Aus den Erwägungen:
III.
1. Im Scheidungsverfahren trifft das Gericht die nötigen vorsorglichen Massnahmen, wobei die Vorschriften über die Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft sinngemäss anwendbar sind (Art. 276 Abs. 1 ZPO). Massnahmen, die das Eheschutzgericht angeordnet hat, dauern weiter (Art. 276 Abs. 2 Satz 1 ZPO), bis sie durch eine Massnahmeverfügung des Scheidungsgerichts abgeändert oder durch ein Scheidungsurteil definitiv abgelöst werden (vgl. Art. 268 Abs. 2 ZPO; BGE 138 III 646 E. 3.3.2 = Pra 2013 Nr. 34; BSK ZPO-Bähler, 3. Aufl., Art. 276 N 10; KUKO ZPO-Stalder/van de Graaf, 3. Aufl., Art. 276 N 6; FamKomm Scheidung/Vetterli, 3. Aufl., Vorbem. zu Art. 175–179 ZGB N 8). Im Rahmen von vorsorglichen Massnahmen kann unter anderem auch der Kinderunterhalt während des Scheidungsverfahrens geregelt respektive nach Art. 286 Abs. 2 ZGB abgeändert werden (vgl. BSK ZPO-Bähler, Art. 276 N 9; Sutter-Somm/Stanischewski, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger, ZPO Komm., 3. Aufl., Art. 276 N 25). Eine Abänderung des Eheschutzentscheids durch vorsorgliche Massnahmen setzt eine wesentliche und dauernde Veränderung der Verhältnisse voraus (Art. 276 Abs. 1 ZPO i.V.m. Art. 179 Abs. 1 ZGB). Veränderungen, die im Zeitpunkt des Eheschutzentscheids bereits voraussehbar waren und auch schon mitberücksichtigt wurden, bilden keinen Abänderungsgrund (vgl. BGE 141 III 376 E. 3.3.1; FamKomm Scheidung/Vetterli, Art. 179 ZGB N 2).
2.a) Die Vorinstanz stellte fest, dass der Ehemann per 1. Mai 2019 in die Schweiz zog und per 1. Juni 2019 eine Arbeitsstelle bei der A. AG in B. aufnahm, wodurch eine wesentliche und dauernde Veränderung der Verhältnisse eingetreten sei […]. Dass der Eheschutzentscheid vom 16. April 2013 […] damit der Abänderung bedarf, wird von den Parteien nicht in Frage gestellt. Der Ehemann wendet sich indes zunächst gegen die von der Vorinstanz vorgenommene rückwirkende Festlegung der Kinderunterhaltsbeiträge ab 1. Juni 2019 […]. Seiner Ansicht nach wurde im Eheschutzentscheid vom 16. April 2013 kein Fehlbetrag betreffend Kinderunterhalt festgehalten, weshalb der Kinderunterhaltsbeitrag in einem Abänderungsverfahren nur für die Zukunft und nicht rückwirkend für ein Jahr abgeändert werden könne. Ein Abänderungsbegehren könne nicht rückwirkend den Unterhalt abändern, sondern nur für die Zukunft. Die Kinderunterhaltsbeiträge könnten deshalb frühestens ab Einreichung des Begehrens betreffend vorsorgliche Massnahmen am 22. April 2020 abgeändert werden […].
b) Gemäss Rechtsprechung und herrschender Lehre wird der in Art. 279 Abs. 1 ZGB festgeschriebene Grundsatz, dass ein Kind für das Jahr vor Anhebung der Klage Unterhalt verlangen könne, bei der Abänderungsklage nach Art. 286 Abs. 2 ZGB sinngemäss angewendet, so dass eine Anpassung des Unterhaltsbeitrages zu Gunsten des Kindes – nicht aber zu seinem Nachteil durch Abänderungsklage des Pflichtigen – rückwirkend auf ein Jahr vor Einreichung des Abänderungsbegehrens, jedoch frühestens ab dem Eintritt der Veränderung der Verhältnisse, möglich ist (BGE 128 III 305 E. 6a; 127 III 505 E. 3b/aa; BGer 5A_778/2019 E. 4.2.1; FamKomm Scheidung/Aeschlimann, Bd. I: ZGB, 3. Aufl., Art. 286 ZGB N 17; BSK ZGB I-Fountoulakis/Breitschmid, 6. Aufl., Art. 286 N 7b; KUKO ZGB-Michel/Ludwig, 2. Aufl., Art. 286 N 5; CHK-Roelli/Meuli-Lehni, 2. Aufl., Art. 286 ZGB N 3). Der Grund für diese rückwirkende Anpassungsmöglichkeit wird darin gesehen, dass es dem Kind bzw. dem im Interesse des Kindes handelnden Elternteil – mit Blick auf das Kindeswohl – ermöglicht werden soll, sich vor der Klageerhebung mit der unterhaltspflichtigen Person auf eine vertragliche Einigung zu verständigen, ohne im Falle des Scheiterns der Verhandlungen einen Nachteil befürchten zu müssen (BGE 127 III 503 E. 3b/aa; kritisch Spycher/Hausheer, in: Hausheer/Spycher, Handbuch des Unterhaltsrechts, 2. Aufl., N 09.62).
Etwas anderes ergibt sich auch nicht aus dem per 1. Januar 2017 in Kraft getretenen Art. 286a Abs. 1 ZGB. Nach dieser Bestimmung hat das Kind Anspruch darauf, dass der unterhaltspflichtige Elternteil diejenigen Beträge zahlt, die während der letzten fünf Jahre, in denen der Unterhaltsbeitrag geschuldet war, zur Deckung des gebührenden Unterhalts fehlten, vorausgesetzt, dass ein solcher Mankofall in einem genehmigten Unterhaltsvertrag oder in einem Entscheid festgestellt wurde und sich die Verhältnisse des unterhaltspflichtigen Elternteils seither ausserordentlich verbessert haben. Daraus zu schliessen, eine Abänderung von Kinderunterhaltsbeiträgen rückwirkend für ein Jahr sei nur in ausgewiesenen Mankofällen möglich, worauf die Argumentation des Ehemannes abzuzielen scheint, geht fehl. Art. 286a ZGB stellt eine Abweichung vom "Gedanken der Periodizität" dar, wonach mit laufendem Einkommen nicht frühere Schulden nachfinanziert werden sollen (Spycher, Kindesunterhalt: Rechtliche Grundlagen und praktische Herausforderungen – heute und demnächst, in: FamPra.ch 2016, 1 ff., 8), Art. 286 Abs. 2 ZGB tangiert den Gedanken der Periodizität dagegen nicht, da eine Anpassung frühestens ab dem Zeitpunkt möglich ist, in dem die Veränderung der Verhältnisse eingetreten ist. Die beiden Bestimmungen erfassen somit grundsätzlich unterschiedliche Sachverhalte, was sich auch darin zeigt, dass Art. 286a Abs. 1 ZGB eine "ausserordentliche" anstatt lediglich eine "erhebliche" Verbesserung voraussetzt und primär auf einmalige Kapitalzuflüsse ausgerichtet ist (z.B. eine Erbschaft oder eine Schenkung) und weniger – wie dies hauptsächlich im Rahmen von Art. 286 Abs. 2 ZGB aus Sicht des Kindes der Fall ist – auf eine Verbesserung der finanziellen Situation der unterhaltspflichtigen Person infolge eines Einkommensanstiegs (vgl. BBl 2014 529 ff., 588; Jungo/Aebi-Müller/Schweighauser, Der Betreuungsunterhalt, in: FamPra.ch 2017, 163 ff., 195). Letzteres ist zwar nicht ausgeschlossen (vgl. Erläuternder Bericht zum Vernehmlassungsentwurf zur Änderung des Zivilgesetzbuches [Kindesunterhalt], der Zivilprozessordnung [Art. 296a] und des Zuständigkeitsgesetzes [Art. 7] vom Juli 2012, S. 31 und 39 f.; BSK ZGB I-Fountoulakis, 6. Aufl., Art. 286a N 5 m.w.N.; KUKO ZGB-Michel/Ludwig, Art. 286a ZGB N 3); in aller Regel dürfte mit laufendem Einkommen aber kaum künftig ein höherer Unterhaltsbeitrag bezahlt und gleichzeitig eine fünfjährige Nachzahlung finanziert werden können (Jungo/Aebi-Müller/Schweighauser, a.a.O., 195). In seltenen Fällen kann es aufgrund der sinngemässen Anwendung von Art. 279 Abs. 1 ZGB im Rahmen von Art. 286 Abs. 2 ZGB einerseits sowie der retrospektiven Betrachtungsweise von Art. 286a Abs. 1 ZGB andererseits freilich zu Überschneidungen zwischen den beiden Normen kommen. Dieser Umstand musste auch dem Gesetzgeber bewusst gewesen sein, war ihm die fragliche Praxis zu Art. 286 Abs. 2 ZGB doch bekannt (vgl. BBl 2014 529 ff., 587).
Demzufolge verletzte die Vorinstanz kein Bundesrecht, wenn es die Kinderunterhaltsbeiträge zu Gunsten von Kind X. und Kind Y. rückwirkend auf den 1. Juni 2019 (Tag des Stellenantritts des Ehemannes bei der A. AG) festsetzte. Ein Rückgriff auf den Grundsatz von Treu und Glauben, wie dies die Ehefrau vorträgt […], bedarf es hierfür nicht.
3.-7. [Höhe der Kinderunterhaltsbeiträge: Phasenweise Ermittlung der Einkommen und Bedarfspositionen der Unterhaltsparteien und Unterhaltsberechnung]
8.a) Der im Familienbedarf entstehende Überschuss ist nach grossen und kleinen
Köpfen zu verteilen (BGE 147 III 265 E. 7.3). Resultiert auch beim hauptbetreuenden
Elternteil aus der Unterhaltsberechnung ein Überschuss, so stellt sich alsdann zudem die Frage, ob er sich damit am Barunterhalt der Kinder (familienrechtliches Existenzminimum zzgl. Überschussanteil) zu beteiligen hat. Diesbezüglich gilt rechtsprechungsgemäss Folgendes: "Das Vorhandensein eines Überschusses beim hauptbetreuenden Elternteil führt nicht ohne Weiteres zu dessen Beteiligung am Barunterhalt des Kindes, ansonsten dem Prinzip der Gleichwertigkeit von Natural- und Geldunterhalt keine Nachachtung verschafft würde. Vielmehr kann das Gericht einzelfallbezogen und ermessensweise den hauptbetreuenden Elternteil dazu verpflichten, neben dem Naturalunterhalt einen Teil des Barbedarfs des Kindes zu decken. Dabei stehen die Grössenordnung des Überschusses als solcher und das Verhältnis der Leistungsfähigkeit zwischen den Eltern in einer Wechselbeziehung. Je besser die finanziellen Verhältnisse sind und entsprechend höher der Überschuss des hauptbetreuenden Elternteils ausfällt, desto eher ist eine Beteiligung desselben am Barunterhalt des Kindes in Betracht zu ziehen. Andererseits kommt eine Beteiligung des hauptbetreuenden Elternteils infrage, wenn er leistungsfähiger ist als der andere Elternteil" (BGer 5A_926/2019 E. 6.3 mit Hinweisen; […]).
Zur Frage, wann eine Beteiligung des hauptbetreuenden Elternteils mit seinem Überschuss am Barunterhalt in der Regel zu erfolgen hat, machte das Bundesgericht bisher noch keine konkreten Vorgaben. Immerhin erachtete es in BGE 147 III 265 E. 8.3.2 den hauptbetreuenden Elternteil als (wesentlich) leistungsfähiger, wenn sein Überschuss rund zehnmal mehr betrug als jener des unterhaltsverpflichteten Elternteils nach Abzug des "gebührenden Bedarfs" der Kinder (Kinderunterhaltsbeiträge im Umfang des familienrechtlichen Existenzminimums zzgl. Überschussanteil), und es für angemessen, wenn der Überschuss des hauptbetreuenden Elternteils ungefähr das Zweieinhalbfache des Überschusses des unterhaltsverpflichteten Elternteils ausmachte (jeweils nach Abzug des Anteils am "gebührenden Bedarf" der Kinder). Weiter sah es in BGer 5A_593/2021 E. 4.4 den hauptbetreuenden Elternteil als leistungsfähiger an, wenn sein Überschuss mehr als das Vierfache betrug als der Überschuss des unterhaltsverpflichteten Elternteils nach Bezahlung der Kinderunterhaltsbeiträge, und erklärte eine Regelung, wonach dem hauptbetreuenden Elternteil im Ergebnis ein Überschuss verblieb, der rund das Doppelte des Überschusses des unterhaltsverpflichteten Elternteils ausmachte, als nicht willkürlich.
Ausgehend davon erscheint es vorliegend angemessen, die Ehefrau als hauptbetreuenden Elternteil dann am Barunterhalt der Kinder zu beteiligen, wenn ihr Überschuss mehr als ca. das Zweifache/Zweieinhalbfache des Überschusses des Ehemannes ausmacht. Zur Ermittlung einer Beteiligung kann wie folgt vorgegangen werden: (1) Zunächst ist der Gesamtüberschuss der Familie nach grossen und kleinen Köpfen zu verteilen, zum (familienrechtlichen) Existenzminimum zu addieren und so der gebührende Unterhalt der Familienmitglieder zu ermitteln; (2) Um die finanzielle Belastung der beiden Elternteile zu überprüfen, ist ihre Leistungsfähigkeit (= Überschuss, d.h. gesamtes Einkommen minus gesamte Ausgaben, bestehend aus dem eigenen Bedarf und den Unterhaltspflichten) zu vergleichen, vorerst in der Annahme, dass der unterhaltsverpflichtete Elternteil den gesamten Unterhalt der Kinder (inkl. Überschussanteil) übernimmt. Übersteigt nun der Überschuss des hauptbetreuenden Elternteils denjenigen des unterhaltsverpflichteten Elternteils um mehr als das Doppelte, ist die Unterhaltspflicht dieses Elternteils soweit zu reduzieren, dass sein Überschuss ungefähr die Hälfte desjenigen des betreuenden Elternteils ausmacht. Die Differenz hat entsprechend der hauptbetreuende Elternteil zu übernehmen.
b) Vorliegend beträgt der Überschuss in der ersten Phase beim Ehemann Fr. 200.00 (nach Ausgleich des Barbedarfs der Kinder) und bei der Ehefrau Fr. 945.00, wodurch ein Gesamtüberschuss der Familie von Fr. 1'145.00 resultiert. Verteilt nach grossen und kleinen Köpfen entspricht dies für den Ehemann sowie die Ehefrau ein Überschussanteil von gerundet je Fr. 380.00 und für die beiden Kinder je Fr. 192.50. Der gebührende Unterhalt des Ehemannes beträgt folglich Fr. 3'365.00 (= Fr. 2'985.00 + Fr. 380.00), derjenige der Ehefrau Fr. 4'255.00 (= Fr. 3'875.00 + Fr. 380.00), von Kind X. Fr. 1'257.50 (= Fr. 1'065.00 + Fr. 192.50) und von Kind Y. Fr. 1'237.50 (= Fr. 1'045.00 + Fr. 192.50). Abzüglich der Kinderzulagen von je Fr. 210.00 (Eigenversorgung) haben die Kinder somit einen Unterhaltsanspruch von Fr. 1'047.50 (Kind X.) bzw. Fr. 1'027.50 (Kind Y.). Hätte der Ehemann den Unterhalt beider Kinder vollumfänglich zu bezahlen, resultierte bei ihm ein Minus von Fr. 185.00 (Fr. 4'875.00 abzgl. Fr. 2'985.00 abzgl. Fr. 1'047.50 abzgl. Fr. 1'027.50), während der Ehefrau Fr. 945.00 verblieben. Folglich rechtfertigt es sich, den den Kindern zustehenden Überschussanteil von zusammen Fr. 385.00 (2 x Fr. 192.50) durch die Ehefrau tragen zu lassen, wodurch dem Ehemann sein eigener Überschuss von Fr. 200.00 verbleibt, während sich derjenige der Ehefrau auf Fr. 560.00 (Fr. 945.00 abzgl. Fr. 385.00) reduziert. Bei dieser Berechnung macht ihr Überschuss ca. das Zweieinhalbfache desjenigen des Ehemannes aus und ihr gebührender Unterhalt ist (weiterhin) gedeckt. Eine Beteiligung der Ehefrau (auch) am Barbedarf der Kinder fällt ausser Betracht.
c) In der zweiten Phase beträgt der Überschuss auf Seiten des Ehemannes Fr. 385.00 (nach Ausgleich des Barbedarfs der Kinder) und auf Seiten der Ehefrau Fr. 510.00, mithin total Fr. 895.00. Verteilt nach grossen und kleinen Köpfen ergibt dies für den Ehemann sowie für die Ehefrau einen Überschussanteil von gerundet je Fr. 300.00 und für die beiden Kinder einen solchen von je Fr. 147.50, womit sich der gebührende Unterhalt der einzelnen Familienmitglieder auf Fr. 3'085.00 (Ehemann; = Fr. 2'785.00 + Fr. 300.00), Fr. 3'915.00 (Ehefrau; = Fr. 3'615.00 + Fr. 300.00), Fr. 1'257.50 (Kind X.; = Fr. 1'110.00 + Fr. 147.50) bzw. Fr. 1'237.50 (Kind Y.; = Fr. 1'090.00 + Fr. 147.50) beläuft. Abzüglich der Kinderzulagen von je Fr. 230.00 resultiert bei den Kindern ein Unterhaltsanspruch von Fr. 1'027.50 (Kind X.) bzw. Fr. 1'007.50 (Kind Y.). Mit seinem Einkommen von (durchschnittlich) Fr. 4'910.00 könnte der Ehemann seinen eigenen Bedarf sowie die Unterhaltsansprüche der Kinder damit zwar vollumfänglich decken, dadurch verlieben ihm aber nur Fr. 90.00 (Fr. 4'910.00 abzgl. Fr. 2'785.00 abzgl. Fr. 1'027.50 abzgl. Fr. 1'007.50), der Ehefrau mit Fr. 510.00 dagegen rund das Fünfeinhalbfache davon. Es erscheint daher für angemessen, den Ehemann lediglich je Fr. 95.00 der Überschussanteile der Kinder tragen zu lassen. Dadurch verbleibt ihm ein Überschuss von Fr. 195.00 und der Ehefrau ein solcher von Fr. 405.00, mithin ca. das Doppelte und weiterhin mehr als ihr eigener Überschussanteil.
9. [Zusammenfassung der phasenweise zu zahlenden Unterhaltsbeiträge]