Erwägungen
I.
1. Die in X. domizilierte W. S. GmbH (Klägerin) ist eine Gesellschaft mit beschränkter Haftung mit einem Stammkapital von Fr. 20'000.--. W. S. hat einen Stammanteil von Fr. 19'000.--, und H.R. W. (Beklagter) ist mit einem Stammanteil von Fr. 1'000.-- an der Klägerin beteiligt. W. S. ist Gesellschafter und Geschäftsführer der Klägerin mit Einzelunterschrift, während H.R. W. als Gesellschafter ohne Zeichnungsberechtigung im Handelsregister eingetragen ist (kläg.act. 1). Gemäss Adressauskunft der Gemeinde Y. ist H.R. W., geb. 7. Juli 1949, ehemals wohnhaft H.-strasse, Y., am 1. April 1997 zugezogen und am 31. Dezember 2008 nach unbekannt weggezogen bzw. ist nach unbekannt abgemeldet worden (kläg.act. 2).
2. Mit Schreiben vom 29. September 2010 teilte die G. Treuhand AG mit, sie habe für die W. S. GmbH beim Handelsregisteramt des Kantons St. Gallen den Verzicht auf eine Revision (Opting-Out) beantragt. Dieses habe jedoch mit Schreiben vom 21. September 2010 verlangt, dass die Handelsregisteranmeldung bzw. die Erklärung betreffend den Verzicht auf eine Revision von beiden Gesellschaftern unterschrieben werde. Dies sei jedoch nicht möglich, da sich einer der beiden Gesellschafter ins Ausland abgesetzt habe und sein Aufenthaltsort unbekannt sei. Im Auftrag der W. S. GmbH werde ersucht, nach Art. 823 OR H.R. W. als Gesellschafter der W. S. GmbH auszuschliessen, damit das Opting-Out durchgeführt werden könne. Nachdem die Klägerin aufgefordert worden war, eine den Anforderungen von Art. 161 ZPO genügende Klage einzureichen, legte die in der Zwischenzeit vertretene Klägerin am 29. November 2010 die vorliegende Klage mit dem eingangs wiedergegebenen Rechtsbegehren ein. Sie machte geltend, ein wichtiger Grund für den Ausschluss des Beklagten sei gegeben, nachdem dieser in schwerwiegender Weise mehrfach die ihm obliegenden Pflichten verletzt habe. Im Jahre 2007 sei er ohne entsprechende Bevollmächtigung durch die Klägerin als deren Vertreter aufgetreten und habe in betrügerischer Weise diverse Uhrenkäufe getätigt. Ferner habe der Beklagte, der früher als Treuhänder tätig gewesen sei, in erheblichem Masse Gelder von Mandanten (auch von der Klägerin) unterschlagen. Er habe sich, als schon strafrechtliche Ermittlungen gegen ihn angestrengt worden waren, in den ostasiatischen Raum abgesetzt. Seither fehle von ihm jede Spur.
3. Nachdem der Beklagte unbekannten Aufenthaltes ist, wurde er im Amtsblatt des Kantons St. Gallen (Nr. 51 vom 20.12.2010, S. 4003) eingeladen, bis 1. Februar 2011 eine Klageantwort einzureichen. Da die Klageantwort innert Frist nicht einging, wurde dem Beklagten mit Publikation im Amtsblatt (Nr. 7 vom 14.02.2011, S. 465) eine Nachfrist bis 24. Februar 2011 angesetzt mit der Androhung, dass eine nach Ablauf dieser Frist eingereichte Eingabe nicht mehr berücksichtigt werden könne. Ferner wurde der Beklagte darauf hingewiesen, das Gericht gehe ohne Gegenbericht bis 24. Februar 2011 davon aus, dass auf eine mündliche Verhandlung verzichtet werde. Die Klageantwort blieb dennoch aus. Der Beklagte hat somit stillschweigend auf eine mündliche Verhandlung verzichtet. Dies wurde der Klägerin mitgeteilt, und sie hielt fest, dass sie ebenfalls, sofern das Gericht nicht von seinem Fragerecht Gebrauch mache, auf eine Verhandlung verzichte. Damit entfällt die Durchführung einer mündlichen Verhandlung (Art. 174 ZPO). Es kann auf Grund der Akten entschieden werden. Nachdem keine Klageantwort eingereicht worden ist, ist die Klage zu schützen, wenn die darin geltend gemachten Ansprüche auf Grund der vorgetragenen Behauptungen und Beweismittel als bewiesen betrachtet werden können (Leuenberger/Uffer-Tobler, Kommentar zur Zivilprozessordnung des Kantons St. Gallen, Bern 1990, N 5a zu Art. 165 ZPO; GVP 1993 N 63).
II.
1. Mit der vorliegenden Klage verlangt die Klägerin gestützt auf Art. 823 OR den Ausschluss des Beklagten als Gesellschafter. Für Streitigkeiten über Handelsgesellschaften und Genossenschaften ist das Handelsgericht ausschliesslich zuständig (Art. 15 Abs. 1 lit. b ZPO). Neben der sachlichen Zuständigkeit ist auch die örtliche Zuständigkeit des Handelsgerichts gegeben, nachdem die Gesellschaft ihren Sitz im Kanton St. Gallen hat (Art. 3 Abs. 1 lit. b GestG; vgl. Reto Berthel, Das neue GmbH-Recht, St. Gallen 2008, N 1055 i.V.m. N 281).
2. Liegt ein wichtiger Grund vor, so kann die Gesellschaft gemäss Art. 823 Abs. 1 OR beim Gericht auf Ausschluss eines Gesellschafters klagen. Die Ausschliessung eines Gesellschafter ist subsidiär und unterliegt einer Interessenabwägung (Siffert/Fischer/ Petrin, Stämpflis Handkommentar zum GmbH-Recht, Bern 2008, Art. 823 N 1).
a) Nur die Gesellschaft ist aktivlegitimiert für die Ausschlussklage, nicht aber die Gesellschafter (Siffert/Fischer/Petrin, Art. 823 OR N 1; Berthel, a.a.O., N 1053). Die vorliegend klagende W. S. GmbH ist zur Klage auf Ausschluss des Beklagten aktivlegitimiert.
b) Die Ausschlussklage setzt einen gültigen Gesellschafterbeschluss voraus, der einer qualifizierten Mehrheit bedarf (Art. 804 Abs. 2 Ziff. 14, Art. 808b Abs. 1 Ziff. 8 OR; BSK OR II-Stäubli, Art. 823 N 2; Siffert/Fischer/Petrin, Art. 823 OR N 3). Vorliegend führte die Klägerin lediglich aus, sie habe beschlossen, den Beklagten auszuschliessen und die hierfür erforderliche Ausschliessungsklage zu erheben. Sie führte hingegen nicht aus, ob und wann die Gesellschafterversammlung einen entsprechenden Beschluss darüber gefasst hätte. Es ist somit nicht nachgewiesen, dass ein solcher Gesellschafterbeschluss vorliegt. Vorliegend ist nun aber zu beachten, dass die Gesellschafterversammlung aus den Gesellschaftern W. S. und dem Beklagten besteht, wobei Letzterer seit 31. Dezember 2008 unbekannten Aufenthaltes ist. Der Beklagte, welcher neben W. S. der einzige Gesellschafter der Klägerin ist, verwirkte damit sein Recht auf eine Teilnahme an einer Gesellschafterversammlung (Art. 2 ZGB). Die Klägerin, deren Willen allein durch den Gesellschafter W. S. gebildet wird, ist somit zur Erhebung der vorliegenden Ausschlussklage berechtigt.
c) Der Ausschluss eines Gesellschafters verlangt den Nachweis eines wichtigen Grundes. Ein solcher liegt vor, wenn die Fortsetzung der Gesellschaft den anderen Gesellschaftern nicht mehr zugemutet werden kann (BGE 105 II 114ff.). Die wichtigen Gründe liegen vorwiegend in der Person oder im Verhalten des Auszuschliessenden, wobei das Bestehen des wichtigen Grundes aus der Sicht der Gesellschaft zu beurteilen ist. Ein wichtiger Grund liegt beispielsweise vor bei Unfähigkeit zur Ausübung einer dem Gesellschafter zugeteilten Funktion oder bei Verletzung grundlegender gesellschaftlicher Pflichten, insbesondere bei Verletzung der Treuepflicht (BSK OR II-Stäubli, Art. 824 N 1; Siffert/Fischer/Petrin, Art. 823 OR N 2).
Vorliegend ist der Beklagte seit 31. Dezember 2008 unbekannten Aufenthaltes. Damit verhindert er die ihm zugeteilte Funktion, als Gesellschafter ohne Zeichnungsberechtigung insbesondere an den Gesellschafterversammlungen teilzunehmen, was eine grundlegende Verletzung der Treuepflicht des Beklagten darstellt. Somit stellt der Umstand, dass sich der Beklagte, wie die Klägerin unbestrittenermassen ausführt, in den ostasiatischen Raum abgesetzt hat, ohne eine Erreichbarkeit durch die Organe der Klägerin sicherzustellen, einen wichtigen Grund dar. Gemäss Auszug aus dem Betreibungsregister vom 2. November 2010 hält sich der Beklagte schon für längere Zeit im Ausland, d.h. in den Philippinen, auf, wobei gegen ihn in den Jahren 2006 bis 2008 Betreibungen über insgesamt rund Fr. 32'000.-- eingeleitet worden waren (kläg.act. 3). Nicht bestritten sind und von den eingereichten Unterlagen teilweise belegt werden die Ausführungen der Klägerin, wonach der Beklagte im Jahre 2007 ohne entsprechende Bevollmächtigung der Klägerin als ihr Vertreter aufgetreten war und in betrügerischer Absicht diverse Uhrenkäufe getätigt hatte (vgl. kläg.act. 4). Auch dieses Verhalten stellt eine schwere Verletzung der Treuepflicht dar und ist als wichtiger Grund im Sinne von Art. 823 OR zu werten.
d) Insgesamt hat die Klägerin hinreichend behauptet und nachgewiesen, dass ein wichtiger Grund im Sinne von Art. 823 OR vorliegt, womit der Beklagte als Gesellschafter aus der W. S. GmbH auszuschliessen ist. Die Ausschlussklage wirkt konstitutiv ex nunc, d.h. der Ausschluss wird erst mit dem vollstreckbaren richterlichen Urteil und gegenüber jedermann wirksam (BSK OR II-Stäubli, Art. 823 N 6).
3. Die Klägerin beantragt in Ziff. 2 des Rechtsbegehrens, das Gericht habe die zur Umsetzung des Austritts notwendigen Massnahmen zu verfügen. Dabei regt sie zur Umsetzung des Ausschlusses des Beklagten an, dessen Stammanteil sei auf den Gesellschafter W. S. zu übertragen. Die Zusprechung einer Abfindung gemäss Art. 825 OR fällt vorliegend ausser Betracht, da kein entsprechender Antrag seitens des Beklagten gestellt worden ist. Damit steht nichts entgegen, den Stammanteil von Fr. 1'000.-- richterlich auf W. S. zu übertragen. Der Beklagte hat sich am vorliegenden Verfahren nicht beteiligt und hat damit auch nicht eine Abfindung, die dem wirklichen Wert seines Stammanteils entspricht (vgl. Art. 825 OR), verlangt. Ob er in einem separaten Verfahren einen solchen Anspruch gegenüber W. S. geltend machen kann, braucht vorliegend nicht entschieden zu werden. Das Handelsregisteramt des Kantons St. Gallen ist deshalb anzuweisen, den Stammanteil von 1x Fr. 1'000.--, der im Handelsregister auf W., H.R., lautet, in der Weise zu übertragen, dass als Gesellschafter für den Stammanteil von 1x Fr. 1'000.-- S., W., als Gesellschafter eingetragen wird.