Aus den Erwägungen:
1. Obwohl das Gesetz zwischen der Schuldneranweisung im Rahmen der Unterhaltspflicht des Ehegatten gegenüber der Familie (Art. 177 ZGB, vgl. auch Art. 132 Abs. 1 ZGB) und jener gegenüber dem Kind (Art. 291 ZGB) unterscheidet, ist das Institut der Anweisung an die Schuldner – abgesehen von sachlich bedeutungslosen Unterschieden – gleich ausgestaltet (BSK ZGB I-Breitschmid, Art. 291 N 1; FamKomm Scheidung / Schwenzer, Art. 132 ZGB N 1; BSK ZGB I – Breitschmid, Art. 131/132, N 1 und 7). Betreffend die Bezeichnung des Schuldners im Rahmen einer Schuldneranweisung sind die Überlegungen sodann auch die gleichen.
2. Der Wortlaut von Art. 132 Abs. 1, Art. 177 sowie Art. 291 ZGB sieht in Bezug auf die sich vorliegend stellende Frage vor, dass das Gericht "ihre" (Art. 132 Abs. 1 für den Ehegatten und Art. 291 ZGB für die Eltern) resp. "dessen Schuldner" (Art. 177 ZGB; für den Ehegatten) anweisen kann, die Zahlungen an die berechtigte Person (Art. 132 Abs. 1 ZGB), an den anderen Ehegatten (Art. 177 ZGB) resp. an den gesetzlichen Vertreter des Kindes (Art. 291 ZGB) zu leisten. Der Gesetzestext schliesst die Möglichkeit der Anweisung an den jeweiligen Arbeitgeber also nicht von Vorneherein aus, sondern lässt beide Möglichkeiten der Anweisung zu (GVP 1996 Nr. 34; Suhner, Anweisungen an den Schuldner [Art. 177 und 291 ZGB], Dissertation St. Gallen, 1992, S. 71).
3. …
4. a) Lehre und Rechtsprechung sind in der zur Diskussion stehenden Frage uneinheitlich. Gemäss einer – allerdings schon älteren – Rechtsprechung des Kantonsgerichtes (GVP 1988 Nr. 34; GVP 1996 Nr. 34) wird die Anweisung des jeweiligen Arbeitgebers abgelehnt. Wie auch die Berufungsklägerin dargetan hat, gibt es allerdings auch jüngere erstinstanzliche Entscheide, die eine Anweisung des jeweiligen Arbeitgebers enthalten (act. FS/2). Aus verschiedenen aktuellen Bundesgerichtsentscheiden geht zudem hervor, dass in einigen Kantonen, dies – jedenfalls teilweise – auch der jeweiligen Praxis entspricht (vgl. BGer 5A_791/2012, Sachverhalt B; BGer 5A_400/2011, Sachverhalt B; BGer 5A_585/2008, Sachverhalt B; BGer 5C.52/2006, Sachverhalt B; BGer 5P.138/2004, Sachverhalt B).
Die Literatur ist in dieser Frage gespalten. Die Anweisung des jeweiligen Arbeitgebers wird von folgenden Autoren befürwortet: Suhner (a.a.O., S. 71 ff.), Hollenweger (Fragen der Vollstreckung des Unterhaltsanspruchs, in: ZVW 45 [1990], S. 85), Hausheer/Reusser/Geiser (BK, Art. 177 N 11), Diethelm/Dolder (Eheschutz [Art. 175 ff. ZGB] – Ein aktueller Überblick, in: AJP 2003, S. 668), Guler (Mittel der Durchsetzung der nachehelichen Unterhaltspflicht und Sozialhilfeleistungen, in: Rumo-Jungo/Pichonnaz [Hrsg.], Familienvermögensrecht, S. 47), Vetterli (FamKomm Scheidung, Art. 177 N 3) und Schwander (BSK ZGB I Art. 177 N 12). In diesem Zusammenhang ablehnend äussern sich demgegenüber Hegnauer (BK, Art. 291 N 22 sowie Grundriss des Kindesrechts, Rz 23.10), Weber (Anweisung an die Schuldner, Sicherstellung der Unterhaltsforderung und Verfügungsbeschränkung, in: AJP 2002, S. 239), Sutter/Freiburghaus (Kommentar zum neuen Scheidungsrecht, Art. 132 ZGB N 10), Brunner (Handbuch des Unterhaltsrechts, S. 210, Rz 04.92; allerdings in diesem Zusammenhang unter Hinweis auf eine "Lockerung" der Praxis in Bezug auf die Frage der Bestimmtheit), Breitschmid (BSK ZGB I, Art. 291 N 4) und Schwenzer (FamKomm Scheidung, Art. 132 N 7).
In Abwägung der Interessen der Parteien und auch in Berücksichtigung der konkreten Situation im vorliegenden Fall ist zu prüfen, ob an der früheren Rechtsprechung des Kantonsgerichtes festzuhalten oder dem Berufungsbegehren stattzugeben ist.
b) Vorliegend sind die allgemeinen Voraussetzungen für den Erlass einer Schuldneranweisung offensichtlich gegeben; sie werden denn auch vom Berufungsbeklagten in keiner Weise in Frage gestellt. Damit steht fest, dass konkret folgende Voraussetzungen als gegeben zu betrachten sind: Vorliegen eines Rechtstitels für Unterhaltszahlungen, relevante Vernachlässigung der Unterhaltspflicht und Verhältnismässigkeit des Eingriffes in die Stellung des Unterhaltspflichtigen (BGer 5A_791/2012 E. 3; Weber, a.a.O., S. 237 ff.; BSK ZGB I – Breitschmid, Art. 291 N 4; BSK ZGB I – Schwander, Art. 177 N 9 ff.; BSK ZGB I – Breitschmid, Art. 131/132 ZGB, N 7 f. FamKomm Scheidung / Vetterli, Art. 177 N 4).
Aufgrund des Wortlautes des vorliegend zur Diskussion stehenden Art. 291 ZGB kann – wie schon erwähnt – die von der Berufungsklägerin aufgeworfene Frage nicht beantwortet werden. Daher ist auf den Sinn und Zweck sowie die Tragweite der Schuldneranweisung zurückzugreifen. Diese stützt sich in der Regel – so auch vorliegend – auf einen Rechtstitel, der bereits früher geschaffen worden ist. Der Alimentenschuldner hatte grundsätzlich auch Gelegenheit, diesem Genüge zu tun. Die Voraussetzungen für den Erlass einer Schuldneranweisung setzen denn auch eine effektive Vernachlässigung der Unterhaltspflicht voraus. Damit kann darauf hingewiesen werden, dass die vielfach als Grund gegen die Anweisung des jeweiligen Arbeitgebers angeführte Blossstellung des Schuldners nicht mehr als sehr gewichtig zu betrachten ist, kommt es doch nur dann soweit, wenn bereits eine entsprechende Vernachlässigung eingetreten ist. Der Schuldner hätte es also grundsätzlich selber in der Hand gehabt, dies zu vermeiden. Zudem ist darauf hinzuweisen, dass es vorliegend um Kinderunterhalt geht, für welchen vom Alimentenschuldner regelmässig besondere Anstrengungen verlangt werden (vgl. BGE 137 III 118 E. 3.1). Daran ändert im Übrigen auch nichts, dass sehr häufig in diesem Zusammenhang – so auch vorliegend – aufgrund der Alimentenbevorschussung eine Abtretung an das Gemeinwesen erfolgt ist.
Aufgrund der recht hohen Hürden, welche für den Erlass einer Schuldneranweisung gegeben sind, erscheint auch das bisweilen vorgebrachte Argument, der Alimentenschuldner könne gar nicht mehr den Tatbeweis erbringen, dass er freiwillig die Schuld erfülle (vgl. z.B. FamKomm Scheidung / Vetterli, Art. 177 N 3; Weber, a.a.O., S. 240), wenig stichhaltig. Im vorliegenden Verfahren wurde diesbezüglich im Übrigen gar nichts geltend gemacht.
Weiter wird als Argument in diesem Zusammenhang angeführt, dass im Falle der Anweisung des jeweiligen Drittschuldners auf dessen Seite eine Verunsicherung gegeben sein könne. So sei es nicht klar, ob die entsprechende Verfügung noch rechtsgültig und zu befolgen sei. In diesem Zusammenhang ist darauf hinzuweisen, dass grundsätzlich bei Schuldneranweisungen keine Zeitlimite angegeben wird (vgl. Weber, a.a.O., S. 240; BK Hausheer/Reusser/Geiser, Art. 177 ZGB N 9 f.). Dies hat zur Folge, dass bei Änderungen der finanziellen Situation des Alimentenschuldners, welche zu einer Änderung des Unterhaltsbeitrages führen würden, es regelmässig notwendig sein wird, die entsprechende Verfügung richterlich anzupassen. Im Übrigen ist dem Drittschuldner der Entscheid vorzulegen (samt entsprechender Rechtskraft- bzw. Vollstreckbarkeitsbescheinigung). Es versteht sich von selbst, dass ein Arbeitgeber, der von einer Anweisung nichts weiss und nichts wissen muss, in diesem Zusammenhang keine Risiken eingeht (also auch nicht jenes der Doppelzahlung). Wird der jeweilige Arbeitgeber angewiesen, so ist es Sache der Alimentengläubigerin dafür zu sorgen, dass der jeweilige Arbeitgeber Kenntnis von der Anweisung erhält, entweder durch Zustellung durch das Gericht oder durch eigene Übermittlung der Anweisung (BSK ZGB I – Schwander, Art. 177 N 12). Ob dies bei Stellenwechseln "nahtlos" geschieht, liegt in der Verantwortung der Unterhaltsgläubigerin. Ebenfalls hat sie dafür zu sorgen, rechtzeitig (also beispielsweise auch vor einer Veranlassung einer Lohnzahlung durch den Arbeitgeber) die entsprechenden Dokumente dem jeweiligen Arbeitgeber (oder dem Sozialversicherungsträger) vorzulegen. Das Risiko, dass beispielsweise ein "veralteter" Entscheid vorgelegt würde, erscheint gering, da dies dann ohne Weiteres auch wieder korrigiert werden könnte. In diesem Zusammenhang sind ohnehin sehr häufig Gemeinwesen betroffen, bei denen sich das Risiko beispielsweise einer allfälligen Rückzahlung in klaren Grenzen halten würde. Weiter kann auch dem Alimentenschuldner zugemutet werden – zumal er ja vorher seine Unterhaltspflichten vernachlässigt hat –, sich darum zu kümmern, dass nötigenfalls korrigierend eingegriffen wird.
Soweit – wie vorliegend – das Gemeinwesen die Unterhaltsbeiträge bevorschusst, hat dieses im Übrigen Änderungen in der Bevorschussung, welche doch auch recht häufig vorkommen können (z.B. infolge Wegzugs der Berechtigten aus dem bevorschussenden Gemeinwesen), dem Angewiesenen entsprechend mitzuteilen (BGer 5A_882/2010 E. 3.8). Grundsätzlich stellt sich die Frage, ob es sachgerecht wäre, dass das schuldneranweisende Gericht die Pflicht zur Mitteilung an den Drittschuldner unmittelbar ins Urteildispositiv aufnimmt (Rüetschi, Prozessuale Fragen im Kontext der Schuldneranweisung, FamPra.ch 2012, S. 664). Da keine der Parteien diese Frage im Berufungsverfahren thematisiert hat, wird davon abgesehen.
In diesem Zusammenhang wird im Weiteren regelmässig auch die Frage der Bestimmtheit bzw. Bestimmbarkeit der entsprechenden Forderung aufgeworfen (GVP 1996 Nr. 34). Angesichts der Gefahr einer doppelten Leistungspflicht ist ein eindeutig bestimmter Geldbetrag für den angewiesenen Schuldner von besonderer Bedeutung (BK Hausheer/Reusser/Geiser, Art. 177 N 11a). Um dieser Voraussetzung Genüge zu tun, braucht es nicht einen exakten Betrag, aber eine klare und unmissverständliche Umschreibung. Die von der Vorinstanz gewählte Formulierung erscheint in diesem Zusammenhang völlig klar, wird doch dabei das einzuhaltende Existenzminimum und der maximale Betrag des Unterhaltes erwähnt. Damit ist die Situation für den angewiesenen Arbeitgeber bzw. den angewiesenen Sozialversicherungsträger offensichtlich klar. Zudem erlaubt dies eine flexible Lösung bei allfälligen Lohnveränderungen.
Die verschiedentlich erwähnten Probleme bei Vorliegen mehrerer Arbeitgeber des Schuldners (GVP 1996 Nr. 34; BK Hausheer/Reusser/Geiser, Art. 177 N 11a; Suhner, a.a.O., S. 72 f.) wären wohl speziell zu behandeln, da in der Tat in diesem Zusammenhang Probleme auftauchen könnten. Dies ist allerdings kein Grund, die grundsätzliche Zulassung der Anweisung des jeweiligen Arbeitgebers allgemein abzulehnen. Es dürfte sich dabei ohnehin eher um Einzelfälle handeln. Von besonderer Bedeutung ist, dass vorliegend diese Frage von keiner Seite aufgeworfen wurde.
Besonderes Gewicht hat schliesslich die Frage der Prozessökonomie. In der Praxis kommt es gerade bei Alimentenschuldnern, die von einer Schuldneranweisung betroffen sind, recht häufig vor, dass die Arbeitsstelle gewechselt wird (oder allenfalls auch ein Sozialversicherungsträger "einspringen" muss). Lässt man die Anweisung des jeweiligen Arbeitgebers bzw. Sozialversicherungsträgers nicht zu, so sind immer und immer wieder neue Verfahren anzustreben, die zeitlich dann häufig noch "hinterher hinken". Damit würde – bezogen auf den vorliegenden Fall – das Kind, dessen Unterhalt zur Diskussion steht, benachteiligt. Zudem würden bei den Betroffenen immer wieder neue Kosten entstehen. Letztlich liegt dies auch nicht im Interesse des Alimentenschuldners, der bei Gewährung der Schuldneranweisung ja regelmässig die entsprechenden Kosten zu tragen hat.
Zusammenfassend ist daher in Abwägung der verschiedenen Argumente die Berufung gutzuheissen und die Schuldneranweisung an den jeweiligen Arbeitgeber bzw. Sozialversicherungsträger zu richten. Dies ist vorliegend umso mehr gerechtfertigt, als der Schuldner sich diesbezüglich auch in keiner Weise gewehrt hat. Ergänzend ist festzuhalten, dass im Übrigen gemäss vorinstanzlichem Entscheid vorgegangen werden kann, d.h. die Anweisung nur für den das errechnete Existenzminimum übersteigenden Betrag bis zum Maximalbetrag des Unterhaltsbeitrages anzuordnen ist.
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Auszug aus dem Dispositiv:
1. Der jeweilige Arbeitgeber bzw. der jeweilige Sozialversicherungsträger von X, zur Zeit die Y AG, … wird angewiesen, vom Lohn bzw. Lohnersatz von X ab sofort den monatlich Fr. a übersteigenden Betrag bis zum Maximalbetrag von Fr. b (Kinderunterhalt) sowie die allenfalls ausgerichtete Kinderzulage von zur Zeit Fr. 200.00 für Z monatlich zuhanden der Politischen Gemeinde … zu überweisen.
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