Erwägungen
I.
1. Am 28. September 2009 kündigte die Vermieterin A den mit der Mieterin B bestehenden Mietvertrag betreffend die 4½-Zimmerwohnung im 3. OG wegen Zahlungsrückstandes auf den 31. Oktober 2009.
Die Mieterin focht die Kündigung nicht an, räumte aber auch die Wohnung nicht.
2. In der Folge liess die Vermieterin A auf Ausweisung klagen , welchem Begehren sich die Mieterin B mit Antwort vom 1. März 2010 widersetzte. Nach Durchführung einer Verhandlung, an welcher lediglich ein Vertreter der Beklagten teilnahm, fällte der Einzelrichter des Kreisgerichts am 10. März 2010 folgenden Entscheid:
Die Mieterin B hat die 4½-Zimmer-Wohnung per Rechtskraft dieser Verfügung zu räumen und zurückzugeben.
Für den Fall der Missachtung dieses Befehls wird das Bauamt der Stadt beauftragt, die Räumung im Sinn der Erwägungen ab 1. April 2010 zu vollziehen.
Die Entscheidgebühr von Fr. 1'000.00 wird bei der Vermieterin A erhoben, unter Verrechnung der Einschreibgebühr in gleicher Höhe und Einräumung des Rückgriffsrechts auf die Mieterin B.
Die allfälligen Räumungskosten sind im Sinn der Erwägungen von der Mieterin B zu bezahlen.
Die Mieterin B entschädigt die Vermieterin A mit Fr. 500.00.
3. Mit Eingabe vom 27. März 2010 erhob die Beklagte gegen den Entscheid vom 10. März 2010 (versandt am 10.03.2010; Zustellfiktion frühestens per 17.03.2010; nach Umleitung an neue Adresse zugestellt am 19.03.2010) Rekurs beim Kantonsgericht mit dem Antrag auf Abweisung der Klage.
Am 22. April 2010 reichte die X-Verwaltung AG für die Klägerin eine Rekursantwort ein, obschon letztere ausdrücklich darauf aufmerksam gemacht worden war, dass die Liegenschaftenverwaltung zur Vertretung vor Gericht nicht befugt sei (Schreiben vom 23.03.2010).
Auf die zur Begründung ihrer Standpunkte gemachten Ausführungen der Parteien wird, soweit notwendig, im Folgenden eingegangen.
II.
1. Die von Amtes wegen vorzunehmende Prüfung der Prozessvoraussetzungen ergibt, dass diese erfüllt sind (Art. 79, 217 lit. a und 219 Abs. 1 ZPO; Art. 82 und 84 GerG).
Auf den Rekurs ist daher einzutreten. Zuständig ist der Einzelrichter für Rekurse im Obligationenrecht (Art. 16 lit. d GO).
2. Die X-Verwaltungen AG ist zur Vertretung der Klägerin vor Gericht nicht befugt (Art. 10 ff. AnwG). Darauf hätte sie schon von der Vorinstanz aufmerksam gemacht werden müssen. Die klägerische Prozesseingabe vor erster Instanz (Klageschrift) ist deswegen zwar nicht ungültig (GVP 1959 Nr. 19), im Rechtsmittelverfahren kann die Verwaltungsgesellschaft jedoch nicht mehr zur Vertretung zugelassen werden. Deren Rekursantwort vom 22. April 2010 ist unter den oben erwähnten Umständen (Erw. I/3 Abs. 2) nicht zu berücksichtigen. Eine Anzeige wegen unerlaubter Berufsausübung (vgl. Art. 37 AnwG; sGS 963.70) bleibt vorbehalten.
III.
1. Nach Art. 257d OR kann der Vermieter dem Mieter von Wohnräumen, der sich im Zahlungsrückstand befindet, unter Ansetzung einer Frist von mindestens dreissig Tagen die Kündigung androhen und, wenn auch innert dieser Frist nicht bezahlt wird, mit einer weiteren Frist von mindestens dreissig Tagen auf das Ende eines Monats kündigen.
a) Vorliegend ist unbestritten, dass sich die Mieterin mit der Bezahlung des Augustmietzinses von Fr. 1'580.00 im Rückstand befand, als sie mit Schreiben vom 14. August 2009 (zugestellt am 20.08.2009; Suchergebnis Track & Trace [kläg.act. 5]) gemahnt und ihr eine Zahlungsfrist von dreissig Tagen angesetzt sowie die Kündigung angedroht wurde (kläg. act. 4). Unbestritten ist sodann, dass der Rückstand auch innert der dreissigtägigen Zahlungsfrist (21.08.-19.09. [Samstag] bzw. 21.09.2009) nicht beglichen wurde. Die Vermieterin war nach Ablauf der Zahlungsfrist daher berechtigt, das Mietverhältnis mit Mitteilung vom 28. September 2009 vorzeitig auf das Ende des nächstfolgenden Monats, 31. Oktober 2009, zu kündigen (kläg. act. 6); diese Kündigung gilt, selbst wenn sie von der Mieterin – was den Akten nicht zu entnehmen ist – erst anfangs Oktober am Postschalter abgeholt worden sein sollte, als bereits am 29. September 2009 (Dienstag) zugegangen, an welchem Tag es der Gekündigten nach dem üblichen Lauf der Dinge zuzumuten war, den Brief abzuholen (zur entsprechenden Praxis vgl. Peter Higi, Zürcher Kommentar, N 51 zu Art. 257d OR mit Verweis auf BGE 118 II 42 ff., 44 Erw. 3b).
b) Anfechtungsgründe gemäss Art. 271 und 271a OR sind nicht ersichtlich und werden von der Beklagten auch nicht geltend gemacht. Die Kündigung ist daher gültig.
c) Eine Mieterstreckung bei Kündigungen wegen Zahlungsrückstandes wie hier ist gesetzlich ausgeschlossen (Art. 272a Abs. 1 lit. a OR).
2. Ist aber die Kündigung gültig und eine Mieterstreckung ausgeschlossen, so ist festzustellen, dass das Mietverhältnis per 31. Oktober 2009 beendet wurde. Die Rekurrentin als Mieterin muss das Mietobjekt daher zurückgeben (Art. 267 Abs. 1 OR).
a) Dagegen wendet diese nun aber ein, der Ausweisungsbefehl sei, weil "materiell nicht umsetzbar", aufzuheben, habe sie doch – was der Klägerin im Übrigen bekannt gewesen sei – die Wohnung seit Anbeginn an Y untervermietet; ein Ausweisungsbefehl sei von der Klägerin daher gegen den Untervermieter "zu erwirken, falls dieses noch erwünscht" sei (Rekurs, 1 f.).
b) Darauf ist der Rekurrentin vorab zu entgegnen, dass sie dem klägerischen Rückgabeanspruch gemäss Art. 267 Abs. 1 OR nicht einredeweise vertragliche Gebrauchsansprüche ihres Untermieters entgegenhalten kann, denn dafür fehlt ihr die Sachlegitimation; der am Verfahren nicht beteiligte Untermieter Y, nicht sie, ist Träger dieser Ansprüche. Der Räumungsbefehl bzw. die Verpflichtung zur Rückgabe der Wohnung als Urteil in der Sache (Ziff. 1 des Dispositivs) erfolgte zu Recht; soweit sich der Rekurs dagegen richtet, ist er als unbegründet abzuweisen.
Aufzuheben ist indessen die an das Bauamt der Stadt als Vollzugsbehörde gerichtete Vollstreckungsanordnung (Ziff. 2 des Dispositivs). Soweit sich diese Anordnung nämlich gegen die Beklagte richtet, ist sie – und war sie von Anfang an – obsolet, da diese sich gar nicht im zu räumenden Objekt aufhält bzw. noch nie darin aufgehalten hat. Und soweit sie sich (faktisch) gegen den Untermieter richtet, fehlt es an einem gegen diesen ergangenen Sachurteil bzw. Ausweisungsbefehl, welcher vollstreckt werden könnte. Ein solcher wäre – darin ist der Rekurrentin beizupflichten – von der Klägerin erst noch zu erwirken, und zwar, da zwischen der Vermieterin und dem Untermieter kein Vertragsverhältnis besteht, nicht gestützt auf Vertrag, sondern unter Berufung auf die Eigentumsfreiheit (Art. 641 Abs. 2 ZGB; actio negatoria).
3. Im Sinne dieser Erwägungen ist der Rekurs teilweise gutzuheissen.