Erwägungen
I.
1. Am 21. Juni 2010 wies der Einzelrichter des Kreisgerichts X in der Streitsache der Parteien das Massnahmebegehren auf vorläufige Einstellung der Betreibung ab.
2. Gegen diesen Entscheid (versandt am 21.06.2010; der A-GmbH zugestellt am 22.06.2010) erhob der Kläger mit Eingabe vom 28. Juni 2010 Rekurs beim Kantonsgericht mit dem Antrag, das Betreibungsverfahren sei nicht einzustellen. Mit Antwort vom 23. Juli 2010 trug der Beklagte auf Nichteintreten, eventualiter auf Abweisung des Rekurses an.
Auf die Überlegungen des Vorderrichters und auf die zur Begründung ihrer Standpunkte gemachten Ausführungen der Parteien wird, soweit notwendig im Folgenden eingegangen.
II.
1. Die von Amtes wegen vorzunehmende Prüfung der Prozessvoraussetzungen (Art. 79 ZPO) ergibt, dass der angefochtene Entscheid rekursfähig (Art. 196 lit. c i.V.m. Art. 7 lit. b und Art. 217 lit. a ZPO) und der Rekurs rechtzeitig eingereicht worden ist (Art. 219 Abs. 1 ZPO sowie Art. 82 Abs. 1 und 84 GerG).
Zu dessen Beurteilung zuständig ist der Präsident der III. Zivilkammer als Einzelrichter (Art. 16 lit. a ZPO und Art. 16 Abs. 2 GO).
2. Bezüglich der - wie die Prozessvoraussetzungen - ebenfalls von Amtes wegen vorzunehmenden Prüfung der Ordnungsmässigkeit der Anhängigmachung des Rechtsmittels fällt was folgt in Betracht:
a) Der Rekurs ist schriftlich einzureichen (Art. 219 Abs. 1 ZPO), wobei die Rechtsmitteleingabe eigenhändig unterzeichnet, d.h. mit einer Originalunterschrift versehen sein muss (Leuenberger/Uffer-Tobler, Kommentar zur Zivilprozessordnung des Kantons St. Gallen, N 2 zu Art. 219 mit Hinweis auf Art. 161 lit. i ZPO; Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, N 15 vor § 299 ff.).
Das ist vorliegend nicht der Fall. Die auf Seite 2 der - im Doppel eingereichten - Rekurseingabe angebrachte Unterschrift ist, worauf der Rekursgegner zutreffend hinweist (Rekursantwort, 3 C I/1 zu 1 und 17 C II/6) und wie ein Vergleich mit der vom Rekurrenten handschriftlich angebrachten Unterschrift auf der Klageantwort (vi-act. 17) bestätigt, lediglich um eine faksimilierte/kopierte Unterschrift, was vom Rekurrenten, der die Frist für eine weitere Eingabe gemäss Art. 221 Abs. 2 ZPO unbenützt hat verstreichen lassen, denn auch nicht bestritten wird.
b) Fehlt eine Unterschrift, ist dem Rechtsmittelkläger in der Regel analog der Regelung solcher Fälle bei der Klageschrift eine Nachfrist zur Nachholung der Unterschrift anzusetzen (Art. 165 Abs. 2 i.V.m. Art. 161 lit. i ZPO). Wird jedoch, wie hier, bewusst eine Eingabe nicht mit der Originalunterschrift, sondern lediglich mit faksimilierter/kopierter Unterschrift eingereicht, kommt dies nach der höchstrichterlichen Praxis (vgl. BGE 121 II 252 ff.), von welcher abzuweichen kein Grund besteht, indessen nicht in Frage.
c) Wurde der Rekurs nach dem Gesagten aber nicht ordnungsgemäss anhängig gemacht und ist eine Verbesserung ausgeschlossen, kommt es, gleich wie bei Fehlen einer eigentlichen Prozessvoraussetzung, zu einem Prozessurteil, d.h. auf den Rekurs ist nicht einzutreten (Leuenberger/Uffer-Tobler, a.a.O., N 4 zu Art 79 ZPO).