Erwägungen
I.
Mit Datum vom 9. Februar 2007 setzte A (Gläubigerin und Beschwerdegegnerin) gegenüber B (Schuldner und Beschwerdeführer) einen Forderungsbetrag von Fr. 22'045.85 zuzüglich Zins zu 5% seit 1.8.06 in Betreibung. Forderungsgrund sind offene Unterhaltsbeiträge und Kinderalimente gemäss vom Bundesgericht bestätigtem kantonsgerichtlichem Eheschutzentscheid vom 27. Januar 2006, bezogen auf den Zeitraum vom 15. Dezember 2005 bis 28. Februar 2007 und unter Berücksichtigung eines früheren Rechtsöffnungsentscheids des Präsidenten des Kreisgerichts vom 13. November 2006 sowie bestimmter, vom Schuldner im Vorfeld geltend gemachter Verrechnungspositionen (kläg. act. 7; kläg. act. 2, 4 und 5). Gegen den vom Betreibungsamt in der Betreibung Nr. 1010X ausgestellten Zahlungsbefehl vom 12. Februar 2007 erhob der Schuldner am 14. Februar 2007 Rechtsvorschlag.
Die Gläubigerin gelangte am 10. Mai 2007 an das Kreisgerichtspräsidium und verlangte für den geltend gemachten Betrag zuzüglich Betreibungskosten die definitive Rechtsöffnung (vi-act. 1). Der Präsident des Kreisgerichts gab dem Schuldner davon Kenntnis und räumte ihm Gelegenheit zur schriftlichen Stellungnahme ein; eine mündliche Verhandlung sei nicht vorgesehen (vi-act. 2). Der Schuldner verlangte mit Eingabe vom 31. Mai 2007 die Abweisung des Rechtsöffnungsbegehrens und beantragte die Durchführung einer mündlichen Verhandlung (vi-act. 7; vgl. auch vi-act. 3 und 4). Am 18. Juni 2007 nahm die Gläubigerin auf Einladung des Gerichts und nach Gewährung einer entsprechenden Fristverlängerung ihrerseits nochmals Stellung und reichte ihre Kostennote ein (vi-act. 6, 8 und 9). Am 25. Juni 2007 erteilte der Präsident des Kreisgerichts die definitive Rechtsöffnung wie beantragt. Die Gerichtskosten von Fr. 350.- wurden dem Schuldner auferlegt und unter Einräumung des Rückgriffsrechts bei der Gläubigerin erhoben. Der Gläubigerin wurde weiter eine Parteientschädigung von Fr. 1'790.50 zugesprochen.
Gegen diesen Entscheid erhebt der Schuldner mit Eingaben vom 6./27. Juli 2007 Rechtsverweigerungsbeschwerde (B/1 und 7). Er beantragt die Aufhebung des Entscheids. Vorinstanz und Beschwerdegegnerin verlangen in ihren Stellungnahmen vom 16. Juli 2007 (B/5) bzw. 15. August 2007 (B/15) die kostenfällige Abweisung der Beschwerde.
Aufgrund der Sachdarstellung des Beschwerdeführers und dessen Antrag auf Akteneinsicht wurden ihm seitens des Gerichts am 8. August 2007 die vorinstanzliche Stellungnahme und die Kostennote der Beschwerdegegnerin vom 18. Juni 2007 zur Kenntnisnahme zugestellt (B/10). In diesem Zusammenhang wurde dem Beschwerdeführer für allfällige ergänzende Ausführungen zu seiner Beschwerde am 13. August 2007 Frist bis am 24. August 2007 angesetzt (B/13). Nach Einsichtnahme in die weiteren Verfahrensakten (B/18) liess sich der Beschwerdeführer mit Datum vom 17. August 2007 dazu vernehmen (B/19). Am 26. August 2007 reichte der Beschwerdeführer eine weitere Eingabe ein, in welcher er sich zur Stellungnahme der Beschwerdegegnerin vom 15. August 2007 äussert (B/23).
II.
Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 17. August 2007 ist zuzulassen, da sie, wie sich nachfolgend ergibt, zur Wahrung des Anspruchs auf rechtliches Gehör aus dessen Sicht notwendig war. Demgegenüber ist seine Eingabe vom 26. August 2007 aus dem Recht zu weisen. Auch wenn, worauf sogleich näher einzugehen ist, ein verfassungsrechtlicher Anspruch auf Replik besteht, sind bei dessen Ausübung die einschlägigen Anforderungen des Zivilprozessrechts im Auge zu behalten. In Analogie zu Art. 164 ZPO wäre zumindest zu verlangen, dass im Detail dargelegt wird, weshalb es der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, sich nach Abschluss des Schriftenwechsels nochmals äussern zu können (vgl. LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, Kommentar zur Zivilprozessordnung des Kantons St. Gallen, N 3b zu Art 164). Die Eingabe des Beschwerdeführers stellt demgegenüber in der Sache einfach eine weitere Stellungnahme dar, welche die gesetzliche Regelung des Schriftenwechsels unterläuft.
III.
b) Es muss davon ausgegangen werden, dass das Vorbringen des Beschwerdeführers in tatsächlicher Hinsicht zutrifft. Im vorinstanzlichen Verfahren nahm der Beschwerdeführer am 31. Mai 2007 zum Rechtsöffnungsbegehren Stellung. Seine Eingabe wurde der Gegenseite gleichentags mit der Aufforderung zur Stellungnahme innert fünf Tagen zugestellt (vi-act. 7). Nach Gewährung einer entsprechenden Fristverlängerung (vi-act. 6) reichte die Beschwerdegegnerin mit Datum vom 18. Juni 2007 eine Stellungnahme im Doppel sowie eine Kostennote ein (vi-act. 8, S. 6 unten; vi-act. 9). In den vorinstanzlichen Verfahrensakten findet sich die angesprochene Stellungnahme ebenfalls im Doppel mit Originalunterschriften des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin wieder. Es ist aufgrund der erstinstanzlichen Verfahrensakten bereits nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer davon Kenntnis erlangt hätte, dass der Beschwerdegegnerin die Möglichkeit zur Stellungnahme gegeben und ihr eine entsprechende Fristverlängerung eingeräumt wurde. Insbesondere wurde aber dem Beschwerdeführer offenbar die Eingabe der Gegenseite vom 18. Juni 2007 nicht zugestellt, sondern zusammen mit der gleichzeitig eingereichten Kostennote in den Gerichtsakten abgelegt. Es ist auch nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer anderweitig von diesen Vorgängen und Aktenstücken Kenntnis erlangt hätte. Vorinstanz und Beschwerdegegnerin äussern sich nicht zu den im Schreiben des Gerichts vom 8. August 2007 gemachten Feststellungen und zu den vom Beschwerdeführer zuerst vermutungsweise geäusserten (vgl. Beschwerde, 3) und dann aufgrund erfolgter Akteneinsicht konkretisierten Einwänden (vgl. zweite Beschwerdeergänzung, 2 f.).
c) Die Rechtsprechung leitet aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) ein Replikrecht ab. Danach muss die Partei vom Gericht über den Eingang von Eingaben von Verfahrensbeteiligten orientiert werden und muss sie die Möglichkeit erhalten, sich dazu zu äussern. Dabei ist bedeutungslos, ob die fragliche Eingabe neue und erhebliche Gesichtspunkte enthält. Es liegt an der Partei zu entscheiden, ob sie eine Äusserung für erforderlich hält (BGE 133 I 98 ff.; BGE 133 I 100 ff.). Die Verletzung des rechtlichen Gehörs ist formeller Natur und führt abgesehen von einer hier nicht gegebenen Möglichkeit der Heilung zur Aufhebung des entsprechenden Entscheids (LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, a.a.O., N 3a zu Art. 55 und N 3d zu Art. 254, mit Hinweisen auf Lehre und Praxis).
Indem die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin von der Vorinstanz nicht zugestellt wurde, hat diese den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt. Der Entscheid ist damit aufzuheben. Es braucht nicht weiter darauf eingegangen zu werden, ob auch Anspruch auf Zustellung der Honorarnote bestanden hätte (vgl. Art. 7 HonO).
d) Trotz dieses Verfahrensausgangs erscheint es als angebracht, nachfolgend kurz auf die weiteren formellen Rügen des Beschwerdeführers einzugehen.
a) Art. 30 Abs. 3 BV ordnet an, dass unter Vorbehalt gesetzlicher Ausnahmen Gerichtsverhandlung und Urteilsverkündung öffentlich sind. Die Tragweite dieser Bestimmung beschränkt sich darauf, dass, wenn eine Verhandlung durchzuführen ist, diese unter Vorbehalt gesetzlicher Ausnahmen öffentlich sein muss (BGE 128 I 288 E. 2.6 S. 293). Es bedarf keiner weiteren Ausführungen, dass mit dem Begriff der Verhandlung eine mündliche Parteiverhandlung gemeint ist.
Der Beschwerdeführer geht nicht auf die Frage ein, welche gesetzlichen Bestimmungen ihm einen Anspruch auf eine mündliche Verhandlung verschaffen. Wie schon aus dem Entscheid der Vorinstanz ersichtlich (Entscheid, 2), versteht sich aber, dass damit die Bestimmungen von Art. 84 Abs. 2 i.V.m. Art. 25 Ziff. 2 lit. a SchKG und Art. 206 ZPO angesprochen sind. Die Vorinstanz hält hier zutreffend fest, dass sich ein Anspruch auf mündliche Verhandlung nur aus Art. 206 ZPO ergeben kann. Gemäss Art. 206 Abs. 1 ZPO wird zwar in der Regel eine Verhandlung angesetzt, Absatz 2 der genannten Bestimmung relativiert aber diesen Grundsatz. Danach wird es ins Ermessen des Richters gelegt, auf eine Verhandlung zu verzichten, und werden lediglich beispielhaft Fälle angeführt, in denen ein Verzicht angebracht sein kann (LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, a.a.O., N 2 zu Art. 206). Dieses Ermessen ist nach allgemeinen Grundsätzen pflichtgemäss auszuüben. Im vorliegenden Verfahren kann nur unter dem Gesichtspunkt der Rüge der formellen Rechtsverweigerung geprüft werden, ob dieses Erfordernis eingehalten ist. Eine formelle Rechtsverweigerung kann dabei nur angenommen werden, wenn eine bestimmte Handhabung der Verfahrensvorschrift mit keinen sachlichen Gründen vertretbar ist (LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, a.a.O., N 3d zu Art. 254).
Vorliegend hat die Vorinstanz die Ablehnung des Antrags des Beschwerdeführers auf eine mündliche Verhandlung insbesondere damit begründet, dass im Verfahren der definitiven Rechtsöffnung die Einredemöglichkeiten des Schuldners grundsätzlich auf den Urkundenbeweis beschränkt seien und dass es sich beim Schuldner um einen Rechtsanwalt handle. Als solcher sei er ohne weiteres in der Lage, schriftlich Stellung zu nehmen (Entscheid, 2 f.). Der Beschwerdeführer seinerseits brachte und bringt keine inhaltlichen Gründe vor, weshalb in dieser Sache eine mündliche Verhandlung angebracht sei. Er argumentiert lediglich, die Vorinstanz habe ohne Anlass ihre Praxis geändert (erste Beschwerdeergänzung, 3, vgl. auch vi-act. 3 und 4).
Es braucht hier nicht darauf eingegangen zu werden, inwiefern die Regelung von Art. 206 ZPO einem generellen Verzicht auf mündliche Verhandlungen bei bestimmten Anwendungsfällen des summarischen Verfahrens entgegensteht. Vorliegend hat die Vorinstanz jedenfalls keinen allgemeinen Standpunkt eingenommen. Sie hat auch darauf verwiesen, dass angesichts der im Verfahren der definitiven Rechtsöffnung geltenden Beweismittelbeschränkung und der dem Beschwerdeführer als ausgebildetem Rechtsanwalt zuzuschreibenden Fähigkeit, auch in schriftlicher Form seinen Standpunkt effektiv vertreten zu können, eine mündliche Verhandlung zur genügenden Wahrung des rechtlichen Gehörs nicht nötig sei. Diese Begründung ist sachlich vertretbar, vor allem auch zumal der Beschwerdeführer selber nicht vorbrachte, weshalb er zur Wahrung des rechtlichen Gehörs auf eine mündliche Verhandlung angewiesen sei. Es kann zudem auch nicht gesagt werden, das Vorgehen der Vorinstanz sei nicht sachlich zu rechtfertigen, weil eine unzulässige Praxisänderung vorliege. Zum einen ist schon nicht erstellt, dass die Vorinstanz überhaupt eine bestimmte Praxis geübt hat, wonach bei definitiven Rechtsöffnungen immer eine mündliche Verhandlung durchgeführt werde. Der angefochtene Entscheid enthält keine entsprechenden Hinweise. Aus der blossen Tatsache, dass im zum Rechtsöffnungsentscheid vom 13. November 2006 führenden Verfahren eine mündliche Verhandlung durchgeführt wurde, lässt sich dies ebenfalls nicht ableiten. Zum anderen kann es ohnehin sachliche Gründe geben, von einer allenfalls bestehenden Praxis abzuweichen. Es ist gegebenenfalls möglich, dass das urteilende Gericht aufgrund von Erfahrungen in gleichgelagerten Fällen - hier etwa dem früheren Entscheid vom 13. November 2006 - zum Schluss kommt, dass die Durchführung des schriftlichen Verfahrens dem konkret zu entscheidenden Fall besser entspricht.
b) Art. 6 Ziff. 1 EMRK sieht vor, dass in Streitigkeiten über zivilrechtliche Ansprüche und Verpflichtungen das Recht auf Durchführung einer öffentlichen Verhandlung besteht. Die von der Konvention verwendeten Begriffe sind entsprechend der Praxis der Organe der Europäischen Menschenrechtskonvention auszulegen (BGE 131 I 467 E. 2.4 S. 469). Ob in diesem Sinn eine Zivilsache vorliegt, beurteilt sich nach drei Kriterien: Es muss ein nach innerstaatlichem Recht gewährtes Recht in Frage stehen, es muss ein echter und ernsthafter Streit darüber bestehen, und der Anspruch muss zivilrechtlicher Natur sein (J. MEYER-LADEWIG, Europäische Menschenrechtskonvention, Handkommentar, 2. A., Baden-Baden 2006, N 5 zu Art. 6; HÄFLIGER/SCHÜRMANN, Die Europäische Menschenrechtskonvention und die Schweiz, 2. A., Bern 1999, 135; M.E. VILLIGER, Handbuch der europäischen Menschenrechtskonvention, 2. A., Zürich 1999, Rz. 377 und 379 f.). Von einem Streit wird im Allgemeinen gesprochen, wenn das Ergebnis eines Verfahrens für das fragliche Recht unmittelbar entscheidend ist (MEYER-LADEWIG, a.a.O., N 6 und 7 zu Art. 6; HÄFLIGER/SCHÜRMANN, a.a.O. 137; FROWEIN/PEUKERT, EMRK-Kommentar, 2. A., Kehl etc. 1999, N 6 zu Art. 6; extensiver [Auswirkung auf den Bestand des Rechts]: VILLIGER, a.a.O., Rz. 378). Liegt ein solcher Streit vor, erstrecken sich die von Art. 6 Ziff. 1 EMRK gewährten Garantien über die Phase des Sachentscheids bis zu dessen Vollstreckung (vgl. VILLIGER, a.a.O., Rz. 390 mit Hinweisen auf die Praxis; BGer 2P.41/2002 vom 10.6.03 E. 5.4). Das fragliche Recht muss aber im Übrigen nicht selber Gegenstand des Verfahrens sein (P. VAN DIJK, in: VAN DIJK ET AL. (Hrsg.), Theory and Practise of the European Convention on Human Rights, 4. A., Antwerpen und Oxford 2006, 522).
Ob vorliegend gestützt auf diese Praxis ein Anspruch auf eine mündliche Verhandlung besteht, kann zum Vorneherein nur bezüglich den vom Beschwerdeführer geltend gemachten Verrechnungsforderungen fraglich sein. Soweit sich der Beschwerdeführer auch auf das abgeschlossene Eheschutzverfahren (vgl. zum Anspruch auf mündliche Verhandlung in jenem Verfahren Pra 2001 Nr. 188; Art. 210 Abs. 1 ZPO) beziehen würde, könnte nicht näher darauf eingetreten werden. Es ist nicht thematisiert worden, ob in jenem Verfahren eine mündliche Verhandlung durchgeführt wurde. Ein entsprechender Anspruch wäre auch verwirkt (vgl. BGE 121 I 30 ff.).
Um konkret zu beurteilen, ob die mittels Verrechnung in das Verfahren eingebrachten Ansprüche des Beschwerdeführers unter Art. 6 Ziff. 1 EMRK fallen, muss nach dem Gesagten geprüft werden, ob sich das vorliegende Rechtsöffnungsverfahren entscheidend auf diese auswirkt. In diesem Zusammenhang ist darauf hinzuweisen, dass das Rechtsöffnungsverfahren rein betreibungsrechtliche und damit keine materiellrechtliche Wirkung hat. Es wird auch im Verfahren auf definitive Rechtsöffnung nur entschieden, ob die Betreibung fortgeführt werden kann oder nicht. Wird die Rechtsöffnung verweigert, kann der Gläubiger gleichwohl erneut Betreibung einleiten. Der Entscheid ist in diesem Sinn nicht endgültig. Dieser Verfahrensgestaltung entspricht es, dass für Gläubiger und Schuldner nur bestimmte Vorbringen zulässig sind, eine Beweismittelbeschränkung gilt und der Rechtsöffnungsrichter lediglich eine beschränkte Prüfung vornimmt (BGE 120 Ia 82 E. 6b/c S. 83 ff. und E. 6d/cc S. 87). Somit hat auch das dem Schuldner zukommende Verteidigungsmittel des urkundenmässigen Nachweises der Tilgung durch Verrechnung (Art. 81 Abs. 1 SchKG; AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 7. A., § 19 Rz. 54) nur Wirkung für das laufende Betreibungsverfahren. Dem Gläubiger steht es neben einer erneuten Betreibung auch offen, bei aus diesem Grund verweigerter Rechtsöffnung eine neue materiellrechtliche Klage einzureichen, in welcher er die Einreden des Schuldners widerlegen und ein neues Urteil erstreiten kann (SchKG-STAEHELIN, N 7 zu Art. 81 mit Verweis auf BGer SJ 1952, 456 E. 4). Damit ist klar, dass über die eigenen Ansprüche des Klägers im Rechtsöffungsverfahren nicht definitiv entschieden wird. Art. 6 Ziff. 1 EMRK kommt somit nicht zur Anwendung.
Es ist nicht nachvollziehbar, in welcher Form noch eine Verhandlung durchgeführt werden könnte, wenn keine mündliche Verhandlung anzusetzen ist. Jedenfalls ist davon eine allfällige gerichtsinterne Beratung zu unterscheiden. Dabei erstellte Aufschriebe sind behördeninterne Akten. Sie sind nicht in Protokollform zu bringen und zur Einsichtnahme freizugeben. Vorliegend ist aber ohnehin entscheidend, dass der Rechtsöffnungsrichter als Einzelrichter ohne Beizug eines Gerichtsschreibers gehandelt hat und dieses Vorgehen ohne weiteres zulässig ist (Art. 7 lit. b i.V.m. Art. 197 lit. e ZPO; Art. 67 Abs. 1 lit. c GerG).
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