Erwägungen
I.
1.1 Rechtsanwalt X vertritt seit Mai 2008 H gegenüber deren damaligen Arbeitgeberin, der M-AG. Am 1. Oktober 2008 reichte Rechtsanwalt X für H beim Arbeitsgericht im Kanton Zürich eine Klage gegen die M-AG ein. Er verlangte die kostenfällige Zusprechung von Fr. 9'175.- nebst Zins sowie die Beseitigung zweier Rechtsvorschläge. Anlässlich der Referentenaudienz vom 14. Januar 2009 übergab die M-AG (vertreten durch ihren einzelzeichnungsberechtigen Verwaltungsratspräsidenten R) der Klägerin den Betrag von Fr. 6'916.-. Im Anschluss daran zog Rechtsanwalt X die Klage im Restbetrag zurück. Das Arbeitsgericht im Kanton Zürich nahm von der Anerkennung der Forderung im Umfang von Fr. 6'916.- und vom Rückzug im Umfang des Restbetrags Vormerk und schrieb das Verfahren als erledigt ab. Kosten wurden den Parteien keine auferlegt (Art. 343 Abs. 3 OR). Unter Berücksichtigung, dass H mit ihrer Forderung zu rund sieben Neunteln durchdrang, sprach ihr das Arbeitsgericht eine Prozessentschädigung von Fr. 600.- zu. Der Entscheid wurde am 4. Februar 2009 versandt (besf. act. 7). Er wurde den Parteien am nächsten Tag zugestellt (vi-act. 1, unten, für die M-AG; besf. act. 1 für H respektive Rechtsanwalt X).
1.2 Mit vorab per Fax versandtem Schreiben vom 5. Februar 2009 wandte sich Rechtsanwalt X an die M-AG. Er forderte diese auf, die vom Arbeitsgericht im Kanton Zürich zugesprochene Parteikostenentschädigung von Fr. 600.- bis zum 10. Februar 2009 zu bezahlen, ansonsten er die Betreibung einleiten müsse (besf. act. 1).
1.3 Am 11. Februar 2009 stellte Rechtsanwalt X für H ein Betreibungsbegehren über Fr. 600.- gegen die M-AG für die Parteikostenentschädigung gemäss der Verfügung des Arbeitsgerichts im Kanton Zürich vom 14. Januar 2009 (besf. act. 37). Der Zahlungsbefehl wurde am 12. Februar 2009 ausgestellt und der M-AG am 16. Februar 2009 zugestellt. Die M-AG erhob Rechtsvorschlag (Beilage zu vi-act. 2; besf. act. 38).
1.4 Am 19. Februar 2009 ersuchte Rechtsanwalt X um Bescheinigung der Rechtskraft für die Verfügung des Arbeitsgerichts im Kanton Zürich vom 14. Januar 2009 (besf. act. 6). Am 25. Februar 2009 wurde ihm bescheinigt, die Verfügung sei mit dem 17. Februar 2009 in Rechtskraft erwachsen (besf. act. 7, S. 3).
1.5 Am 23. Februar 2009 bezahlte die M-AG die Fr. 600.- auf das Konto von Rechtsanwalt X ein (besf. act. 9).
1.6 Anlässlich der Hauptverhandlung vor dem Arbeitsgericht im Kanton Zürich vom 3. Juni 2009 in einem weiteren Prozess zwischen H und der M-AG zog Rechtsanwalt X die Klage im Umfang von Fr. 50.- für die Kosten des Zahlungsbefehls vom 12. Februar 2009 zurück (besf. act. 34). Am 9. Juni 2009 zog Rechtsanwalt X namens von H die Betreibung gegen die M-AG über die Fr. 600.- zurück und wies das Betreibungsamt an, die Betreibung aus dem Register zu löschen (besf. act. 12).
2.1 Mit Kurzinformation vom 20. Februar 2009 (Eingang 24. Februar 2009) wandte sich die M-AG an die Anwaltskammer und bat um Stellungnahme betreffend ungerechtfertigte Betreibung durch Rechtsanwalt X (Beilage zu vi-act. 2). Die Anwaltskammer antwortete dahingehend, dass sie für die Überprüfung der Rechtmässigkeit von betreibungsrechtlichen Schritten nicht zuständig sei. Sofern aufgrund des Verhaltens beziehungsweise Vorgehens von Rechtsanwalt X eine Verletzung der anwaltlichen Berufsregeln geltend gemacht werde, sei eine schriftliche Anzeige notwendig (vi-act. 2).
2.2 Mit Eingabe vom 25. Mai 2009 (Eingang 27. Mai 2009) gelangte die M-AG erneut an die Anwaltskammer und beantragte die angemessene Disziplinierung von Rechtsanwalt X. Die M-AG führte aus, die Abschreibungsverfügung sei erst am 17. Februar 2009 rechtskräftig und damit fällig geworden. Die Betreibung von Rechtsanwalt X müsse als rein schikanös bezeichnet werden. Sie bezwecke einzig die Schädigung der M-AG. Als Rechtsanwalt hätte X wissen müssen, dass eine Forderung fällig sein müsse, damit sie in Betreibung gesetzt werden könne (vi-act. 1).
2.3 Am 29. Mai 2009 teilte die Anwaltskammer Rechtsanwalt X mit, die M-AG habe gegen ihn eine Anzeige eingereicht und nach Prüfung der Unterlagen sei ein Disziplinarverfahren gegen ihn eröffnet worden. Ihm werde insbesondere vorgeworfen, eine Betreibung gegen die Gegenpartei für sein Honorar eingeleitet zu haben, bevor die entsprechende Verfügung rechtskräftig und seine Forderung fällig gewesen sei (vi-act. 3).
2.4 Rechtsanwalt X nahm zu den Vorwürfen am 11. Juni 2009 Stellung (vi-act. 5). Er bestritt den Vorwurf der Schikanebetreibung (vi-act. 5, S. 2 oben). Es treffe zwar zu, dass er die Betreibung einige Tage zu früh eingeleitet habe, dies sei jedoch auf einen Flüchtigkeitsfehler zurückzuführen (vi-act. 5, S. 4 Ziff. 2). Er habe aus Versehen vor Fälligkeit der Forderung eine Betreibung eingeleitet (vi-act. 5, S. 5 Mitte, S. 13 unten). Der Gang der Rechtspflege sei nicht behindert worden und weder bei der M-AG noch bei H sei ein Schaden entstanden (vi-act. 5, S. 2 oben, S. 14).
2.5 Die Anwaltskammer erwog, die blosse Einleitung einer Betreibung vermöge grundsätzlich keine gegen Art. 12 lit. a BGFA verstossende Handlung darzustellen. Anders verhalte es sich nur dann, wenn die Betreibung geradezu missbräuchlich sei. Eine Zahlungsaufforderung dürfe erst ausgesprochen werden, wenn seit der Rechnungslegung eine angemessene Frist verstrichen sei. Zudem müsse die Zahlungsaufforderung ihrerseits einen ausreichenden Zeitraum zur Erfüllung der Verbindlichkeit gewähren, bevor die Betreibung eingeleitet werde (Entscheid Anwaltskammer, 4 oben). Der von Rechtsanwalt X eingeleiteten Betreibung kämen schikanöse Züge zu. So sei die Betreibung eingeleitet worden, bevor die der Forderung zugrunde liegende Verfügung überhaupt rechtskräftig und die Forderung damit fällig gewesen sei. Auch die von Rechtsanwalt X angesetzte Zahlungsfrist von lediglich fünf Tagen ab der Faxankündigung beziehungsweise etwa drei Tagen nach Eingang des Einzahlungsscheins sei unangemessen kurz. Sodann sei die Betreibung erst rund vier Monate später und wohl unter dem Druck des laufenden Disziplinarverfahrens zur Löschung angemeldet worden (Entscheid Anwaltskammer, 4 Ziff. 3). Das Vorgehen von Rechtsanwalt X könne deshalb nicht mehr als fachlicher Flüchtigkeitsfehler bezeichnet werden. Der Fehler wäre leicht zu vermeiden gewesen, wenn eine angemessene Zahlungsfrist eingeräumt oder die Rechtskraft abgewartet beziehungsweise vorgängig zur Betreibung eine Rechtskraftbescheinigung eingeholt worden wäre (Entscheid Anwaltskammer, 4 unten). Insgesamt habe Rechtsanwalt X dadurch, dass er die M-AG vor Fälligkeit der Forderung und unter Ansetzung einer unangemessen kurzen Zahlungsfrist ohne Not betrieben habe, die Berufsregel der sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung (Art. 12 lit. a BGFA) verletzt (Entscheid Anwaltskammer, 5 Mitte). Durch die vorschnelle - ohne Abklärung der Fälligkeit der Forderung - gegen die Gegenpartei eingeleitete Betreibung habe Rechtsanwalt X zwischen den Prozessparteien bestehende Fronten zusätzlich verhärtet. Mit seinem Vorgehen habe er die Vertrauenswürdigkeit eines Anwalts und des Berufsstandes beeinträchtigt. Sein Verstoss sei als mittelschwer zu werten (Entscheid Anwaltskammer, 5 unten). Unter Berücksichtigung des ungetrübten anwaltlichen Leumunds von Rechtsanwalt X entschied die Anwaltskammer am 24. November 2009 was folgt (Versand am 11. Dezember 2009; Zustellung am 14. Dezember 2009):
3.1 Mit Beschwerde vom 13. Januar 2010 gelangte Rechtsanwalt X mit folgenden Anträgen ans Kantonsgericht (act. B1):
Er räumt auch in seiner Beschwerde ein, die M-AG vor Fälligkeit der in Betreibung gesetzten Forderung betrieben zu haben (Beschwerde, 4 oben, 7 Mitte), doch habe es sich dabei um einen Irrtum und keine Schikane gehandelt (Beschwerde, 4 Ziff. 4, 7 Mitte).
3.2 Mit Eingabe vom 24. Februar 2010 wandte sich Rechtsanwalt X erneut ans Kantonsgericht (act. B7). Darin führt er aus, ein Rechtsöffnungstitel müsse im Zeitpunkt der Einleitung der Betreibung noch nicht rechtskräftig und vollstreckbar sein. Die Fälligkeit der im Titel verurkundeten Forderung genüge. Trotzdem habe er die M-AG nicht bewusst vor Rechtskraft der fälligen Forderung betrieben.
II.
1. Gegen Entscheide der Anwaltskammer kann innert 14 Tagen Beschwerde beim Kantonsgericht erhoben werden (Art. 6 Abs. 2 und Art. 41 AnwG i. V. m. Art. 47 Abs. 1 und 64 VRP). Anfechtungsgründe sind die unrichtige oder unvollständige Feststellung des Sachverhalts und Rechtsverletzungen (Art. 61 VRP). Zuständig ist die III. Zivilkammer (Art. 15 lit. d GO). Auf die vorliegende Beschwerde ist einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer verlangt die Durchführung einer mündlichen Verhandlung (Beschwerde, 2 Ziff. 6). Nach Art. 41 AnwG i. V. m. Art. 55 und Art. 64 VRP ist eine mündliche Verhandlung durchzuführen, wenn sie zur Wahrung der Parteirechte notwendig ist oder als zweckmässig erscheint. Eine Notwendigkeit zur Durchführung einer mündlichen Verhandlung zur Wahrung der Parteirechte besteht im vorliegenden Fall nicht. Insbesondere ist Art. 6 Ziff. 1 EMRK auf das vorliegende Disziplinarverfahren nicht anwendbar. Die Ausfällung einer Disziplinarbusse wegen Verletzung von Berufspflichten - und höchstens mit dieser Sanktion hat der Beschwerdeführer aufgrund des Verbots der reformatio in peius (Art. 41 AnwG i. V. m. Art. 63 VRP) im vorliegenden Beschwerdeverfahren zu rechnen - ist weder zivil- noch strafrechtlicher Natur (BGE 126 I 228 E. 2a/aa S. 230, 128 I 346 E. 2.3 S. 350; Herzog, Art. 6 EMRK und kantonale Verwaltungsrechtspflege, Diss., Bern 1996, 202 f.; Poledna, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar zum Anwaltsgesetz, Zürich 2005, Art. 17 N 7). Sodann erscheint die Durchführung einer mündlichen Verhandlung auch nicht als zweckmässig, da sie nicht geeignet ist, über die schriftlichen Vorbringen hinaus Hilfe in der Entscheidung der Streitfrage zu bieten (GVP 2002 Nr. 72).
Da keine Ausnahme im Sinne von Art. 55 VRP vorliegt, gilt für das vorliegende Verfahrend der Grundsatz der Schriftlichkeit des Verfahrens (vgl. Cavelti/Vögeli, Verwaltungsgerichtsbarkeit im Kanton St. Gallen - dargestellt an den Verfahren vor dem Verwaltungsgericht, 2. Aufl., St. Gallen 2003, N 90 und 999 f.). Das Begehren des Beschwerdeführers um Durchführung einer mündlichen Verhandlung ist abzuweisen.
3. Der Beschwerdeführer verlangt die Behandlung seiner Beschwerde durch ein unabhängiges und unparteiisches, auf Gesetz beruhendes Gericht gemäss Art. 6 Ziff. 1 EMRK (Beschwerde, 2 Ziff. 6; derselbe Anspruch steht dem Beschwerdeführer auch gestützt auf Art. 30 Abs. 1 BV zu). Inwiefern diese Voraussetzungen durch die Gerichtsorganisation im Kanton St. Gallen, das Kantonsgericht und dessen III. Zivilkammer nicht erfüllt sein sollten, wird vom Beschwerdeführer ebenso wenig ausgeführt, wie er den Ausstand eines bestimmten Gerichtsmitglieds oder aller im vorliegenden Rechtsstreit mitwirkenden Richter beantragt. Ein vom vorliegenden Beschwerdeverfahren losgelöster abstrakter Feststellungsanspruch, die Gerichtsorganisation oder eine bestimmte Gerichtsbehörde unabhängig von einem ihn betreffenden Rechtsstreit generell auf Verfassungs- und Konventionskonformität überprüfen zu lassen, hat der Beschwerdeführer nicht (vgl. Entscheid des Bundesgerichts 4A_118/2010 vom 19. April 2010 E. 2). Auf sein Vorbringen ist deshalb nicht weiter einzugehen.
4. Weiter verlangt der Beschwerdeführer gestützt auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK eine Behandlung innert angemessener Frist (Beschwerde, 2 Ziff. 6; derselbe Anspruch steht dem Beschwerdeführer auch gestützt auf Art. 29 Abs. 1 BV zu). Auch dazu führt er nicht aus, inwiefern dies grundsätzlich oder konkret nicht der Fall sein sollte. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
5. Schliesslich beantragt der Beschwerdeführer - ebenfalls gestützt auf Art. 6 Abs. 1 EMRK (derselbe Anspruch steht dem Beschwerdeführer grundsätzlich auch gestützt auf Art. 29 Abs. 2 BV, Art. 13 VRP i. V. m. Art. 95 ZPO zu [Cavelti/Vögeli, N 982, 989]) - dass das Gericht die ihn belastende Anzeigeerstatterin (recte wohl: die verantwortlichen Organe der Anzeigeerstatterin) in seiner Gegenwart befrage und ihm Gelegenheit gebe, Anschluss- und Ergänzungsfragen zu stellen (Beschwerde, 3 Ziff. 7). Sinnvollerweise kann es sich dabei nur um einen Beweisantrag handeln. Bei einem solchen muss jedoch ersichtlich sein, welche Tatsachen damit bewiesen werden sollen. Behauptungen und Beweisanträge sind in diesem Sinn zu verknüpfen. Dies unterlässt der Beschwerdeführer. Es ist nicht ersichtlich, zu welchem Thema er die verantwortlichen Organe der Anzeigeerstatterin befragen will. Kommt hinzu, dass der Beschwerdeführer vorliegend denjenigen Teil des Sachverhalts, der objektiv überhaupt festgestellt werden kann, weitgehend so bestätigt, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat. Eine Befragung der verantwortlichen Organe der Anzeigeerstatterin erscheint auch unter diesem Gesichtspunkt als entbehrlich.
III.
1. Mit seiner Rüge, er werde rechtsungleich behandelt (Beschwerde, 8 f. Ziff. 9), dringt der Beschwerdeführer nicht durch. Eine rechtsanwendende Behörde verletzt den Gleichheitssatz nur, wenn sie zwei gleiche tatsächliche Situationen ohne sachlichen Grund unterschiedlich beurteilt (BGE 115 Ia 81 E. 3b S. 85). Der Beschwerdeführer wurde wegen einer angeblich noch vor Fälligkeit der Forderung angehobenen Betreibung zur Verantwortung gezogen. Damit haben die von ihm zitierten Fälle nichts zu tun. Soweit sich der Beschwerdeführer schliesslich auf die Praxis in anderen Kantonen beruft, ist er ohnehin nicht zu hören, weil das Gebot rechtsgleicher Anwendung des Rechts nur verletzt ist, wenn die gleiche Behörde gleiche Sachverhalte unterschiedlich beurteilt und behandelt (BGE 115 Ia 81 E. 3c S. 85; Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 5. Aufl., Zürich 2006, N 508).
2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz unberechtigterweise vor, sie habe zu Unrecht von dem bei geringfügigen Pflichtverletzungen greifenden Opportunitätsprinzip keinen Gebrauch gemacht (Beschwerde, 8 Ziff. 8). Aus dem Opportunitätsprinzip kann kein Anspruch abgeleitet werden, dass eine rechtsanwendende Behörde nicht tätig wird.
3.1 Die Vorinstanz geht davon aus, der Beschwerdeführer habe für eine noch nicht fällige Forderung die Betreibung angehoben. Diese Auffassung hat der Beschwerdeführer vorinstanzlich und in seiner Beschwerde noch geteilt. In seiner Eingabe vom 24. Februar 2010 geht er hingegen davon aus, er habe die Betreibung zwar vor Eintritt der Rechtskraft der Verfügung, aber nach Eintritt der Fälligkeit der Forderung angehoben (act. B7).
3.2 Damit Rechtsöffnung erteilt werden kann, hat die betriebene Forderung im Zeitpunkt der Anhebung der Betreibung fällig zu sein (BGE 128 III 44 E. 5 S. 48, 41 III 151 E. 4 S. 158; Staehelin, in: Staehelin/Bauer/Staehelin [Hrsg.], Basler Kommentar SchKG I, Basel 1998, Art. 82 N 77 f.). Nicht notwendig ist hingegen, dass der Rechtsöffnungstitel schon vor Anhebung der Betreibung entstanden respektive, dass das die Forderung zusprechende Urteil schon vollstreckbar ist. Dies muss erst im Zeitpunkt des Entscheids über die Rechtsöffnung der Fall sein (Beschluss PN070014 des Obergerichts Zürich vom 26. Januar 2008; RBOG 2006 Nr. 11 [Entscheid des Obergerichts Thurgau vom 27. Januar 2006]; LGVE 1995 I Nr. 54 [Entscheid des Obergerichts Luzern vom 16. Oktober 1995]; BJM 1980 31 f. [Urteil des Obergerichts Basel-Landschaft vom 21. April 1978]; BSK SchKG I-Staehelin, Art. 80 N 13, 39; Stücheli, Die Rechtsöffnung, Diss., Zürich 2000, 202).
3.3 Die Fälligkeit ist eine Eigenschaft der Forderung. Sie bedeutet, dass der Gläubiger die Leistung einfordern und (im Fall der Nichtleistung) einklagen darf (LGVE 1995 I Nr. 54 [Entscheid des Obergerichts Luzern vom 16. Oktober 1995]; Addorisio de Feo, Die Fälligkeit von Vertragsforderungen, Freiburger Diss., Zürich 2001, N 43; Gauch/ Schluep/Schmid/Emmenegger, Schweizerisches Obligationenrecht Allgemeiner Teil, Bd. II, 9. Aufl., Zürich 2008, N 2156; Gauch/Schraner, Zürcher Kommentar, V1e, 3. Aufl., Zürich 1991, Art. 75 N 22; Leu, in: Honsell/Vogt/Wiegand [Hrsg.], Basler Kommentar OR I, 4. Aufl., Basel 2007, Art. 75 N 4; Weber, Berner Kommentar, VI/1/4, 2. Aufl., Art. 75 N 41).
3.4 Der Zeitpunkt, in dem die Fälligkeit eintritt (der Fälligkeitstermin), bestimmt sich für privatrechtliche Forderungen nach Art. 75 ff. OR. Demgemäss sind Forderungen grundsätzlich - sofern die Zeit der Erfüllung weder durch Gesetz, Vertrag oder die Natur des Rechtsverhältnisses bestimmt ist - sofort fällig. Dies gilt für Vertrags-, Delikts- und Bereicherungsobligationen (Gauch/Schluep/ Schmid/Emmenegger, N 2198; ZK-Gauch/ Schraner, Art. 75 N 63; Stücheli, 199) und muss - da es sich dabei ebenfalls um eine zivilrechtliche Forderung handelt (Frank/Sträuli/Messmer, Kommentar zur zürcherischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl., Zürich 1997, § 68 N 1; Rhyner, Die Kostenregelung nach sanktgallischem Zivilprozessrecht, Berner Diss., Buchs 1987, 16; Weber, Die Prozessentschädigung mit besonderem Bezug auf ihre Ausgestaltung im zürcherischen Zivilprozess, Zürcher Diss., Entlebuch 1990, 15 f.) - auch für die von der Gegenpartei zu entrichtende Prozesskostenentschädigung in einem privatrechtlichen Verfahren gelten (a.M. wohl Rhyner, 110, der ausführt, gemäss Art. 142 aZPO würden die amtlichen Kosten mit dem Kostenspruch fällig, wohingegen die ausseramtlichen Kosten erst nach rechtskräftiger Erledigung des Zivilverfahrens gefordert werden könnten; vgl. auch Lutz, Das Zivilrechtspflegegesetz für den Kanton St. Gallen, 2. Aufl., St. Gallen 1967, Art. 142).
Die Forderung auf Ersatz der Prozesskosten aus einem arbeitsvertraglichen Prozess ist ihrer Natur nach ein Schadenersatzanspruch (vgl. Gauch, Der Deliktsanspruch des Geschädigten auf Ersatz seiner Anwaltskosten, in: recht 1994, 189 ff; Weber, 8 ff.). Weder liegen Indizien dafür vor, dass die Parteien des arbeitsvertraglichen Prozesses betreffend die Fälligkeit der Prozesskostenentschädigung eine vertragliche Vereinbarung getroffen haben noch enthält das Gesetz, insbesondere OR und ZPO, zu dieser Frage eine Bestimmung. Der Natur des Rechtsverhältnisses kommt bei einem Schadenersatzanspruch bezüglich Fälligkeit keine entscheidende Bedeutung zu. Es gilt deshalb die subsidiäre gesetzliche Regelung gemäss Art. 75 OR, dass Forderungen auf Ersatz der Prozesskosten sogleich fällig werden. Die Fälligkeit tritt bei Schadenersatzforderungen grundsätzlich mit dem anspruchsbegründenden Ereignis ein und nicht mit der Kenntnis des Schadens oder dessen Bezifferung in einem Urteil (BGE 87 II 155 E. 3c S. 163; Addorisio de Feo, N 505; Gauch/Schluep/Schmid/Emmenegger, N 2199; ZK-Gauch/Schraner, Stücheli, 199; Art. 75 N 66; BK-Weber, Art. 75 N 96).
Entsprechend wurde die vorliegend strittige Forderung spätestens mit der Verfügung des Arbeitsgerichts Winterthur vom 14. Januar 2009 fällig. Mit der Prozesskostenentschädigung wird einer Partei ein Ersatz für während dem Verfahren (allenfalls auch vorprozessual) aufgelaufene Kosten zugesprochen. Dass in der Regel bis zum Endentscheid (vgl. Art. 267 ZPO/SG, § 71 ZPO/ZH) nicht feststeht, welche Partei der anderen in welcher Höhe deren Prozesskosten zu entschädigen hat, ändert daran nichts. Auch der in einem Zivilprozess eigentlich strittige Anspruch ist in Bestand und Höhe bis zum Endentscheid grundsätzlich ungewiss, was an seiner schon vor dem Entscheid bestehenden Fälligkeit nichts ändert (Stücheli, 199). (Noch) Nicht fällige Ansprüche können prinzipiell gerichtlich nur zugesprochen werden, wenn gleichzeitig im Entscheid die Fälligkeit festgesetzt wird (was beispielsweise bei periodisch geschuldeten Leistungen wie Unterhaltsansprüchen der Fall ist).
3.5 Nach dem Gesagten ist der von der Vorinstanz erhobene Vorwurf an den Beschwerdeführer, er habe eine Forderung vor deren Fälligkeit in Betreibung gesetzt, unberechtigt. Auch der Umstand, dass der die Prozesskostenentschädigung zusprechende Entscheid allenfalls noch mit einem ordentlichen Rechtsmittel angefochten werden kann und deshalb mangels formeller Rechtskraft im Entscheid- und Eröffnungszeitpunkt noch nicht vollstreckbar ist und (vorderhand) nicht zur definitiven Rechtsöffnung berechtigt, ändert nichts an der Fälligkeit der Forderung auf Ersatz der Prozesskosten. Vollstreckbar muss der Entscheid erst im Zeitpunkt sein, in dem über die Rechtsöffnung entschieden wird (BSK SchKG I-Staehelin, Art. 80 N 7; vgl. auch E. III/3.2). Wird - anders als im vorliegenden Fall - ein ordentliches Rechtsmittel eingelegt respektive einem ausserordentlichen Rechtsmittel die aufschiebende Wirkung gewährt, bleibt die Forderung auf Ersatz der Prozesskosten zwar fällig, jedoch wird das Begehren um definitive Rechtsöffnung - falls der Rechtsöffnungsrichter vor der Rechtsmittelinstanz entscheidet - mangels vollstreckbaren Urteils abzuweisen sein (Stücheli, 224). Hebt eine Rechtsmittelinstanz den Kostenspruch auf, fällt der Anspruch auf Ersatz der Prozesskosten nachträglich wieder weg und dem Schuldner stehen die Rechtsbehelfe von Art. 85 ff. SchKG zur Verfügung (BSK SchKG I-Bodmer, Art. 85 N 26; Stücheli, 225).
4.1 Es stellt sich die Frage, ob die Vorgehensweise des Beschwerdeführers - die Einleitung einer Betreibung gestützt auf ein formell noch nicht rechtskräftiges und damit noch nicht vollstreckbares Urteil, verknüpft mit einer Zahlungsfrist von fünf Tagen - trotzdem unsorgfältig ist und eine Berufsregelverletzung im Sinne von Art. 12 lit. a BGFA darstellt. Dies ist der Fall, wenn die zur Diskussion stehende Verfehlung über ihre Auswirkungen im Einzelfall hinaus geeignet ist, das Vertrauen in die Kompetenz und Integrität der Anwaltschaft zu beeinträchtigen und damit die Funktion der Anwaltschaft im System der Rechtspflege zu stören (Fellmann, Art. 12 N 12). Zu beachten ist, dass Einschränkungen der Berufsausübungsfreiheit verfassungsrechtlich nur zulässig sind, wenn sie im öffentlichen Interesse liegen und im Einzelfall der Grundsatz der Verhältnismässigkeit beachtet wird (Fellmann, Art. 12 N 13; Schiller, Schweizerisches Anwaltsrecht, Zürich 2009, N 1473).
4.2 Die in Art. 12 lit. a BGFA statuierte Pflicht zur sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung bezieht sich gemäss Bundesgericht nicht nur auf das Verhältnis zwischen Anwalt und Klientin, sondern auch auf das Verhalten des Anwalts gegenüber der Gegenpartei (BGE 130 II 270 E. 3.2 S. 276; Entscheid des Bundesgerichts 2A.545/2003 vom 4. Mai 2004 E. 3; Bohnet/Martenet, Droit de la profession d'avocat, Bern 2009, N 1288; Fellmann, Art. 12 N 12, 49). Das Bundesgericht hielt allgemein fest, dass ein unnötig forsches und unangebracht hartes Vorgehen eines Rechtsanwalts regelmässig nicht dem Gebot der sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung entspreche und unter Umständen eine Disziplinierung wegen Verletzung von Art. 12 lit. a BGFA rechtfertige. Es könne nicht im Interesse der Klientin liegen, die Gegenpartei ohne Not zu verärgern und dadurch die Fronten zusätzlich zu verhärten. Der Rechtsanwalt sei zu einer gewissen Zurückhaltung verpflichtet und gehalten, einer Eskalation der Streitigkeit entgegenzuwirken, und nicht sie zu fördern. Ein den Verhältnissen unangepasstes, übertrieben aggressives Vorgehen des Rechtsanwalts könne einen Verstoss gegen dessen Berufspflichten darstellen. Allerdings sei der Anwalt nicht dazu verpflichtet, stets das mildest mögliche Vorgehen zu wählen (BGE 130 II 270 E. 3.2.2 S. 277 f.; Fellmann, Art. 12 N 50; Schiller, N 1496).
Zur Frage der Betreibung der Gegenpartei führte das Bundesgericht aus, die blosse Einleitung derselben - auch ohne vorgängige Zahlungsaufforderung oder Betreibungsandrohung - vermöge grundsätzlich keine gegen Art. 12 lit. a BGFA verstossende Handlung darzustellen, auch wenn der Eintrag im Betreibungsregister für die Betroffene unangenehm sein möge. Anders verhalte es sich nur dann, wenn die Betreibung geradezu missbräuchlich sei. Dies sei der Fall, wenn mit ihr sachfremde Ziele verfolgt würden, etwa bloss die Kreditwürdigkeit der Schuldnerin geschädigt werden solle oder wenn zwecks Schikane ein völlig überrissener Betrag in Betreibung gesetzt werde (BGE 130 II 270 E. 3.2.2 S. 278; RJN 2008 398 [Entscheid der Aufsichtskommission über Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte des Kantons Neuenburg vom 26. Oktober 2007]; Bohnet/Martenet, N 1292 f; Fellmann, Art. 12 N 50; Schiller, N 1496, 1498).
4.3 Demgemäss kann dem Beschwerdeführer aus dem Umstand, dass er der M-AG nur eine Zahlungsfrist von fünf Tagen eingeräumt hat, kein Vorwurf gemacht werden.
4.4 Unter den vorliegenden Umständen kann auch nicht davon die Rede sein, der vom Beschwerdeführer angehobenen Betreibung kämen schikanöse Züge zu und sein Vorgehen habe die Vertrauenswürdigkeit des gesamten Anwaltsstandes beeinträchtigt respektive die Funktion der Anwaltschaft im System der Rechtspflege sei gestört worden.
Es ist nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer mit seiner Betreibung sachfremde Ziele - also andere als die Bezahlung der Schuld der M-AG an H - verfolgte. Namentlich wurde weder ein völlig überrissener Betrag in Betreibung gesetzt (sondern exakt der geschuldete), noch liegen Indizien dafür vor, dass der Beschwerdeführer die Kreditwürdigkeit der M-AG schädigen wollte. Zwar behauptet diese in ihrer Anzeige, die Betreibung sei vom Beschwerdeführer einzig mit dem Zweck angehoben worden, ihr zu schaden, doch wird nicht ausgeführt und ist nicht ersichtlich, inwiefern dies der Fall gewesen sein sollte. Angesichts des Umstands, dass die M-AG noch für andere Forderungen betrieben wurde (besf. act. 35), kann nicht ernstlich davon ausgegangen werden, die M-AG hätte durch die Betreibung über Fr. 600.- Schaden nehmen können. Auch dass der Beschwerdeführer die Betreibung nicht unverzüglich nach Bezahlung der betriebenen Forderung von sich aus zurückzog und beantragte, diese aus dem Betreibungsregister zu löschen, kann ihm nicht angelastet werden, zumal die M-AG nicht darlegt, dass sie sich darum bemüht hätte, dass der Beschwerdeführer den (unmittelbaren) Rückzug der Betreibung veranlasst. Eine Pflicht des Rechtsanwalts, im Namen seiner Klienten angehobene Betreibungen nach Bezahlung durch die Gegenpartei und ohne deren ausdrückliches Verlangen von sich aus zurückzuziehen und deren Löschung zu beantragen, besteht nicht.
Im vorliegenden Fall erscheint die Anhebung der Betreibung auch aus einem anderen Grund nicht als schikanös: Vieles deutet darauf hin, dass die M-AG die Forderung von H auf Ersatz der Prozesskosten nicht ohne Betreibungszwang beglichen hätte. So hat die M-AG bezüglich der augenscheinlich geschuldeten Lohnzahlungen Rechtsvorschlag erhoben und es auf einen Prozess ankommen lassen, die Forderung dann aber überwiegend anerkannt und noch vor Gericht beglichen. Die M-AG scheint Ansprüche von H grundsätzlich abgelehnt respektive ohne Zwang nicht erfüllt zu haben. Sodann musste der Beschwerdeführer nicht damit rechnen, dass die M-AG gegen die Abschreibungsverfügung ein Rechtsmittel ergreifen werde. Unter diesen Voraussetzungen könnte dem Beschwerdeführer - selbst wenn sein Vorgehen entgegen seinen Beteuerungen nicht auf einem Versehen beruhen würde - kein unnötig forsches und unangebracht hartes Vorgehen vorgeworfen werden, das zu einer Verhärtung der Fronten geführt hätte. Die von der Vorinstanz vertretene Auffassung, der Beschwerdeführer habe mit seinem Vorgehen "die Vertrauenswürdigkeit eines Anwalts und des Berufsstandes beeinträchtigt", kann nicht geteilt werden.
4.5 Die Beschwerde ist gutzuheissen.