Aus den Erwägungen:
5. a) Umstritten ist zunächst, ob die elterliche Sorge den Parteien nach der Scheidung weiterhin gemeinsam zukommen soll oder ob diese allein der Mutter zuzuteilen ist. Wie bei allen Kinderbelangen ist auch im Bereich der elterlichen Sorge das Kindeswohl als oberste Richtlinie zu beachten (vgl. Art. 296 Abs. 1 ZGB). Gemäss Art. 296 Abs. 2 ZGB stehen die Kinder, solange sie minderjährig sind, unter der gemeinsamen elterlichen Sorge von Vater und Mutter. Die gemeinsame elterliche Sorge stellt unabhängig vom Zivilstand der Eltern, mithin auch bei geschiedenen Eltern, den Regelfall dar (BSK ZGB I-Schwenzer/Cottier, Art. 296 N 8b und Art. 298 N 2). Grundsätzlich wird davon ausgegangen, dass damit dem Kindeswohl am besten gedient ist. Nur wenn es zur Wahrung des Kindeswohls nötig ist, überträgt das Gericht einem Elternteil (ausnahmsweise) die alleinige elterliche Sorge (Art. 298 Abs. 1 ZGB; BGer 5A_400/2015, E. 3.3; BGer 5A_186/2016, E. 4; BGer 5A_81/2016, E. 5; BGer 5A_89//2016, E. 4).
Gemäss den vom Bundesgericht erarbeiteten Richtlinien liegt ein Fall für die Alleinzuteilung der elterlichen Sorge an einen Elternteil nicht nur vor, wenn beim anderen ein Grund für die Entziehung der elterlichen Sorge nach Art. 311 Abs. 1 ZGB gegeben ist. Vielmehr kommen weitere Konstellationen vor, in denen die gemeinsame Sorge dem Kindeswohl zuwiderlaufen könnte, insbesondere bei einem Dauerkonflikt zwischen den Eltern um das Kind, bei Mängeln hinsichtlich Kooperationsfähigkeit bzw. -wille und bei offenbarem Rechtsmissbrauch, wenn sich dies negativ auf das Kindeswohl auswirkt und von einer Alleinzuteilung eine Verbesserung erwartet werden kann. Die Begründungslast trägt derjenige Elternteil, der sich gegen die gemeinsame elterliche Sorge wendet (vgl. zum Ganzen BGE 141 III 472, E. 4.4 ff.; BSK ZGB I-Schwenzer/Cottier, Art. 298 N 13 f.; Büchler/Maranta, Das neue Recht der elterlichen Sorge, in: Jusletter vom 11. August 2014, Rz 38 ff.; Hausheer/Geiser/Aebi-Müller, Das Familienrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, N 17.88 f.; Botschaft, BBl 2011, S. 9102, 9105). Da es sich bei der Alleinzuteilung der elterlichen Sorge um den Ausnahmefall handelt, ist bei diesen Gründen eine überdurchschnittliche Intensität zu fordern; nicht jede – wohl in fast jedem Scheidungskontext vorhandene – Konfliktsituation zwischen den Eltern gefährdet das Kindeswohl und vermag deshalb ein Abweichen von der Regel der gemeinsamen Sorge zu rechtfertigen. Die Alleinsorge kommt zudem nur in Frage, wenn dadurch einer Gefährdung des Kindeswohls überhaupt wirksam begegnet werden kann (Geiser, Wann ist die Alleinsorge anzuordnen und wie ist diese zu regeln?, in: ZKE 3/2015, S. 239, 243; Büchler/Maranta, a.a.O., Rz 40).
b) Die Berufungsklägerin ficht die vorinstanzlichen Regelung an, wonach die drei Töchter unter der gemeinsamen elterlichen Sorge belassen werden. Sie beantragt, die drei Kinder unter ihre alleinige elterliche Sorge zu stellen, und begründet dies im Wesentlichen mit einem schwerwiegenden Elternkonflikt. Die Kommunikation zwischen ihr und dem Ehemann sei schwierig und auf ein Minimum beschränkt. Ihre Weigerung und ihr Unvermögen, mit ihm zu kommunizieren, hingen mit der häuslichen Gewalt zusammen, welche im Juli 2013 ihren Anfang genommen habe und bei ihr zu einer chronischen und erheblichen psychischen Belastung geführt habe. Es sei davon auszugehen, dass die Entscheidungsfindungen in wichtigen Angelegenheiten der Kinder in Zukunft nicht funktionieren würden. Die Kommunikationsschwierigkeiten wirkten sich bereits jetzt negativ auf das Kindeswohl aus und von der Alleinzuteilung könnten eine Verbesserung und ein geringeres Konfliktpotential erwartet werden.
Der Berufungsbeklagte möchte die gemeinsame elterliche Sorge auch nach der Ehescheidung beibehalten. Die von der Berufungsklägerin ins Feld geführten Kommunikations- und Kooperationsschwierigkeiten gingen allein von dieser aus, wobei die Gründe dafür nicht klar ersichtlich seien. Nach ihren Aussagen bei der Staatsanwaltschaft habe zu keinem Zeitpunkt häusliche Gewalt bestanden. Zudem verhalte sich die Mutter widersprüchlich, wenn sie sich verschiedene Male positiv über ihn, den Ehemann, äussere und danach wieder unerklärliche Vorwürfe gegen ihn erhebe und ihm aktuell seit September 2016 grundlos das Besuchsrecht verweigere. (…)
c) Die Familiengeschichte vermittelt den Eindruck, dass die Beziehung zwischen den Eltern in der Vergangenheit wechselhaft war. So trennten sich die Eheleute zum ersten Mal bereits im Jahr 2010 für längere Zeit, fanden dann aber im Verlaufe des Jahres 2012 wieder zueinander, bevor sie sich Mitte 2013 endgültig trennten. In der Folge stellte die Berufungsklägerin Strafantrag gegen ihren Ehemann und warf ihm vor, gegen sie wiederholt und massiv tätlich geworden zu sein. Allerdings zog sie ihre anfänglichen Anschuldigungen später grösstenteils wieder zurück. Zudem ergab die Überprüfung ihrer anfänglichen Aussagen durch die Staatsanwaltschaft, dass diese in zeitlicher und örtlicher Hinsicht teilweise nicht mit den tatsächlichen Begebenheiten übereinstimmten. Dies führte im Ergebnis dazu, dass das Strafverfahren gegen den Ehemann eingestellt wurde. Im vorliegenden Verfahren beharrt die Ehefrau wiederum auf dem Standpunkt, dass der Ehemann Gewalt gegen sie angewendet habe. Letztendlich bleibt unklar, ob und inwiefern der Ehemann Gewalt gegen die Ehefrau ausgeübt hat. Jedoch ist auf der Grundlage der Einstellungsverfügung und deren Begründung im vorliegenden Verfahren von einem straflosen Verhalten des Ehemannes auszugehen.
Auch das Besuchsrecht ist geprägt von einem Auf und Ab. Zu Beginn der Trennung war die Mutter nicht dazu bereit, die beiden älteren Mädchen zu den begleiteten Besuchstagen zu bringen, was zur Folge hatte, dass viele Besuchstermine ausfielen. Später schien sie die unbegleiteten Kontakte zwischen dem Vater und den Kindern zu unterstützen. An der Einigungsverhandlung im Scheidungsverfahren gaben beide Parteien an, dass das mittlerweile unbegleitete Besuchsrecht gut funktioniere. Abweichungen vom Besuchsplan könnten sie gut und selbständig untereinander klären. Der Vater telefoniere oft mit den Kindern. Demgegenüber fanden offenbar zwischen Dezember 2015 und Februar 2016 keine Besuche statt, und seit Juli 2016 haben sich Vater und Kinder – soweit ersichtlich – gar lediglich zweimal gesehen, obwohl der von der Beiständin aufgesetzte Besuchsplan (…) an jedem ersten und dritten Samstag im Monat einen Besuchstag vorsehen würde. Zudem erlaubt die Mutter bereits seit längerer Zeit keine Telefone des Vaters mehr, weil dieser beim Telefonieren mit der ältesten Tochter ein schlechtes Wort benutzt haben soll.
Die Eltern pflegen zur Zeit keinen Kontakt miteinander, was hauptsächlich auf der Weigerung der Berufungsklägerin zu beruhen scheint. Sie begründet dies mit den – nicht nachgewiesenen – früheren gewalttätigen Übergriffen auf sie. Aus Furcht vor dem Ehemann könne sie Begegnungen mit ihm nicht verkraften und sich in seiner Anwesenheit nicht frei äussern. Unter Berücksichtigung des Verhaltens der Berufungsklägerin sowohl im Strafverfahren mit Freispruch des Berufungsbeklagten als auch in den familienrechtlichen Verfahren, in welchen sie ihre Meinung offen kundzutun vermochte (vgl. vorstehend E. II.2.b), ist ihre Erklärung jedoch nicht überzeugend. Zudem zeigt die Familiengeschichte, dass die Bereitschaft der Mutter, sich mit dem Vater über die Belange der Kinder zu verständigen, im Verlauf des Scheidungsverfahrens ohne ersichtlichen Grund nach und nach dahinschwand und schliesslich ganz versiegte. Vor diesem Hintergrund ist die Weigerung der Mutter, mit dem Vater zu kommunizieren und kooperieren, in erster Linie als Mittel zum Zweck im Kampf um die alleinige elterliche Sorge einzuordnen.
d) Nach dem Gesagten ist der Elternkonflikt nicht als derart schwer einzustufen, dass die Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge an die Mutter gerechtfertigt wäre. Insbesondere vermag die Mutter – abgesehen von den nicht nachgewiesenen tätlichen Übergriffen auf sie – keine konkreten Konfliktpunkte zu nennen und es ist auch nicht aktenkundig, dass sich die Eltern in grundsätzlicher und unüberwindbarer Weise über die Belange der Kinder gestritten hätten. Vielmehr scheinen die Spannungen auf Elternebene durch die zeitweilig mehr oder weniger starke Verweigerungshaltung einseitig von der Mutter auszugehen. Auch deren Behauptung, es sei davon auszugehen, dass die Entscheidungsfindungen in wichtigen Angelegenheiten der Kinder in Zukunft nicht funktionierten, stellt keinen genügenden Grund für die Zuteilung der Alleinsorge dar. Es war nicht die Meinung des Gesetzgebers, dass ein Elternteil in abstrakter Weise auf einen Konflikt soll verweisen und daraus einen Anspruch auf Alleinsorge ableiten können (BGE 142 III 1, E. 3.4). Die Eltern haben vielmehr zu beachten, dass das elterliche Sorgerecht ein sogenanntes Pflichtrecht darstellt (BGE 136 III 353, E. 3.1; BGer 5A_198/2013, E. 4.1; BSK ZGB I-Schwenzer/Cottier, Art. 296 ZGB N3 ). Die mit der elterlichen Sorge verbundenen Rechte und Pflichten sind zum Wohle des Kindes auszuüben. Die Eltern haben im Rahmen ihrer Möglichkeiten alles zu unternehmen, was zur gedeihlichen Entwicklung des Kindes erforderlich ist. Für den vorliegenden Fall bedeutet dies, dass sich insbesondere auch die Mutter zu bemühen hat, zwischen der konfliktbehafteten Elternebene einerseits sowie dem Eltern-Kind-Verhältnis andererseits zu unterscheiden und die Kinder aus dem elterlichen Konflikt herauszuhalten.
Eine Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge lässt sich auch nicht mit der abstrakten Feststellung begründen, dass sich die älteste Tochter in einem Loyalitätskonflikt befinde. Denn ein solcher führt nicht in jedem Fall zu einer Beeinträchtigung des Kindeswohls, welche ein Eingreifen erforderlich erscheinen lässt. Die Auswirkungen eines Loyalitätskonflikts hängen vielmehr von der Konstitution des Kindes selbst und vom Verhalten der Eltern diesem gegenüber ab. Erforderlich ist daher auch in diesem Zusammenhang eine konkrete Feststellung, in welcher Hinsicht das Kindeswohl beeinträchtigt ist (BGer 5A_609/2016, E. 2.2). Dies wird hier – insbesondere in Bezug auf die älteste Tochter – nicht geltend gemacht. Zudem konnten sich der Vizepräsident und die Gerichtsschreiberin an der persönlichen Anhörung ein unmittelbares Bild der beiden älteren Geschwister und ihrer Befindlichkeit machen. Die beiden Mädchen machten dabei einen zufriedenen und unbeschwerten Eindruck. Sie berichteten über die Schule bzw. den Kindergarten und ihre Freizeit, die sie bevorzugt mit der Mutter und der jüngsten Schwester verbringen. In Bezug auf die mittlere Tochter entstand der Eindruck, dass sie sich über die Besuche des Vaters freut und gern Zeit mit ihm verbringt. Die älteste Tochter hingegen scheint die Besuche des Vaters eher als notwendiges Übel über sich ergehen zu lassen. Insgesamt ergaben sich an der Anhörung keine Anhaltspunkte dafür, dass sich der elterliche Konflikt in einem Ausmass auf das Wohl der Kinder auswirkte, welches die Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge rechtfertigen würde. Solche ergeben sich auch nicht aus den Akten, insbesondere auch nicht aus den Berichten der Beiständin.
Zu beachten ist schliesslich, dass eine Alleinsorge nur dann in Frage kommt, wenn dadurch einer Gefährdung des Kindeswohls überhaupt wirksam begegnet werden kann. Elternteile, denen die elterliche Sorge über ihr Kind nicht zusteht, sind zwar von Entscheiden bezüglich des Kindes ausgeschlossen, sie trifft jedoch die Pflicht zur Zahlung von Unterhalt (Art. 276 ZGB) und das Recht auf persönlichen Verkehr (Art. 274 f. ZGB). Ausserdem sieht Art. 275a ZGB ein Informations- und Auskunftsrecht des nicht sorgeberechtigten Elternteils vor (BGer 5A_609/2016, E. 4.2). Würde das Sorgerecht allein der Mutter zugesprochen, wären damit zwar die möglichen Konfliktthemen zwischen den Eltern weniger breit, als wenn der Berufungsbeklagte Mitinhaber des Sorgerechts bliebe. Hingegen blieben die im Zusammenhang mit dem persönlichen Verkehr bestehenden Streitpunkte, um welche sich der Konflikt der Parteien – wie die Anfechtung der vor-instanzlichen Betreuungsregelung durch Mutter zeigt – im Grunde hauptsächlich dreht, genau gleich bestehen. Wie sich bei der nachfolgend zu beurteilenden Betreuungsregelung zeigen wird (vgl. nachfolgend E. II.6 ff.), steht dabei nämlich nicht in Frage, dass die Kinder hauptsächlich durch die Mutter betreut werden und dem Vater ein Besuchsrecht einzuräumen ist, so dass das mit den Vater-Kind-Kontakten einhergehende Konfliktpotential mit oder ohne gemeinsame elterliche Sorge bestehen bliebe. Damit kann gesagt werden, dass von der Zuteilung der alleinigen elterlichen Sorge keine erhebliche Verbesserung des Elternkonflikts und folglich keine entscheidende Verminderung der bestehenden Beeinträchtigung des Kindeswohls zu erwarten sind.
Insgesamt ergibt sich, dass die Voraussetzungen für ein Abweichen von der Regel der gemeinsamen elterlichen Sorge nach der Scheidung im Interesse des Kindeswohls nicht gegeben sind. Die elterliche Sorge ist folglich beiden Eltern gemeinsam zu belassen. Damit ist an Mutter und Vater zu appellieren, künftig ein kooperatives Verhalten an den Tag zu legen und die zumutbaren Anstrengungen bei der gegenseitigen Kommunikation zu unternehmen, ohne die ein gemeinsames Sorgerecht nicht in effektiver Weise und zum Vorteil des Kindes ausgeübt werden kann.