Aus den Erwägungen:
1. Können sich verschiedene Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden nicht im Sinne eines Meinungsaustauschs gemäss Art. 444 Abs. 3 ZGB über ihre Zuständigkeit verständigen, so unterbreitet die zuerst befasste Behörde die Frage der Verwaltungsrekurskommission (VRK; Art. 444 Abs. 4 ZGB; Art. 27 EG KES). Beschwerden gegen deren Entscheide beurteilt das Kantonsgericht (Art. 28 Abs. 1 EG KES); zuständig ist die II. Zivilkammer (Art. 14 Abs. 1 lit. c GO).
2. Auf das vorliegende Verfahren sind, soweit das ZGB oder das EG KES keine Regelungen enthalten, die Bestimmungen der ZPO sachgemäss anwendbar (Art. 11 lit. b EG KES). Die Prozessvoraussetzungen, die von Amtes wegen zu prüfen sind, sind erfüllt (Art. 59 f. ZPO). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
3. Die Zuständigkeit der KESB richtet sich nach dem Wohnsitz der betroffenen Personen (Art. 442 Abs. 1 Satz 1 ZGB). Dabei wird an den zivilrechtlichen Wohnsitzbegriff gemäss Art. 23 ff. ZGB angeknüpft (Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28. Juni 2006, BBl 2006, S. 7075; BaslerKomm Erwachsenenschutz/Vogel, Art. 442 ZGB, N 3; FamKomm Erwachsenenschutz/Wider, Art. 442 ZGB, N 9; Kuhn, Das Verfahren vor der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde, recht 2014, 218, 220). Ist ein Verfahren rechtshängig, so bleibt die örtliche Zuständigkeit bis zu dessen Abschluss erhalten, auch wenn die betroffene Person inzwischen weggezogen ist (Art. 442 Abs. 1 Satz 2 ZGB; Botschaft, a.a.O., S. 7075; BaslerKomm Erwachsenenschutz/Vogel, Art. 442 ZGB, N 3; BaslerKomm ZGB I/Auer/Marti, Art. 444 ZGB, N 13).
Sinn der Wohnsitzzuständigkeit ist es, dass die Massnahmeführung (hier: die Beistandschaft) mit dem Lebensmittelpunkt der betroffenen Person verbunden ist und den lokalen Gegebenheiten Rechnung tragen kann (BaslerKomm Erwachsenenschutz/Vogel, Art. 442 ZGB, N 3).
Bei der Bestimmung der örtlichen Zuständigkeit steht mithin das Wohl der betroffenen Person an erster Stelle; massgebend ist vor allem deren Interesse (OGer SH, CAN 2015 Nr. 6, 19; FamKomm Erwachsenenschutz/Wider, Art. 442 ZGB, N 10). Fiskalische Überlegungen der beteiligten Gemeinwesen haben zurückzustehen.
4. Nach Art. 23 Abs. 1 ZGB befindet sich der Wohnsitz einer Person an dem Ort, wo sie sich mit Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Demgemäss setzt die Wohnsitznahme ein objektives und ein subjektives Tatbestandselement voraus, welche beide kumulativ erfüllt sein müssen: den Aufenthalt an einem bestimmten Ort sowie die Absicht des Verweilens (BGE 134 V 236, E. 2.1 = Pra 2009 Nr. 39; Hausheer/Aebi-Müller, Das Personenrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, N 09.23; BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 5 ff., 20 ff.; BernerKomm/Bucher, Art. 23 ZGB, N 15 ff.). Da der Wohnsitz nicht nur für die betroffene Person, sondern auch für Drittpersonen und das Gemeinwesen relevant ist, ist die innere Absicht des dauernden Verbleibens nur insoweit von Bedeutung, als sie nach aussen erkennbar geworden ist. Massgebend ist daher der Ort, wo sich nach den konkreten Umständen objektiv betrachtet der Mittelpunkt der Lebensbeziehungen befindet. Dieser liegt gewöhnlich dort, wo man schläft, die Freizeit verbringt und wo sich die persönlichen Effekten befinden (BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 6). Jede Person muss einen rechtlichen Wohnsitz haben (Grundsatz der Notwendigkeit des Wohnsitzes, Art. 24 ZGB). Sie hat andererseits ausschliesslich einen rechtlichen Wohnsitz (Grundsatz der Ausschliesslichkeit des Wohnsitzes, Art. 23 Abs. 2 ZGB).
5. Der Aufenthalt zu einem Sonderzweck wie der Ausbildung oder die Unterbringung einer Person in einer Erziehungs- oder Pflegeeinrichtung, einem Spital oder einer Strafanstalt begründet für sich allein keinen Wohnsitz (Art. 23 Abs. 1 Satz 2 ZGB; BaslerKomm Erwachsenenschutz/Vogel, Art. 442 ZGB, N 5).
Dabei vermag die Einweisung in eine Anstalt selbst dann keinen Wohnsitz zu begründen, wenn sie auf unbestimmte Zeit erfolgte, der Lebensmittelpunkt in die Anstalt verlegt und alle Beziehungen zum bisherigen Wohnsitz abgebrochen wurden (BaslerKomm ZGB I/ Staehelin, Art. 23 ZGB, N 19g). Als Anstalten in diesem Sinne gelten öffentliche oder private Einrichtungen, die einem vorübergehenden Sonderzweck (z.B. Pflege, Heilung, Erziehung, Strafverbüssung, Kur, Ferien) und nicht dem allgemeinen Lebenszweck dienen. Es muss sich nicht um eine geschlossene Anstalt handeln, auch ein betreutes Wohnheim für Menschen mit psychischen und sozialen Problemen oder ein Altersheim für behinderte Personen kann eine Anstalt im Sinne von Art. 23 Abs. 1 ZGB darstellen (BGE 127 V 237, E. 2b; BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 19i).
Die Wohngemeinschaft T bietet Menschen mit einer psychischen Beeinträchtigung für längere oder kürzere Zeit ein Zuhause (…). Sie verfügt über (…) Einzelzimmer. Begleitpersonen sind von (…) Uhr und eine Laufwache (…) in der Nacht anwesend. Die Wohngemeinschaft T ist also eine Einrichtung, die mehrere Personen zu einem Sonderzweck beherbergt. Bei ihr handelt es sich mithin zweifellos um eine Anstalt im Sinne von Art. 23 ZGB. Dieser Umstand wird von den Parteien auch nicht bestritten.
6. Eine betroffene Person, die urteilsfähig und volljährig ist, kann allerdings nach Rechtsprechung und Lehre entgegen Art. 23 Abs. 1 ZGB am Ort der Anstalt Wohnsitz erwerben, wenn sie sich aus freien Stücken, d.h. freiwillig und selbstbestimmt, zu einem Anstaltsaufenthalt unbeschränkter Dauer entschliesst, sie die Anstalt und den Aufenthaltsort frei wählt und den Lebensmittelpunkt in die Anstalt verlegt (BGE 137 III 593, E. 4.1; KGer LU, 21. Januar 2015, 3H 14 117, www.gerichte.lu.ch; OGer SH, CAN 2015 Nr. 6, 19; BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 19h; BaslerKomm Erwachsenenschutz/Vogel, Art. 442 ZGB, N 5; Häfeli, Grundriss zum Erwachsenenschutzrecht, N 31.02). Dieser Grundsatz gilt, weil damit die Wahl des Lebensmittelpunktes selbstbestimmt erfolgte (BGE 127 V 237, E. 2b; CHK/Vogel, Art. 442 ZGB, N 4), und kann z.B. sowohl beim freiwilligen Eintritt in ein Pflegeheim als auch bei einem solchen in eine therapeutische Institution für Drogenabhängige zur Anwendung gelangen, sofern der Aufenthalt längere Zeit dauern wird (BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 19h). Die betroffene Person muss also freiwillig in die Anstalt gegangen sein und in für Dritte erkennbarer Weise die Absicht bekundet haben, am entsprechenden Ort auf Dauer verweilen zu wollen (BGE 135 III 49, E. 6.2; 137 II 122, E. 3.6; BGer 5C.16/2001, E. 4a). Auch ein von vornherein bloss vorübergehender Aufenthalt kann jedoch einen Wohnsitz begründen, wenn er auf eine bestimmte Dauer angelegt ist und der Lebensmittelpunkt dorthin verlegt wird. Der Plan, einen Ort später zu verlassen, schliesst eine Wohnsitzbegründung nicht aus (BGE 127 V 237, E. 2c). Die Absicht dauernden Verweilens muss sodann nur im Moment der Entstehung eines Wohnsitzes vorgelegen haben. Ändert sich diese, so bleibt der einmal erworbene Wohnsitz bis zur Begründung eines neuen bestehen. Als freiwillig und selbstbestimmt gilt der Anstaltseintritt im Übrigen selbst dann, wenn er vom "Zwang der Umstände" (etwa Angewiesensein auf Betreuung, finanzielle Gründe) diktiert wird (vgl. BGE 137 III 593, E. 4.1; 133 V 309, E. 3.1; 134 V 236, E. 2.1; 127 V 237, E. 2c; BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 19h; Häfeli, Grundriss zum Erwachsenenschutzrecht, N 31.02). Insgesamt ist eine Wohnsitzbegründung grosszügig anzunehmen, wenn eine urteilsfähige, volljährige Person selbstbestimmt in eine Einrichtung eintritt (OGer SH, CAN 2015 Nr. 6, 19; KGer BL, 11. September 2013, 810 13 149, www.bl.ch/kantonsgericht; Rosch/Büchler/Jakob, Erwachsenenschutzrecht, Art. 442 ZGB, N 6; FamKomm Erwachsenenschutz/Wider, Art. 442 ZGB, N 10).
7. Vorliegend ist die Voraussetzung der Volljährigkeit offensichtlich erfüllt. Für die Begründung eines Wohnsitzes ist im Weiteren Urteilsfähigkeit vorausgesetzt. Diese zweifelt die Beschwerdeführerin X insofern an, als sie geltend macht, C gehe jegliche Fähigkeit zur Selbstbestimmung bezüglich der Wahl ihrer Wohnsituation ab (…), weil sie aus psychischen Gründen auf Beistand und Betreuung nicht nur betreffend die Finanzen, sondern auch für das Lesen und Verarbeiten jedes alltäglich anfallenden Papiers und für trivialste Fragen der Alltagsgestaltung angewiesen sei.
Dieser Auffassung widersprechen sowohl C selbst als auch die KESB Z (…). Die VRK war sogar noch davon ausgegangen, die Urteilsfähigkeit von C sei unbestritten geblieben (…).
8. Urteilsfähigkeit bedeutet, fähig zu sein, vernunftgemäss zu handeln (Art. 16 ZGB), d.h. eine konkrete Lage richtig zu beurteilen, sich einen Willen zu bilden und danach zu handeln (BaslerKomm ZGB I/Bigler-Eggenberger/Fankhauser, Art. 16 ZGB, N 7 ff.). Die Urteilsfähigkeit darf nicht leichthin verneint werden (BaslerKomm ZGB I/Bigler-Eggenberger/Fankhauser, Art. 16 ZGB, N 2). Sie ist immer in Bezug auf die konkrete Situation im Zeitpunkt der Vornahme einer Handlung einzuschätzen (BaslerKomm ZGB I/Bigler-Eggenberger/Fankhauser, Art. 16 ZGB, N 34).
Betreffend die Wohnsitzfrage werden sodann an die Urteilsfähigkeit keine strengen Anforderungen gestellt (BGE 137 III 593, E. 4.2; 127 V 237, E. 2c; KGer LU, 21. Januar 2015, 3H 14 117, www.gerichte.lu.ch; Rosch/Büchler/Jakob, Erwachsenenschutzrecht, Art. 442 ZGB, N 6).
Gemäss ihrer Psychotherapeutin benötigt C Unterstützung in rechtlichen, schriftlichen und finanziellen Angelegenheiten (…). Damit sie auch künftig destruktive Verhaltensweisen in eine gesunde Selbstbehauptung verwandeln könne, brauche sie eine betreute Wohn- und Arbeitssituation, medikamentöse Behandlung, psychotherapeutische Begleitung und eine Beistandschaft im Bereich Finanzen sowie weiterer administrativer Tätigkeiten. Die Bezugsperson im betreuten Wohnen müsse Unterstützung bieten in Alltagsthemen wie Ämtli übernehmen, Kräfte einteilen, Ruhezeiten planen, Umgang in der Gruppe etc. Auch mit Blick auf einen Austritt (evtl. in ein/zwei Jahren) in ein begleitetes Wohnen in der eigenen Wohnung sei eine Beistandschaft ein erster Schritt für den übenden Umgang mit externen, unterstützenden Amtspersonen.
Nach ihrer eigenen Schilderung (…) fühlt sich C wegen psychischer Probleme nicht belastbar und instabil. Sie könne deswegen ihre finanziellen Probleme nicht meistern.
C wurde nie umfassend verbeiständet. Sie bedarf zwar der Unterstützung bei administrativen Tätigkeiten und der Anleitung in der Alltagsbewältigung. Anzeichen, dass sie nicht in der Lage wäre, vernunftgemäss zu entscheiden, wo und wie sie wohnen möchte, und nach dieser Einsicht zu handeln, sind aus den Akten nicht ersichtlich. C scheint zu einer freien Willensbildung durchaus fähig. Ihr gesundheitlicher Zustand steht dem augenscheinlich nicht entgegen. Sie kann sich demnach ein Bild über ihre Situation machen, ihre Wohnbedürfnisse schildern und danach handeln. Nur weil eine Person Mühe hat, ihren Alltag zu strukturieren, eigene Grenzen zu erkennen und Administratives zu bewältigen, schränkt das ihre - gesetzlich vermutete - Urteilsfähigkeit nicht ein, zumal bei der Wohnsitzfrage, wie erwähnt, diesbezüglich nur geringe Anforderungen gelten. Den Akten lassen sich auch keinerlei Hinweise entnehmen, dass dies im Zeitpunkt des Eintritts in die Wohngemeinschaft T anders gewesen wäre (…). Das SJD traut C sogar zu, das vorliegende Gerichtsverfahren selbst bzw. in Zusammenarbeit mit einer Beiständin zu führen, ohne anwaltliche Unterstützung (…).
Insgesamt ist C fähig, einen selbständigen Wohnsitz zu begründen und ihre Urteilsfähigkeit ist diesbezüglich gegeben.
9. In einem nächsten Schritt ist zu prüfen, ob C freiwillig in die Wohngemeinschaft T eingetreten ist.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Wohngemeinschaft T befinde sich auf dem Areal (…). C habe diese wegen des betreuerischen, infrastrukturellen und pflegerischen Angebots sowie der räumlichen Nähe zur (…) gewählt (…). Ihr Aufenthalt dort gelte als unfreiwillig, da er zwingend erforderlich und keine freie Wohnsitznahme ausserhalb einer betreuten Einrichtung möglich sei. Die Annahme, dass sich C nicht gegen eine Unterbringung im Haus T gewehrt habe, heisse nicht, dass sie freiwillig eingetreten sei (…). Vielmehr sei sie vom Sozialarbeiter untergebracht worden (…).
C entgegnet, sie sei selbstbestimmt und freiwillig in die Institution eingetreten (…). Sie habe sich völlig autonom und ohne Zwang in einem Standortgespräch für den Wohnheimaufenthalt im Haus T entschieden. Die Entscheidfindung über den Eintritt erfolge jeweils gemeinsam mit den potentiellen Bewohnerinnen. Sie, C, habe am Aufnahmeverfahren aktiv mitgewirkt, was zeige, dass ihre Fähigkeit zur Selbstbestimmung bezüglich der Wohnsitzwahl völlig intakt sei.
10. Aus den Akten ergibt sich Folgendes: Am 18. März (…) teilte ein Mitarbeiter der Kantonalen Psychiatrischen Dienste (…) mit, sie hätten sich auf die Suche nach einem betreuten Wohnen in (…) gemacht, da die Zuständigkeit von X angenommen und mit T eine geeignete Einrichtung gefunden worden sei, welche einen zeitnahen Übertritt ermöglicht habe (…). C hat in der Folge ab dem 9. November (…) eine Schnupperwoche absolviert und bereits am 11. November (…) mitgeteilt, sie könne sich gut vorstellen, hier zu wohnen (…). Am 14. November (…) gab auch das T an, ein Eintritt von C wäre erwünscht. Im anschliessenden gemeinsamen Auswertungsgespräch wurde dann über den Eintritt entschieden. Aus der Checkliste des T ergibt sich entsprechend, dass nach dem Probewohnen jeweils in einem gemeinsamen Gespräch mit der potentiellen Bewohnerin über den Eintritt oder den Nicht-Eintritt befunden wird (…).
11. Aus diesem Ablauf ergibt sich klar, dass C aus freien Stücken ins T eingetreten ist, und zwar nach einer angemessenen Überlegungsfrist (Probewohnen). Die Beschwerdeführerin macht dabei zu Recht nicht geltend, dass das Haus T die einzig mögliche Unterbringungsvariante für C gewesen wäre und sie kein anderes, geeignetes Wohnheim hätte finden können. Eine solche fehlende freie Anstaltswahl wäre nämlich einer Unterbringung gleich gekommen (BGE 137 III 593, E. 4.4).
Eine Unterbringung, wie sie die Beschwerdeführerin geltend macht, wäre, als fremdbestimmte Einweisung durch Dritte, seien das Behörden oder Private, lediglich dann anzunehmen gewesen, wenn der Aufenthalt im Haus T nicht aus eigenem Willen von C erfolgt wäre (BGE 137 III 593, E. 4.1; BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 19h; Rosch/Büchler/Jakob, Erwachsenenschutzrecht, Art. 442 ZGB, N 6). Das ist vorliegend offensichtlich nicht der Fall. C wurde zu einem Eintritt ins Haus T nicht gezwungen. Wie schon die Vorinstanz zu Recht festhielt, widerspräche ein solches Vorgehen auch dem Konzept der (…), wonach die Bewohner selber entscheiden, ob sie eintreten wollen und wie lange sie bleiben möchten (…). Der Sozialarbeiter hat C nicht eingewiesen, sondern war als Fachperson bei der Suche nach einer geeigneten Wohnform lediglich unterstützend tätig. Der Eintritt ins Haus T entsprang deren eigenem Willensentschluss. Das Angewiesensein auf eine Betreuung vermag im Übrigen nicht den Zwang Dritter zu ersetzen, der für eine Unterbringung erforderlich wäre (Pra 2001 Nr. 131, E. 4b; BernerKomm/Bucher, Art. 26 ZGB, N 14). Vielmehr fliesst sie aus dem "Zwang der Umstände".
Insgesamt ergibt sich, dass C freiwillig und selbstbestimmt in das Haus T eingetreten ist.
12. Schliesslich bleibt zu prüfen, ob der Lebensmittelpunkt von C in X liegt und sie in für Dritte erkennbarer Weise ihre Absicht, hier dauerhaft zu verweilen, kundgetan hat.
C hält sich seit mehr als zwei Jahre im Haus T auf. Nach ihren eigenen Angaben hat sie die Absicht, hier dauerhaft zu verbleiben, und sie sieht ihren Lebensmittelpunkt in X (…). Auch nach Auffassung der Beschwerdeführerin ist die Wohngemeinschaft T der Mittelpunkt der Lebensbeziehungen von C (…). Die VRK sieht das Haus T ebenfalls als deren Lebensmittelpunkt und hat ihre Absicht, auf Dauer hier zu bleiben, wahrgenommen (…). Dabei steht die Möglichkeit, dass C das Haus T dereinst wieder verlässt, einer Wohnsitzbegründung nicht entgegen (BGE 127 V 237, E. 2c).
Ohnehin liegt es nach der Rechtsprechung auf der Hand, dass eine betreuungsbedürftige Person, sei sie nun wegen einer Verbeiständung oder wegen ihres Alters in ihren sozialen Möglichkeiten eingeschränkt, die meisten Lebensbeziehungen in der von ihr gewählten Anstalt hat (Pra 2001 Nr. 131, E. 4b).
C ist auf unbestimmte Zeit in der Wohngemeinschaft T zu Hause. Weder sie noch die Beschwerdeführerin machten geltend, sie habe zu anderen Orten intensivere Beziehungen. Der Lebensmittelpunkt von C liegt mithin in X; hier unterhält sie offensichtlich ihre engsten gesellschaftlichen und beruflichen Beziehungen. Zudem hat sie erkennbar die Absicht, dauerhaft zu verweilen. Ihr zivilrechtlicher Wohnsitz liegt folglich in X.
13. Dabei ist es ohne Belang, dass Y weiterhin der Unterstützungswohnsitz von C ist. Die zuständige Sozialhilfebehörde und der zivilrechtliche Wohnsitz sind nämlich voneinander abzugrenzen (Rosch/Büchler/Jakob, Erwachsenenschutzrecht, Art. 442 ZGB, N 6a), da Erwachsene einen öffentlich-rechtlichen Unterstützungswohnsitz nie durch einen freiwilligen Anstaltsaufenthalt begründen können (BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 19h; BaslerKomm Erwachsenenschutz/Vogel, Art. 442 ZGB, N 5; FamKomm Erwachsenenschutz/Wider, Art. 442 ZGB, N 12).
Ebensowenig ausschlaggebend für den zivilrechtlichen Wohnsitz ist, wo sich eine Person einwohneramtlich angemeldet und ihre Schriften hinterlegt hat (Pra 2011 Nr. 14, E. 4.5; BGE 133 V 309, E. 3.3; 127 V 237, E. 2c; OGer SH, CAN 2015 Nr. 6, 19; BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 23).
14. Dem Argument der Beschwerdeführerin, Zweck von Art. 23 Abs. 1 ZGB sei die Entlastung der Gemeinden, auf deren Gebiet sich die Anstalt befindet (act. 1, S. 6, mit Verweis auf BaslerKomm ZGB I/Staehelin, Art. 23 ZGB, N 19a), und sinngemäss sei daher eine Wohnsitznahme nicht leichthin anzunehmen, ist erstens entgegen zu halten, dass das Wohl der betroffenen Privatperson höher zu gewichten ist als das fiskalische Interesse einer Gemeinde. Zweitens wird der erwähnte Zweck vornehmlich dadurch erreicht, dass der Unterstützungs- und der zivilrechtliche Wohnsitz auseinander fallen können, womit verhindert wird, dass Kantone oder Gemeinden mit Spezialeinrichtungen finanziell übermässig belastet werden (BaslerKomm Erwachsenenschutz/Vogel, Art. 442 ZGB, N 5).