Erwägungen
I.
In der Berufungsstreitsache der Parteien stellte die Gesuchstellerin mit Schreiben vom 11. Januar 2008 (act. B/7) den Antrag, der Gesuchsgegner sei zu verpflichten, für Parteikosten des Berufungsverfahrens von Fr. 9'375.- zuzüglich Mehrwertsteuer und 4 % Auslagen sowie des erstinstanzlichen Verfahrens in der Höhe von Fr. 20'680.20 Sicherheit zu leisten, da dieser im Berufungsverfahren neu einen Wohnsitz in X, Grossbritannien, deklariere. Gleichzeitig ersuchte sie um Ansetzung einer neuen Frist zur Erstattung der Berufungsantwort, sobald feststehe, dass eine Pflicht zur Sicherheitsleistung bestehe und gegebenenfalls die Sicherheitsleistung rechtzeitig erbracht werde. Mit Schreiben vom 15. Januar 2008 (act. B/10) teilte der Vizepräsident der III. Zivilkammer des Kantonsgericht mit, dass die Frist zur Erstattung der Berufungsantwort nicht erstreckt und daher praxisgemäss auch nicht "abgenommen" und neu angesetzt werden könne. Dem Anliegen der Gesuchstellerin trug er insoweit Rechnung, als er das Berufungsverfahren mit sofortiger Wirkung bis auf weiteres sistierte. Mit Eingabe vom 25. Januar 2008 (act. B/11) nahm der Gesuchsgegner zum Kautionsgesuch Stellung und beantragte dessen Abweisung.
II.
Die von Amtes wegen vorzunehmende Prüfung der Prozessvoraussetzungen (Art. 79 ZPO; Art. 84 Abs. 1 GerG) ergibt, dass diese erfüllt sind. Auf das Gesuch ist folglich einzutreten.
III.
1. Nach Art. 276 Abs. 1 lit. a ZPO leistet der Kläger Sicherheit für die Prozesskosten, wenn er in der Schweiz keinen Wohnsitz hat und ihn kein Vertrag mit dem entsprechenden Staat von der Sicherheitsleistung befreit. Die Kautionspflicht wird nur durch den Nachweis eines effektiven Wohnsitzes nach Art. 23 Abs. 1 ZGB in der Schweiz ausgeschlossen (BGE 117 Ia 292 ff.; Leuenberger/Uffer-Tobler, Kommentar zur Zivilprozessordnung des Kantons St. Gallen, Bern 1999, N 2a zu Art. 276 ZPO mit weiteren Hinweisen).
Nach Art. 23 Abs. 1 ZGB befindet sich der Wohnsitz am Ort, an dem sich eine Person mit der - nach aussen erkennbaren - Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Massgebend ist der Mittelpunkt der Lebensbeziehungen (vgl. Staehelin, in: Honsell/Vogt/Geiser [Hrsg.], Basler Kommentar zum Zivilgesetzbuch, Bd. 1, 3. Aufl., Basel/Genf/München 2006, N 5 zu Art. 23 ZGB).
Die Sicherheitsleistung für Gerichtskosten wird vom Gerichtspräsidenten von Amtes wegen verfügt, während jene für Parteikosten einen Antrag der Gegenpartei voraussetzt (vgl. Art. 279 Abs. 1 ZPO).
2. Nach Darstellung der Gesuchstellerin hat der Gesuchsgegner seinen Wohnsitz von Y (Schweiz) (Angabe im vorinstanzlichen Verfahren: vgl. vi-act. 1), nach X (Grossbritannien) (Angabe im Berufungsverfahren: vgl. act. B/1), verlegt. Aufgrund dieses Umstands sei anzunehmen, dass die Voraussetzung von Art. 278 Abs. 1 lit. a ZPO erfüllt sei. Sodann bestehe zwischen der Schweiz und X kein Staatsvertrag betreffend die vorbehaltlose Befreiung von Sicherheitsleistungen (Gesuch [act. B/7], 1 und 2).
Dem widerspricht der Gesuchsgegner: Zwar halte er sich aktuell und gezwungenermassen aus geschäftlichen Gründen oft in X auf. Nach wie vor habe er aber seinen Wohnsitz in Y, wo seine Familie wohne, wo er ein Einfamilienhaus besitze, wo er die dort ansässige A-AG als Verwaltungsratspräsident führe, wo er wohne, lebe und wo er verwurzelt sei (vgl. Gesuchsantwort [act. B/11], 2 Ziff. II.4). Im Übrigen entfalle die Kautionspflicht auch unter Berücksichtigung des Abkommens mit Grossbritannien im Zivilprozessrecht vom 3. Dezember 1937 (vgl. Gesuchsantwort, 4 Ziff. II.8).
3. Auch wenn sich der Gesuchsgegner zur Zeit aus geschäftlichen Gründen oft in X aufhält und in X zwischenzeitlich sogar eine Wohnung bezogen hat, kann sein zivilrechtlicher Wohnsitz weiterhin in Y liegen, wenn das der nach aussen erkennbare Mittelpunkt seiner Lebensbeziehungen ist. Dafür sprechen die folgenden Umstände: Der Gesuchsgegner ist verheiratet und besitzt in Y ein Einfamilienhaus, das gemäss seinen Angaben von seiner Familie bewohnt wird. Nach der Rechtsprechung befindet sich der Mittelpunkt der Lebensbeziehungen bei verheirateten Personen üblicherweise am Wohnort der Familie, nicht am Arbeitsort (vgl. BGE 96 II 161 ff., 166). Dies gilt auch für diejenigen Personen, welche am Arbeitsort übernachten und lediglich am Wochenende nach Hause fahren (vgl. BGE 125 I 54 ff., 56; 88 III 135 ff., 139; 81 II 319 ff., 327), sowie für Geschäftsleute, welche die grössere Zeit des Jahres im Ausland verbringen (ZR 80 [1981] 67 ff., 69), sofern sie die Familie nicht nur noch in grossen oder unregelmässigen zeitlichen Abständen besuchen (vgl. auch Staehelin, a.a.O., N 22 zu Art. 23 ZGB). Hinzu kommt, dass der Kläger gemäss Handelsregistereintrag als Verwaltungsratspräsident der A-AG mit Sitz in Y amtet (vgl. auch Gesuchsantwort, 3 Ziff. II.5). Im Telefonbuch ist er sodann nach wie vor unter der Adresse seines Einfamilienhauses verzeichnet (gg.act. 4). An diese Adresse wird ihm auch amtliche Korrespondenz zugestellt (gg.act. 5).
Letztlich braucht aber nicht entschieden zu werden, ob der Gesuchsgegner tatsächlich Wohnsitz in Y hat, da eine Kautionspflicht auch ausser Betracht fällt, wenn er einen Wohnsitz in X begründet hätte.
4. Zwischen der Schweiz und Grossbritannien besteht ein Abkommen über Zivilprozessrecht vom 3. Dezember 1937 (SR 0.274.183.671), das bezüglich Kautionspflicht folgende Bestimmung enthält:
"Art. 3 Sicherheitsleistung für Prozesskosten
a) Die Angehörigen eines hohen vertragsschliessenden Teils, die im Gebiet des anderen wohnhaft sind, wo das Gerichtsverfahren durchgeführt wird, sollen nicht verpflichtet sein, Sicherheit für Prozesskosten in Fällen zu leisten, in denen die Angehörigen dieses anderen hohen vertragsschliessenden Teils unter ähnlichen Umständen nicht verpflichtet sind;
b) Die Angehörigen eines hohen vertragsschliessenden Teils, die ausserhalb des Gebietes des anderen, wo das Gerichtsverfahren durchgeführt wird, wohnhaft sind, sollen zur Sicherheitsleistung für Prozesskosten dann nicht verpflichtet sein, wenn sie in diesem Gebiete unbewegliches oder anderes nicht ohne weiteres übertragbares Eigentum besitzen, das zur Deckung der Prozesskosten hinreicht."
Nach dem Wortlaut bezieht sich diese Bestimmung auf Schweizer Bürger nur insofern, als diese in Grossbritannien wohnen und dort klagen (lit. a) oder, auch ohne dort zu wohnen, in Grossbritannien klagen (lit. b). Nicht geregelt ist aber der - hier interessierende - Fall, dass ein Angehöriger eines Vertragsstaates, der im Gebiet des anderen wohnt, in seinem Heimatstaat klagt (vgl. auch ZR 88 [1989] Nr. 35 S. 122 ff., 123).
In ZR 88 [1989] Nr. 35 wurde vom zürcherischen Handelsgericht jedoch dargelegt, dass unter Berücksichtigung des Konkordats betreffend die Befreiung von der Verpflichtung zur Sicherheitsleistung für Prozesskosten vom 5./20. November 1903 (sGS 961.51) eine Lücke im kantonalen Prozessrecht angenommen werden muss. Dieser Auffassung ist zu folgen:
Im innerschweizerischen Verhältnis sieht Art. 1 des Konkordats eine Befreiung für Schweizer Bürger mit Wohnsitz in einem Kanton vor, wenn diese in einem anderen Kanton als Kläger auftreten. Dasselbe gilt gemäss Art. 2 des Konkordats auch für Schweizer Bürger, die in einem Vertragsstaat der Haager Übereinkunft (Übereinkunft betreffend Zivilprozessrecht vom 14. November 1896, ersetzt durch die Übereinkunft betreffend Zivilprozessrecht vom 17. Juli 1905 [SR 0.274.11], von Grossbritannien nicht ratifiziert) wohnen und in einem Konkordats-Kanton klagen. Bei Abschluss des schweizerisch-britischen Abkommens wurde das Konkordat jedoch nicht angepasst. Da aber kein Grund ersichtlich ist, weshalb die Vereinfachung, die für Schweizer Bürger mit Wohnsitz in einem Vertragsstaat der Haager Übereinkunft getroffen wurde, nicht ebenso für Schweizer mit Wohnsitz im Vertragsstaat Grossbritannien gelten soll, ist eine Lücke anzunehmen (vgl. ZR 88 [1989] Nr. 35 S. 122, 124). Diese ist so zu füllen, dass ein Schweizer mit Wohnsitz in Grossbritannien entsprechend dem Gedanken des Konkordats von 1903 nicht schlechter gestellt sein darf als ein britischer Staatsbürger. Zur Anwendung kommt jedoch keine vollständige Befreiung von der Kautionspflicht, wie sie im Verhältnis zu Personen mit Wohnsitz in einem Vertragsstaat der Haager Übereinkunft besteht. Der in Grossbritannien wohnende Schweizer muss sich aber (immerhin) auf Art. 3 lit. b des Abkommens von 1937 berufen können (vgl. ZR 1988 [1989] Nr. 35 S. 122, 124).
Vorliegend besitzt der Gesuchsgegner mit seinem Einfamilienhaus in Y unbewegliches Eigentum in der Schweiz (vgl. gg.act. 2). Hinzu kommt, dass dieses als Familienwohnung nach Art. 169 ZGB zu qualifizieren ist, deren Übertragung nicht ohne weiteres, sondern nur mit ausdrücklicher Zustimmung der Ehefrau, erfolgen kann (vgl. auch Gesuchsantwort, 4 Ziff. II.8). Darüber hinaus besteht eine Verfügungsbeschränkung nach Art. 30e Abs. 2 BVG (vgl. gg.act. 2; so auch Gesuchsantwort, 4 Ziff. II.8).
Der Gesuchsgegner verfügt somit über "unbewegliches oder nicht ohne weiteres übertragbares Eigentum" in der Schweiz. Damit wäre er, auch wenn er einen Wohnsitz in X, Grossbritannien, begründet haben sollte - was vorliegend nicht abschliessend geklärt werden musste -, aufgrund eines Staatsvertrages, konkret aufgrund von Art. 3 lit. b des Abkommens mit Grossbritannien, von der Kautionspflicht befreit.
5. Das Gesuch um Sicherheitsleistung ist folglich abzuweisen, da es am Kautionsgrund von Art. 276 Abs. 1 lit. a ZPO fehlt.