Erwägungen
I.
1. Am 20. März 1970 erlitt die damals fünfjährige A bei einem Autounfall eine schwere Schädel-Hirnverletzung mit einer Contusio cerebri und Liquorzirkulationsstörung als Folge.
a) Im Rahmen der Behandlung im Kantonsspital wurde ein ventriculo-peri-tonaeler Shunt rechts angelegt, welcher 1982 vollständig erneuert und 2002 revidiert wurde.
Im einem Herz- und Neurozentrum erfolgte dann am 22. Juni 2004 eine doppelte Unterbindung des Shuntventils des Perionaelkatheters supraklavikulär rechts, am 22. September 2004 eine erneute Ventil-Unterbindung und Durchtrennung des Perionaelkatheters am Hals und am 20. Januar 2005 eine Teilentfernung des Shunts unter Belassung des Ventrikel-Katheteranteiles sowie des peritonealen Endes.
b) Nach Darstellung von A hat sich deren Gesundheitszustand in der Folge wesentlich und dauernd verbessert. Jedenfalls vermutet sie, sie sei vorher falsch behandelt worden, und sie holte daher zwecks Abklärung allfälliger Behandlungsfehler im Spital X zwei Privatgutachten ein. Mit Auftrag vom 24. September 2008 liess sie von der Neurologischen Klinik und Polyklinik des Inselspitals Bern ein neurologisches Gutachten erstellen, welches am 16. Mai 2009 erstattet wurde, und am 17. Dezember 2009 beauftragte sie die H-GmbH in Deutschland mit einem fachneurologisch-neurochirurgischen Zusammenhangsgutachten, welches am 18. Januar 2010 abgeliefert wurde.
2. Mit Eingabe vom 21. Juli 2010 stellte A beim Kreisgericht St. Gallen das vorliegende Gesuch um vorsorgliche Beweisaufnahme mit dem Rechtsbegehren, es sei ein sachverständiger Neurologe als Gutachter einzusetzen, welcher sechs konkret formulierte Fragen (zwecks Abklärung einer allfälligen Sorgfaltspflichtverletzung bei der Behandlung am Spital X) zu beantworten habe. Der Kanton St. Gallen schloss mit Stellungnahme vom 19. September 2011 - unter Hinweis auf die beiden Privatgutachten sowie auf einen früheren ärztlichen Bericht von Prof. Dr. K. vom 20. März 2004 - auf kostenfällige Abweisung des Gesuchs. Nach Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels trat das Kreisgericht mit Entscheid vom 18. Januar 2012 auf das Gesuch nicht ein und auferlegte die Verfahrenskosten von Fr. 1'500.00 der Gesuchstellerin, welche überdies verpflichtet wurde, den Gesuchsgegner für dessen Parteikosten mit Fr. 4'212.00 zu entschädigen.
3. Gegen diesen Entscheid (versandt am 19.01.2012) erhob die Gesuchstellerin am 26. Januar 2012 Berufung beim Kantonsgericht und erneuerte ihr Rechtsbegehren. Der Gesuchsgegner trug in seiner Stellungnahme vom 5. März 2012 auf kostenfällige Abweisung der Berufung an, soweit darauf einzutreten sei.
Auf die Überlegungen des Vorderrichters und die zur Begründung ihrer Standpunkte gemachten Ausführungen der Parteien wird, soweit notwendig, im Folgenden eingegangen.
II.
1. Zuständig zur Beurteilung der vorliegenden Berufung gegen den im Summarverfahren ergangenen Entscheid des Kreisgerichts ist, da die von der Gesuchstellerin offensichtlich ins Auge gefassten materiellen Ansprüche verantwortlichkeitsrechtlicher Natur sind, der Einzelrichter im Obligationenrecht (Art. 15 Abs. 1 lit. a EG-ZPO; Art. 14 Abs. 2 Ziff. 4 Al. 3 [sachgemäss Art. 14 Abs. 1 lit. d folgend, wonach die III. Zivilkammer zur Beurteilung von öffentlich-rechtlichen Klagen zuständig ist] GO). Die Berufung ist rechtzeitig eingereicht worden (Art. 314 Abs. 1 ZPO); zu prüfen bleibt, ob der angefochtene Entscheid mit Berufung anfechtbar sei.
a) Nach Art. 158 Abs. 2 ZPO sind auf die vorsorgliche Beweisführung die Bestimmungen über die vorsorglichen Massnahmen anwendbar. Das bedeutet, dass Entscheide darüber wie Entscheide über vorsorgliche Massnahmen angefochten werden können, d.h. dann, wenn der Streitwert mindestens Fr. 10'000.00 beträgt (Art. 308 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 ZPO).
b) Der Streitwert einer vorsorglichen Beweisführung richtet sich nach dem Streitinteresse im Hauptprozess. Erfolgt die Beweisführung vor einem allfälligen Hauptprozess, so handelt es sich zwar um ein eigenständiges Verfahren; dieses wird aber im Hinblick auf einen Hauptprozess durchgeführt, geht es doch darum, einen gesetzlichen Beweisführungsanspruch sofort durchzusetzen, gefährdete Beweise zu sichern oder aber die Beweis- und Prozesschancen abzuklären (OGer ZH, LF110134 vom 12. Januar 2012 mit Hinweisen auf BGer 5A_433/2007 vom 18.09.2007; Johann Zürcher, in Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], DIKE-Komm-ZPO, Art. 158 N 3 und 7 ff.; Botschaft ZPO, BBl 2006, 7315).
Streitwertbestimmend in Fällen wie dem vorliegenden ist die von der Gesuchstellerin anvisierte Forderung aus Verantwortlichkeit (Art. 1 und 12 VG). Über den Streitwert haben die Parteien gegenüber dem Vorderrichter keine Angaben gemacht. Dieser hat ihn deshalb, implizit mit der Rechtsmittelbelehrung, selber festgesetzt, und zwar auf mindestens Fr. 10'000.00. Dies wiederum ist aufgrund der Erfahrung in solchen Fällen nicht zu beanstanden (vgl. Art. 91 Abs. 2 ZPO).
Nach dem Gesagten ist der Entscheid vom 18. Januar 2012 mit Berufung anfechtbar (Art. 308 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 ZPO).
c) Die Prozessvoraussetzungen sind damit erfüllt; auf die Berufung ist einzutreten.
III.
Gemäss Art. 158 Abs. 1 lit. b ZPO hat das Gericht jederzeit, d.h. auch vor der Rechtshängigkeit eines Hauptprozesses, Beweis abzunehmen, wenn die Partei eine Gefährdung der Beweismittel oder ein schutzwürdiges Interesse glaubhaft macht. Eine Beweisgefährdung (Spezialfall eines schutzwürdigen Interesses; vgl. dazu BSK ZPO-Gujan, Art. 158 N 5) liegt hier nicht vor; zu prüfen ist, ob das von der Gesuchstellerin mit der Abklärung der Beweis- und Prozesschancen (in einem allfälligen, gegen den Gesuchsgegner anzustrengenden Hauptverfahren) begründete Interesse an der anbegehrten Beweiserhebung schutzwürdig sei.
1. a) Der Vorderrichter ging zutreffend davon aus, dass die Gesuchstellerin in der Hauptsache die Haftungsvoraussetzungen (Vertragsverletzung, Schaden, Kausalzusammenhang) zu beweisen habe. Daraus leitete er ab, dass sie "also glaubhaft zu machen [habe], dass ein Sachverhalt vorliegt, bei welchem ihr ein Schaden aufgrund sorgfaltswidrigen Verhaltens des Gesuchsgegners zugefügt wurde und ihr dabei das beantragte neurologische Gutachten beim Beweis dieses Sachverhalts dienen kann" (vi-Entscheid, S. 3 Erw. 1b).
Alsdann kam er, das Privatgutachten des Inselspitals Bern vom 16. Mai 2009 (gest. act. 1) gleichsam als Gegenbeweismittel würdigend, zum Schluss, es könne "vor dem
Hintergrund dieses Gutachtens nicht davon ausgegangen werden, dass der von der Gesuchstellerin vorgetragene Sachverhalt glaubhaft gemacht worden" sei. Vielmehr erscheine "damit bereits das Vorliegen des (erforderlichen) Kausalzusammenhangs fraglich" (vi-Entscheid, S. 5 Erw. 1e). Dazu komme, dass der Zweitgutachter der H-GmbH (gest. act. 2) zwar "das Vorliegen eines Kausalzusammenhangs als 'nach Aktenlage zumindest denkbar' " bezeichne, "dass er jedoch zum klaren und ohne Relativierungen formulierten Ergebnis" gekommen sei, "dass sich keine Person bzw. kein Zeitpunkt konstatieren lasse, welcher im Sinne eines behandlungsfehlerhaften Versäumnisses für die nicht durchgeführte Entfernung des Shunts verantwortlich gemacht werden könne". Somit bestünden "zumindest Zweifel auch an der für den Hauptanspruch erforderlichen Vertragsverletzung", weshalb die Sachverhaltsdarstellung der Gesuchstellerin auch in diesem Punkt nicht als glaubhaft erscheine.
Da mithin das Vorliegen eines die Haftpflicht begründenden Sachverhalts insgesamt als nicht als glaubhaft erscheine, fehle es an einem schützenswerten Interesse der Gesuchstellerin an der anbegehrten vorsorglichen Beweisführung, weshalb auf das Gesuch nicht einzutreten sei (vi-Entscheid, S. 5 ff. Erw. 1 f und g).
b) Dem hält die Gesuchstellerin entgegen, zur Bejahung eines schutzwürdigen Interesses im Sinn von Art. 158 Abs. 1 lit. b ZPO genüge es, wenn die Beweiserhebung zwecks Abklärung der Beweisaussichten und damit der Prozesschancen anbegehrt werde. Jedenfalls gehe es für den Gesuchsteller nicht darum, den Hauptanspruch begründende Tatsachen als solche glaubhaft zu machen (Berufung, S. 6 ff.).
c) Der Gesuchsgegner seinerseits wiederum verneint ein schutzwürdige Interesse, weil das beantragte Gutachten weder notwendig noch geeignet sei, um die Prozesschancen beurteilen zu können: Nicht notwendig sei es, weil bereits zwei Gutachten vorlägen, aufgrund welcher die Gesuchstellerin ihre Prozessaussichten abschätzen könne (Berufungsantwort, S. 7 f Ziff. III/4); und nicht geeignet sei es, weil sich die vorgeschlagenen Fragen an den Experten - obschon auch der Kausalzusammenhang und der Schaden bestritten seien - ausschliesslich auf das Thema der Sorgfaltspflichtverletzung beschränkten und nicht einmal hiefür geeignet seien. Die Fragestellung genüge nicht, um die Haftungsvoraussetzungen und damit einen Anspruch gegenüber dem Gesuchsgegner glaubhaft zu machen (Berufungsantwort, S. 9 f. Ziff. IV/1).
2. a) Bei der vorliegend umstrittenen vorsorglichen Beweisführung nach Art. 158 Abs. 1 lit. b ZPO geht es, wie vorab klarzustellen ist, nicht um die Glaubhaftmachung von Tatsachen, gestützt auf welche - sofern bewiesen - die Haftungsvoraussetzungen (Vertragsverletzung, Schaden, Kausalzusammenhang) bejaht werden könnten und eine Klage gutzuheissen wäre. Insbesondere geht es - es sei denn, der Gesuchsteller ersuche um unentgeltliche Rechtspflege - nicht darum zu prüfen, ob aufgrund der Aktenlage und Vorbringen des Gesuchstellers bzw. der Parteien (falls sich die Gegenpartei am Verfahren überhaupt beteiligt; vgl. dazu hinten Erw. III/3) im massgeblichen Zeitpunkt des Entscheides über das Gesuch eine Klage als aussichtslos im Sinne von Art. 117 lit. b ZPO erscheint oder nicht. Zu beurteilen sind also nicht die Chancen des Gesuchstellers in einem späteren Hauptprozess. Soweit im Schrifttum eine andere Auffassung vertreten wird (z.B. KUKO ZPO-Schmid, Art. 158 N 4), kann dieser nicht beigepflichtet werden (zutreffend dagegen Mark Schweizer, Vorsorgliche Beweisabnahme nach schweizerischer Zivilprozessordnung und Patentgesetz, in Z.Z.Z 2010 21/22, S. 3 ff., 9, der darauf hinweist, dass, wenn der Zweck der vorsorglichen Beweisführung nicht vereitelt werden soll, nicht verlangt werden dürfe, dass der Gesuchsteller das Vorliegen einer Tatsache glaubhaft mache, die er mit dem abzunehmenden Beweismittel erst beweisen wolle).
Glaubhaft zu machen ist lediglich "ein schutzwürdiges Interesse" an der Beweiserhebung als solcher, an welches zudem keine hohen Anforderungen gestellt werden dürfen (Walter Fellmann, in Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Art. 158 N 19).
b) Schutzwürdig ist - soweit ersichtlich nach einhelliger Lehrmeinung - unter anderem die vorsorgliche Beweisführung, die zwecks Abklärung von Beweis- und Prozesschancen anbegehrt wird (statt vieler: Fellmann, a.a.O., Art. 158 N 17 mit zahlreichen Hinweisen).
Einem solchen Gesuch ist daher grundsätzlich immer stattzugeben, es sei denn, es liege ein offenbarer Rechtsmissbrauch vor (Art. 2 Abs. 2 ZGB), was in Anbetracht des aus Art. 8 ZGB abgeleiteten Grundsatzes des Rechts auf Beweisführung (BGE 126 III 315 ff., 317 Erw. 4a) und der alleinigen Kostentragungspflicht des Gesuchstellers (Art. 107 Abs. 1 lit. f ZPO; Gasser/Rickli, ZPO-Kurzkommentar, Art. 158 N 9; zum Vorbehalt bei unentgeltlicher Rechtspflege vgl. hinten Erw. IV/2d/aa und IV/4) mit grosser Zurückhaltung zu prüfen ist und in casu höchstens unter dem Titel unnütze Rechtsausübung in Frage kommen könnte (vgl. Hans Merz, Berner Kommentar, N 340 ff. zu Art. 2 ZGB).
c) Die Sachlegitimation als materiellrechtliche Voraussetzung des eingeklagten Anspruchs ist vom Richter jeder Stufe von Amtes wegen zu prüfen, unter der Herrschaft der Verhandlungsmaxime wie hier allerdings bloss nach Massgabe des behaupteten und festgestellten Sachverhalts (BGE 118 Ia 129 ff., 130).
Beim Kantonsspital handelt es sich, neben dem Spital 1 und dem Spital 2, um eine Betriebsstätte des gleichnamigen Spitalverbunds, einer selbständigen öffentlich-rechtlichen Anstalt mit eigener Rechtspersönlichkeit und Sitz in der Stadt St. Gallen (Art. 2 Abs. 1 des Gesetzes über die Spitalverbunde vom 22.09.2002 [sGS 320.2] und Art. 1 lit.a des Statuts der Spitalverbunde vom 11.05.2006 [sGS 320.30]). Die im Zeitpunkt der Überführung der Spitäler in den Spitalverbund vorhandenen Verpflichtungen des Staates (Kanton St. Gallen), die einem Spital zugerechnet werden können, werden zu Verpflichtungen des Spitalverbunds, in den das Spital überführt wurde; vorbehalten bleiben die zivilrechtlichen Regelungen über die Schuldübernahme (Art. 4 des GRB über die Schaffung von Spitalverbunden vom 22.09.2002 [sGS 320.20]).
Dass hier ein Schuldnerwechsel (Art. 175 ff. OR), der nur im Einverständnis mit der Gläubigerin möglich gewesen wäre, statt gefunden habe, ist den Akten nicht zu entnehmen. Das vorliegende Verfahren betreffend vorsorgliche Beweisführung ist daher nicht schon wegen der im Hauptverfahren fehlenden Passivlegitimation des Gesuchsgegners unnütz und damit rechtsmissbräuchlich.
d) Den Einwendungen des Gesuchsgegners im Einzelnen ist im Übrigen was folgt entgegenzuhalten:
aa) Nicht gefolgt werden kann zunächst seiner Argumentation, ein weiteres Gutachten sei nicht notwendig, weil die Gesuchstellerin ihre Prozessaussichten bereits aufgrund der beiden Parteigutachten einschätzen könne.
Zwar trifft es zu, dass die beiden Parteigutachten zur Beurteilung der Prozesschancen geeignet sind. Das bedeutet aber nicht, dass sich die Gesuchstellerin mit diesen für sie eher ungünstigen Expertisen zufrieden geben muss. Anders verhielte es sich (theoretisch) dann, wenn sich - bei (die Beweislastverteilung gegenstandslos machender) antizipierter Beweiswürdigung - haftungsbegründende Tatsachen bereits aufgrund dieser Gutachten mit Sicherheit ausschliessen liessen. Ob dies der Fall wäre, kann offengelassen werden, da ein solcher Entscheid lediglich dem Sachrichter zusteht. Ein zusätzliches (gerichtliches) Gutachten kann daher nicht zum vornherein als geradezu unnütz und ein entsprechendes Begehren deshalb auch nicht als rechtsmissbräuchlich bezeichnet werden; dies gälte selbst dann, wenn der Prozess bei der Prüfung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege - ein solches wird hier nicht gestellt - tatsächlich als aussichtslos erschiene, so dass dieses abzuweisen wäre.
Der Gesuchsteller darf nach Einholen der beiden Privatgutachten nämlich nicht schlechter gestellt werden, als wenn er keines in Auftrag gegeben hätte; es muss ihm vielmehr die Möglichkeit zugestanden werden, auf eigene Kosten (auch noch) eine gerichtliche Expertise erstellen zu lassen. Dass ein solches nicht zu Gunsten der Gesuchstellerin ausfallen könnte, behauptet der Gesuchsgegner zu Recht selber nicht.
bb) Sodann kann dem anbegehrten Gutachten die Geeignetheit zur Abschätzung der Prozesschancen auch nicht mit der Begründung abgesprochen werden, dass die beantragte, beschränkte Fragestellung nicht sämtliche Haftungsvoraussetzungen beschlage (Berufungsantwort, S. 10 f. Ziff. IV/1).
Es steht - gerade in Anbetracht der vorliegenden Privatgutachten - selbstverständlich im Belieben der Gesuchstellerin, vorweg nur eine einzige Haftungsvoraussetzung (hier: Sorgfaltspflichtverletzung) abklären zu lassen, um die Kosten in Grenzen zu halten (weiteres dazu sogleich).
cc) Der Gesuchsgegner meint ferner, eine vorsorgliche Beweisführung sei hier nicht prozessökonomisch, weil die Durchführung eines ordentlichen Verfahrens sich ohnehin nicht vermeiden lasse, "selbst wenn ein neuer Gutachter sowohl das Bestehen als auch die Erkennbarkeit der Dysfunktion des Shunts im fraglichen Zeitraum bejahen würde", und zwar weil "darüber hinaus alle weiteren Haftungsvoraussetzungen ebenfalls bestritten seien" (Berufungsantwort, S. 13 Ziff. IV/3b).
Diese Auffassung verkennt, dass es nicht in jedem Fall zu einem Hauptprozess kommen muss, sondern dass ein Gesuchsteller von der Einleitung eines solchen auch absehen kann, was gerade in casu nicht nur nicht auszuschliessen ist, sondern sogar nahe liegt, wenn - was für den Gesuchsgegner offenbar jetzt schon klar zu sein scheint (vgl. Berufungsantwort, S. 9 f. Ziff. IV/1) - das Gerichtsgutachten eine Sorgfaltspflichtsverletzung verneinen sollte. Diesfalls aber wäre, entgegen der Meinung des vom Gesuchsgegner in diesem Zusammenhang zitierten Zürcher Obergerichts (OGer ZH, LF110116 vom 20.12.2011, Erw. 2.8) der Weg über eine Teilklage, nur schon unter Berücksichtigung der Parteikosten des Beklagten, bei Weitem der kostspieligere als der vorliegend eingeschlagene.
dd) Von einer unnützen und damit rechtsmissbräuchlichen Rechtsausübung kann mithin keine Rede sein. Ein schutzwürdiges Interesse an der anbegehrten vorsorglichen Beweisführung kann der Gesuchstellerin sowenig abgesprochen werden, wie das als Prozessvoraussetzung terminologisch gleichbedeutende Rechtsschutzinteresse im Sinne von Art. 59 Abs. 2 lit. a ZPO (Mark Schweizer, a.a.O., S. 9) bei einer späteren Klage; auf eine solche wäre nämlich wohl selbst dann einzutreten, wenn (auch) das vorliegend anzuordnende gerichtliche Gutachten nicht zu dem von der Gesuchstellerin erhofften Ergebnis führen würde.
3. Der Gesuchsgegner macht schliesslich noch geltend, das Begehren sei abzuweisen, weil die vorsorgliche Beweisführung zu einer Beschränkung seiner Parteirechte führe; zu deren Wahrung wäre ein "ordentliches Verfahren erforderlich" (Stellungnahme vom 19.09.2011, S. 14 f.).
Auch dem kann nicht beigepflichtet werden. Die Parteirechte des Gesuchsgegners bleiben gewahrt, und zwar selbst dann, wenn er sich, was ihm frei steht, am Verfahren betreffend vorsorgliche Beweisführung überhaupt nicht beteiligen wollte. Eine fehlende Mitwirkung kann der Gesuchsgegnerschaft nicht zum Nachteil gereichen (Johann Zürcher, a.a.O., Art. 158 N 11). Das anbegehrte Gutachten erleichtert dem Gesuchsteller nur die Einschätzung seiner Beweis- und Prozesschancen und entbindet ihn, entgegen der vorgeblichen Befürchtung des Gesuchsgegners, selbstverständlich nicht davon, in einem allfälligen Prozess substantiierte Behauptungen zur Sorgfaltspflichtverletzung, zum Gesundheitsschaden und zum Kausalzusammenhang aufzustellen, zu denen der Gesuchsteller Stellung nehmen, denen er Gegenbehauptungen entgegensetzen und dazu umfassende Beweis- und Gegenbeweismittel anbieten kann (Stellungnahme vom 19.09.2011, S. 15).
4. Nach dem Gesagten ist die Berufung gutzuheissen.
Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zur Klarstellung ist nochmals darauf hinzuweisen, dass dann, aber nur dann, wenn die Gesuchstellerin um Befreiung von der Kostenvorschusspflicht (Art. 102 Abs. 1 ZPO) ersuchen sollte (Art. 118 Abs. 1 lit a ZPO), im Rahmen der Prüfung der Anspruchsvoraussetzungen von Art. 117 ZPO die Aussichten einer allfälligen Forderungsklage zu prüfen wären.