Aus den Erwägungen:
Eine Besuchsrechtsbeistandschaft (Art. 308 Abs. 2 ZGB) kann von Amtes wegen angeordnet werden und wird von der Praxis in Fällen wie dem vorliegenden befürwortet, in dem der Aufbau einer tragfähigen, noch kaum bestehenden Beziehung zwischen dem Kind und dem Besuchsberechtigten gefördert werden soll und/oder die Kommunikation zwischen den Eltern stark beeinträchtigt ist (vgl. BGer 5A_586/2012 E. 4.3; Hausheer, Die drittüberwachte Besuchsrechtsausübung […] – Rechtliche Grundlagen, in: ZVW 1/1998, S. 17, 31; Christa Bally, Die Anordnung des begleiteten Besuchsrechts aus der Sicht der Vormundschaftsbehörde, in: ZVW 1/1998, S. 1, 5 f.; BK-Hegnauer, Art. 275 ZGB N 118 ff.). […]
Allgemein ist es Aufgabe eines Besuchsrechtsbeistandes, im Rahmen der gerichtlich verbindlich festgelegten Besuchsordnung die für einen reibungslosen Verlauf der einzelnen Besuche nötigen Modalitäten so festzusetzen, dass Spannungen abgebaut, negative Beeinflussungen vermieden und die Beteiligten bei Problemen beraten werden. Obwohl der Beistand seine Aufgaben grundsätzlich persönlich zu erfüllen hat und den Beteiligten als Ansprechpartner dienen soll, können konkrete Aufgabenbereiche, wie beispielsweise die Anwesenheit bei der Übergabe, an geeignete Dritte delegiert werden, wobei namentlich gemeinsame Vertrauenspersonen beider Eltern in Betracht kommen (BSK ZGB I-Breitschmid, Art. 308 N 14 f.). Der Beistand trägt aber die Verantwortung für die Besuchsrechtsausübung. Je nach Sachlage, die der Massnahme zugrundeliegt, sind verschiedene Arten der Beteiligung seitens des Beistands denkbar. Daher sind die dem Besuchsrechtsbeistand im Einzelfall übertragenen Aufgaben eindeutig zu umschreiben (Hausheer, a.a.O., S. 17, 31 f.).
[…] Der Beistand ist von der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) einzusetzen und hat die Aufgabe, die Ausübung des Besuchsrechts zu überwachen. Im Rahmen dieser Besuchsrechtsbeistandschaft dürfte insbesondere angezeigt sein, die Eltern bei den Übergaben des Kindes zu begleiten, hat sich doch bei den durchgeführten Besuchen ihre Konfliktsituation offensichtlich gerade dabei manifestiert und [beim Kind] eine Verunsicherung und Trennungsprobleme ausgelöst. Daher könnte hilfreich sein, die Übergaben [des Kindes] im Beisein einer neutralen Drittperson durchzuführen, wobei diese Aufgabe nicht nur vom eingesetzten Beistand selber, sondern auch von einer anderen geeigneten Person übernommen werden kann, auf die sich die Eltern idealerweise einigen würden und die auch [dem Kind] bereits vertraut sein sollte. Der Beistand wird beauftragt, die Eltern dabei zu unterstützen und nach seiner Einschätzung der Situation festzulegen, wie lange eine Begleitung bei den Übergaben notwendig ist. Gegebenenfalls bestimmt er selber eine geeignete Person, falls den Eltern keine Einigung gelingt.
[…]
Der Beistand ist dabei berechtigt, die genauen Modalitäten, die für eine reibungslose Abwicklung der Übergaben erforderlich sind, festzulegen, wenn möglich nach Rücksprache mit den Eltern (so beispielsweise, was den Ort, ein allfälliges Nachholen, eine Anpassung der genauen Zeiten etc. anbelangt).
Erscheint dem Beistand je nach Entwicklung der Besuchssituation eine Änderung des im vorliegenden Entscheid festgelegten Rahmens des Besuchsrechts als im Interesse des Kindeswohls notwendig (zum Beispiel eine Ausweitung oder Einschränkung der Besuchskontakte), so hat er einen entsprechenden Antrag an die Kindesschutzbehörde zu stellen, falls sich eine Anpassung nicht im Einvernehmen mit den Eltern regeln lässt (vgl. Art. 275 Abs. 1 und 315b Abs. 2 ZGB).
Allfällige im Zusammenhang mit dieser Besuchsrechtsbeistandschaft für die Parteien anfallende Kosten haben diese je zur Hälfte zu tragen.
[…]
Beispiel für die Umschreibung der Aufgaben des Beistands im Dispositiv: