reichte er - wie zuvor angeboten - verschiedene Unterlagen nach.
Am 11. April 2007 stellte der Präsident der III. Zivilkammer fest, dass innert der Nachfrist bis 30. März 2007 weder die Kaution geleistet noch um Erstreckung der Nachfrist oder um Sistierung ersucht, sondern lediglich das Begehren um Wiedererwägung der Kautionsverfügung gestellt worden war. Für eine allfällige Stellungnahme zu diesem Befund setzte er den Parteien Frist bis 27. April 2007 (act. B/29).
Während der Gesuchsgegner mit Stellungnahme vom 13. April 2007 (act. B/30) am Wiedererwägungsgesuch festhielt, ohne sich zur Fristeinhaltung zu äussern, beantragte die Gesuchstellerin mit Eingabe vom 4. Mai 2007 (act. B/35), dass auf die Berufung nicht einzutreten, eventualiter das Wiedererwägungsgesuch abzuweisen sei.
Am 8. Mai 2007 teilte der Präsident der III. Zivilkammer den Parteien mit, dass als nächstes - ohne Durchführung einer Verhandlung - ein Teilentscheid zur Eintretensfrage zu fällen sei (act. B/37); die Parteien verzichteten auf eine weitere Eingabe zu dieser Frage.
Anlässlich der Beratung befand die III. Zivilkammer, dass in Anlehnung an die Praxis bei Einreichung eines Gesuchs um unentgeltliche Prozessführung die angesetzte Frist zur Erbringung der Sicherheitsleistung auch als aufgehoben zu gelten habe, wenn innert der Frist ein Wiedererwägungsgesuch gestellt werde (hierzu vgl. LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, Kommentar zur Zivilprozessordnung des Kantons St. Gallen, Bern 1999, N 8d zu Art. 279 ZPO). Mit Schreiben vom 2. August 2007 (act. B/39) wurde den Parteien daher mitgeteilt, dass sich die Ausfällung eines separaten Eintretensentscheids erübrige und zunächst über das Wiedererwägungsgesuch zu befinden sei. Gleichzeitig wurde ihnen eine Aktennotiz über ein Telefongespräch (act. B/38) zugestellt, welches am Vortag mit dem Betreibungsbeamten von Sennwald geführt worden war.
II.
Gemäss Art. 279 Abs. 2 ZPO kann die Verfügung einer Sicherheitsleistung nach Eintreten, Änderung oder Wegfall der Voraussetzungen jederzeit erlassen, geändert oder aufgehoben werden.
Im Entscheid vom 24. Januar 2007 wurde eine Sicherheitsleistung verfügt, weil der Gesuchsgegner gemäss Registerauszug des Betreibungsamtes vom 15. Januar 2007 mit drei Verlustscheinen im Betrag von Fr. 54'276.65 verzeichnet war (vgl. Beilage 1 zum Gesuch um Sicherheitsleistung [act. B/12]).
Im Wiedererwägungsgesuch wurde ausgeführt, dass sämtliche Verlustscheine zwischenzeitlich gelöscht worden seien. Dies geht auch aus dem vom Gesuchsgegner nachträglich eingeholten Verlustscheinregisterauszug (Beilage 5 zum Wiedererwägungsgesuch) hervor, der per 27. März 2007 keine offenen Verlustscheine mehr ausweist. Nach dem Gesuchsgegner ist die Löschung vor dem 27. März 2007 fälschlicherweise nicht erfolgt, obwohl die Forderungen, auf denen die Verlustscheine gründeten, schon längst nicht mehr bestanden hätten (Wiedererwägungsgesuch [act. B/23], 3 Ziff. 4).
Für die Beurteilung, ob ein Kautionsgrund vorliegt, ist auf die Sachlage zum Zeitpunkt des Kautionsentscheids abzustellen (vgl. LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, a.a.O., N 1d zu Art. 276 ZPO und N 7a zu Art. 279 ZPO). Vorliegend steht fest, dass bei Erlass des Kautionsentscheids Verlustscheine in der Höhe von total Fr. 54'276.65 im Betreibungsregister angeführt waren.
Nach Lehre und Rechtsprechung fehlt es an einem Kautionsgrund, wenn ein Verlustschein durch den Schuldner bezahlt bzw. ein Gläubiger vollumfänglich befriedigt worden ist, aber die Löschung im Betreibungsregister unterblieb (vgl. ZR 67 [1968] Nr. 49; ZR 53 [1954] Nr. 40; STUTZER, Die Kautionspflicht im ordentlichen zürcherischen Zivilprozess, Diss. Zürich 1980, 84). Registereintrag und Verlustschein sind in diesem Fall nicht mehr geeignet, die Zahlungsunfähigkeit des Schuldners - die ja weggefallen ist - darzutun (vgl. ZR 53 [1954] Nr. 40 S. 114 f., 115).
Vorliegend hat der Gesuchsgegner die durch Verlustschein beurkundeten Forderungen jedoch nicht bezahlt. Von Seiten der Gläubiger wurden vielmehr Forderungsverzichte abgegeben. Dies kann für die Umstossung der Vermutung der Zahlungsunfähigkeit nach Art. 276 lit. b ZPO aber nicht genügen.
Hinzu kommt, dass der Verzicht mit Bezug auf die mit Verlustschein Nr. 50 verurkundete Forderung, welcher sich im Übrigen auf einen geringeren Betrag bezieht (vgl. auch gst. Stellungnahme [act. B/35, 4 Ziff. IV.B.11]), erst am 25. März 2007 - und damit deutlich nach Erlass der Kautionsverfügung - abgegeben worden ist (vgl. Beilage 8 zum Wiedererwägungsgesuch). Dass die Verlustscheingläubigerin allenfalls bereits zu einem früheren Zeitpunkt nicht mehr an der Forderung interessiert war - was der Gesuchsgegner geltend macht (vgl. Ergänzung zum Wiedererwägungsgesuch [act. B/27], 1) -, steht nicht fest und ist daher nicht weiter von Bedeutung. Damit ergibt sich, dass, auch wenn - entgegen der hier vertretenen Auffassung - angenommen werden sollte, dass die Kautionspflicht trotz eines entsprechenden Betreibungsregistereintrags insoweit entfällt, als ein Verzicht auf die durch Verlustschein verurkundeten Forderungen bereits vor Erlass der Kautionsverfügung erklärt worden ist, jedenfalls dieser Verlustschein (noch) bestand, womit der Kautionsgrund gemäss Art. 276 lit. b ZPO aber bereits erfüllt ist.
Ist aber ohnehin vom Bestehen eines Kautionsgrundes auszugehen, kann offen bleiben, ob das von A im Rahmen eines Abänderungsverfahrens in Scheidungssachen vergleichsweise erteilte Einverständnis, dass die Pflicht des Gesuchsgegners zur Leistung eines nachehelichen Unterhaltsbeitrages an sie aufgehoben wird (vgl. Beilage 10 zum Wiedererwägungsgesuch, S. 2 Ziff. 4.1), tatsächlich - und wie vom Betreibungsbeamten geltend gemacht (vgl. act. B/38) - auch einen Verzicht auf die aufgelaufenen und erfolglos in Betreibung gesetzten nachehelichen Unterhaltsbeiträge umfasst.
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