Aus den Erwägungen:
II.
2. a) Ebenfalls an dieser Stelle ist vorab auf die Bedeutung des Umstands einzugehen, dass die Unterhaltsbeiträge von monatlich Fr. 510.00, welche die Klägerin ihrem Sohn gemäss Unterhaltsentscheid des Kreisgerichts X. vom 9. November 2010 schuldet, vollumfänglich vom Sozialamt der Stadt Y. bevorschusst werden – die Klägerin hat gemäss eigenen Angaben nie eine Zahlung geleistet –, damit gestützt auf Art. 289 Abs. 2 ZGB von Gesetzes wegen ein Übergang der jeweiligen Unterhaltsansprüche mit allen Rechten auf das Gemeinwesen (Legalzession bzw. Subrogation) erfolgte bzw. erfolgt und sich die Frage der Passivlegitimation des Sohnes der Klägerin, gegen den diese ihre Klage ausschliesslich gerichtet hat, bzw. der Beteiligung des Sozialamtes am Verfahren stellt. Da diese Frage die Passivlegitimation betrifft, ist sie dabei von Amtes wegen und deshalb unabhängig davon zu beantworten, dass die Sachlegitimation von keiner der Parteien thematisiert wurde (vgl. Art. 57 ZPO), wobei es dann, wenn nicht die in der Sache legitimierte Person eingeklagt wurde, zu einer Abweisung der Klage kommt (Leuenberger/Uffer-Tobler, Schweizerisches Zivilprozessrecht, N 5.24).
b) Der Anspruch auf Unterhaltsbeiträge steht dem Kind zu und wird, solange es minderjährig ist, durch Leistung an dessen gesetzlichen Vertreter oder an den Inhaber der Obhut erfüllt, soweit das Gericht es nicht anders bestimmt (Art. 289 Abs. 1 ZGB). Kommt jedoch das Gemeinwesen für den Unterhalt auf, geht der Unterhaltsanspruch mit allen Rechten auf das Gemeinwesen über (Abs. 2). Bezüglich der Folgen dieser Legalzession für ein Verfahren betreffend Abänderung von Unterhaltsbeiträgen hatte das Bundesgericht in einem während des vorliegenden Berufungsverfahrens ergangenen, zur Publikation bestimmten Entscheid vom 6. März 2017 (BGer 5A_399/2016 bzw. 5A_400/2016) einen Fall zu beurteilen, in welchem die Unterhaltsbeiträge teilweise vom Gemeinwesen bevorschusst wurden, wobei der Unterhaltspflichtige die Abänderungsklage (wie hier) lediglich gegen das Kind gerichtet hatte. Dabei bestätigte bzw. präzisierte das Bundesgericht folgende Auffassung: Soweit ein Gemeinwesen gerichtlich zugesprochene Unterhaltszahlungen bevorschusse, werde es zum Gläubiger der betreffenden Forderungen. Dies gelte auch für künftig fällig werdende Unterhaltsbeiträge, hinsichtlich derer die Bevorschussung bereits bewilligt sei. Nach allgemeiner Regel müsse der Unterhaltspflichtige daher (auch) das Gemeinwesen ins Recht fassen, wenn er den Umfang seiner Beitragsverpflichtung reduzieren lassen wolle. Insoweit seien bei einer teilweisen Subrogation sowohl das Kind (resp. dessen Vertreter) als auch das Gemeinwesen nebeneinander passivlegitimiert. Angesichts der Besonderheit, dass der Gegenstand der Herabsetzungsklage – nämlich das Dauerschuldverhältnis zwischen dem unterhaltsansprechenden Kind und dem unterhaltspflichtigen Elternteil – nicht identisch sei mit der konkreten, periodischen Unterhaltsforderung, die das Gemeinwesen (teilweise) bevorschusst habe resp. bevorschussen werde, durchbreche die Passivlegitimation des Gemeinwesens den Grundsatz, dass allein der Zedent Adressat von Willenserklärungen des Schuldners bleibe, welche das Schuldverhältnis als Ganzes beträfen. Diese Regel komme im Bereich von Art. 289 Abs. 2 ZGB auch insoweit nicht zum Tragen, als das Gemeinwesen, welches für den Kindesunterhalt aufkomme, zur Unterhaltsklage oder zur Klage auf Abänderung des Unterhaltsbetrags befugt sei. Es subrogiere zunächst in die konkrete Unterhaltsforderung, wobei mit der Legalzession abtretungsfähige Nebenrechte dieser periodischen Unterhaltsforderung auf den Zessionar übergingen (vgl. Art. 170 OR), darunter das Recht, die Schuldneranweisung zu verlangen (Art. 291 ZGB), weiter gewisse betreibungsrechtliche Privilegien und der Anspruch auf Sicherstellung (Art. 292 ZGB). Im Falle einer Herabsetzungsklage verschaffe die Passivlegitimation dem Gemeinwesen darüber hinaus auch prozessuale Befugnisse, durch welche es auf das Dauerschuldverhältnis zwischen dem unterhaltsberechtigten Kind und dem unterhaltsverpflichteten Elternteil einwirken könne. Diese Befugnisse hätten gleichsam eine überschiessende Wirkung, weil sie nicht auf tatsächlich bevorschusste (oder noch zu bevorschussende) Unterhaltsansprüche beschränkt seien. Während das von der Herabsetzungsklage betroffene Kind die mit der einzelnen Forderung verbundenen Nebenrechte im Umfang der Legalzession verliere, tangiere die Subrogation seine Gestaltungsrechte und prozessualen Befugnisse hinsichtlich des Dauerschuldverhältnisses (aber) nicht. Mithin bleibe das Kind selbst dann neben dem Gemeinwesen passivlegitimiert, wenn dieses in zeitlicher und quantitativer Hinsicht vollständig in den Unterhaltsanspruch subrogiere (E. 6.3.3).
c) Angewendet auf den vorliegenden Fall, in welchem die Unterhaltsbeiträge vollumfänglich vom Sozialamt bevorschusst werden, bedeuten diese Erwägungen, dass die Klägerin die Abänderungsklage sowohl gegen ihren Sohn als auch gegen das bevorschussende Sozialamt hätte richten müssen: Dabei kann offenbleiben, was das Bundesgericht mit der Formulierung, es sei "angezeigt", das bevorschussende Gemeinwesen an der Passivlegitimation des Kindes "teilhaben zu lassen" (BGer 5A_399/2016 E. 6.3.6), genau ausdrücken will. Entscheidend ist, dass das Bundesgericht daraus für den von ihm beurteilten Fall ableitet, die im Streit liegenden Unterhaltsbeiträge seien "nicht bereits mit Wirkung ab Beginn der Rechtshängigkeit des Abänderungsverfahrens im ganzen Umfang aufzuheben, sondern nur, soweit sie […] nicht bevorschusst worden sind (E. 6.4). Dies lässt keinen anderen Schluss zu, als dass Unterhaltsbeiträge im Umfang der Bevorschussung nicht rückwirkend bzw. auf einen Zeitpunkt vor Abschluss des Berufungsverfahrens (vgl. BGer 5A_399/2016 E. 6.1) herabgesetzt werden können, wenn die Abänderungsklage nur gegen das Kind, nicht aber gegen das Gemeinwesen gerichtet wurde. Dass das bevorschussende Gemeinwesen mitbeklagt wird, ist folglich nicht nur eine Option, sondern eine Pflicht, will der Kläger auch (während des Verfahrens) bevorschusste Unterhaltsbeiträge herabgesetzt haben.
Dieser Pflicht ist die Klägerin im vorliegenden Fall nicht nachgekommen, indem sie lediglich ihren Sohn, nicht aber das bevorschussende Gemeinwesen eingeklagt hat. Dies führt nach dem Gesagten in Bezug auf die bis zum Abschluss des Berufungsverfahrens fällig gewordenen Unterhaltsbeiträge ohne weiteres zur Abweisung der Klage mangels Passivlegitimation des Beklagten, nachdem dieser den Vorschlag, die Passivlegitimation durch die Rückzession der Forderung auf bevorschusste Unterhaltsbeiträge gegen die Klägerin durch die Bevorschussungsstelle an ihn, den Beklagten, bzw. seinen Vater als gesetzlichen Vertreter auf den Urteilszeitpunkt hin (wieder-)her-zustellen (act. FO/48), abgelehnt hat (act. FO/54), das Sozialamt auch nicht etwa von sich aus aufgrund des Erwerbs der Unterhaltsansprüche i.S.v. Art. 83 Abs. 1 ZPO in den Prozess eingetreten ist (womit offenbleiben kann, ob und in welchem Umfang ein solcher Eintritt erst im Berufungsverfahren überhaupt zulässig ist; vgl. Schwander, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger, ZPO Komm., Art. 83 N 12) und dieses auch nicht etwa gerichtlich beigeladen werden kann, da dies in der ZPO nicht vorgesehen ist. Daran, dass die bevorschussten Beiträge materiell nicht überprüft werden können, ändert im Übrigen auch der – hier anwendbare – Untersuchungs- und Offizialgrundsatz nichts; er erlaubt es nicht, die vom Gemeinwesen bevorschussten Beiträge zu überprüfen, wenn dieses nicht Prozesspartei ist (vgl. BGer 5A_634/2013 E. 4.2).
Zu bejahen ist im Übrigen hingegen die Passivlegitimation des Beklagten in Bezug auf die in Zukunft fälligen Unterhaltsbeiträge.
d) Beizufügen bleibt Folgendes: Die Anwendung der bundesgerichtlichen Rechtsprechung erfolgt vor dem Hintergrund, dass das Bundesgericht damit frühere Entscheide bestätigt und den neuen Entscheid zur Publikation vorsieht. Sie erscheint aber in verschiedener Hinsicht nicht unproblematisch: So wird die Frage einer möglichen Interessenkollision beim bevorschussenden Gemeinwesen und der sich daraus ergebenden Folgen für die Legitimation im Abänderungsverfahren vom Bundesgericht zwar aufgeworfen, aber nicht eindeutig beantwortet (E. 6.3.4). Die Feststellung des Bundesgerichtes, die Legalzession umfasse nicht nur die einzelne Unterhaltsforderung, sondern das Unterhaltsverhältnis als Ganzes, und die im beurteilten Fall daraus gezogene Schlussfolgerung, für die Passivlegitimation des Kindes komme es nicht auf die Rechtshängigkeit, sondern auf den Zeitpunkt des Entscheides an, sind insofern nicht zwingend, als sich gestützt auf Art. 169 Abs. 1 OR die Frage stellt, ob die von der Legalzession betroffene Forderung bezüglich (ihrer Entstehung und) ihres Überganges bei einer rechtshängigen Abänderungsklage nicht unter dem Vorbehalt der möglichen Abänderung steht. Hinzu kommen Aspekte der Praktikabilität der Beteiligung des bevorschussenden Gemeinwesens am Verfahren, vor allem unter dem Gesichtspunkt, dass unterhaltsrechtliche Verfahren regelmässig auch von familiären Konflikten geprägt sind, an denen das Gemeinwesen zu beteiligen kein Anlass besteht und derentwegen zu befürchten ist, dass das Gemeinwesen einen Weg suchen wird, in solchen Situationen die Bevorschussung einzustellen, um sich nicht an der im Übrigen auch Ressourcen bindenden Auseinandersetzung beteiligen zu müssen. Schliesslich kann sich auch die Frage danach stellen, ob und unter welchen Umständen das Gericht in Anwendung des Untersuchungsgrundsatzes von sich aus Abklärungen hinsichtlich einer allfälligen Bevorschussung treffen muss, handelt es sich doch bei der Passivlegitimation, wie ausgeführt, um eine von Amtes wegen zu beantwortende Rechtsfrage.