Aus den Erwägungen:
1. Die Vorinstanz auferlegte sämtliche Prozesskosten der Mutter. Sie begründete dies damit, dass die Mutter im Vollstreckungsverfahren grundsätzlich unterlegen sei. Sie erklärt weiter, dass die Mutter mit ihrem obstruktiven Verhalten – Gefährdungsmeldung, Ausstandsbegehren gegen KESB-Mitglied, mehrere Sistierungsgesuche – die Prozesskosten verursacht habe bzw. massgeblich dazu beigetragen habe.
2. Mit ihrem Hauptbegehren verlangt die Mutter die vollumfängliche Aufhebung von Ziff. 7 und Ziff. 8 des vorinstanzlichen Entscheides. Dafür verlangt sie, es seien die Gerichtskosten vollumfänglich dem Vater aufzuerlegen, sowie es sei der Vater zu verpflichten ihr eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.00 zu bezahlen.
Mit ihren Anträgen verlangt die Mutter nicht eine Korrektur der Höhe der Gerichtskosten oder der Parteikosten. Sie rügt zwar, dass die Vorinstanz die Gerichtskosten von Fr. 800.00 für das unbegründete Entscheiddispositiv auf Fr. 1'200.00 für den begründeten Entscheid erhöht habe, ohne dies anzukündigen. Dazu ist zu sehen, dass diese Rüge nicht die gestellten Anträge betrifft bzw. begründet. Überdies machte der zuständige Kreisrichter die Mutter bzw. deren Rechtsanwältin mit Schreiben vom 26. Oktober 2020 nachträglich darauf aufmerksam, dass die Entscheidgebühr im Falle einer Nachlieferung der Begründung auf Fr. 1'200.00 erhöht würde. In diesem Falle wäre der Mutter zuzugestehen gewesen, angesichts der Kosten nachträglich auf eine Urteilsbegründung zu verzichten. Dies hat sie aber nicht gemacht. Nachträglich erscheint es aber als ein widersprüchliches Verhalten, wenn die Mutter im Wissen um die auf Fr. 1'200.00 erhöhte Entscheidgebühr auf einer Urteilsbegründung besteht, gleichzeitig aber auf der auf Fr. 800.00 reduzierten Entscheidgebühr für das bereits erhaltene, unbegründete Entscheiddispositiv beharrt. Aus diesen beiden Gründen wird die Höhe der Gerichtskosten gemäss Ziff. 7 des vorinstanzlichen Entscheides nicht abgeändert.
3. …
4. In Kindersachen werden die Kosten den Eltern nicht immer, aber häufig hälftig auferlegt (Art. 107 Abs. 1 lit. c ZPO), weil die Eltern eine gemeinsame Verantwortung für das Kind tragen und in aller Regel nicht eigene Interessen verfechten, sondern das, was in ihrer subjektiven Sicht das für das Kind Beste ist (vgl. z.B. OGer ZH i.S. PQ200007 E. 4). So ist es auch hier zu halten. In Kindersachen soll auch bei der Kostenverlegung nicht ein "recht habender" und ein "falsch liegender" Elternteil ausgemacht werden. Vielmehr ist – zumindest in den meisten Fällen – anzuerkennen, dass beide Eltern eine gute Lösung für das anstehende Problem suchen. Nur in den Fällen, bei denen offensichtlich ist, dass sie dies nicht tun, indem sie beispielsweise ihre eigenen Interessen verfolgen oder ihrer unverarbeiteten Enttäuschung oder Wut über die ehemalige Partnerin bzw. den ehemaligen Partner freien Lauf lassen, sind die Kosten mehrheitlich oder ganz einem Elternteil aufzuerlegen.
Vorliegend sind keine Anzeichen vorhanden, die für eine einseitige Kostenauflage sprechen. Die Vorinstanz begründet die Kostenauflage mit dem "obstruktiven" Verhalten der Mutter. Sie erklärt aber nicht im Einzelnen, dass die Mutter keine "guten Gründe" für ihr Verhalten hatte und belegt nicht, inwieweit die Handlungen der Mutter – im weitesten Sinn – gegen Treu und Glaube erfolgten. Unter diesen Umständen ist die Entscheidgebühr beiden Eltern je zur Hälfte aufzuerlegen und es sind die Parteikosten wettzuschlagen. Dies entspricht dem Eventualantrag Ziff. 2 der Beschwerde.