Erwägungen:
I.
Mit Eingabe vom 6. Februar 2020 reichte Rechtsanwältin A. bei der Anwaltskammer eine Anzeige gegen Rechtsanwalt B. ein. Die Anzeigerin macht geltend, dass Rechtsanwalt B. bzw. dessen B. AG unzulässige Werbung betreibe. Konkret vorgeworfen wird dem Angezeigten, dass er die bei der Internet-Suchmaschine Google erscheinenden Ergebnisse "mittels aggressiver Werbeschaltung" beeinflusse, um damit bei einem durchschnittlichen Internet-Nutzer vermutlich gezielt einen falschen Eindruck zu erwecken. Bei einer allgemeinen Suche nach einem Anwalt (z.B. "Anwalt"), aber auch bei der Suche nach einem bestimmten St. Galler Anwalt (z.B. "RA A." oder auch nur "A.") erscheine in den Ergebnissen von Google zuoberst regelmässig eine Werbeanzeige für die Website der B. AG. Die Anzeigerin belegt dies mit diversen, über mehrere Monate hinweg erstellten Bildschirmausdrucken von Google-Suchen. Gemäss Anzeigerin erscheint diese Werbung aber nicht, wenn bei Google nach ihrem in derselben Kanzlei tätigen Ehemann, Rechtsanwalt C., gesucht werde. Die Anzeigerin äussert deshalb den Verdacht, Rechtsanwalt B. habe seine Werbeanzeigen bei Google durch die Verwendung der Namen von Anwaltskonkurrenten als Keywords so konfiguriert, dass bei einer Suche nach diesen Konkurrenten jeweils die Werbeanzeige für seine eigene Website in den Ergebnissen zuoberst erscheine, was einen unlauteren Wettbewerb darstelle. Einen solchen erkennt die Anzeigerin aber auch für den Fall, dass die Namen von Konkurrenten nicht aktiv als Keywords hinterlegt wurden. Ein durchschnittlicher Internet-Nutzer vertraue der von Google präsentierten Reihenfolge und gehe davon aus, dass das beste bzw. zutreffendste Suchergebnis auf dem ersten Platz zu finden sei. Die Anzeigerin stört sich daran, dass bei einer Google-Suche nach ihr oder einem anderen Anwalt regelmässig eine Verbindung zur Kanzlei des Angezeigten hergestellt wird (act. 1 und 2).
Die Anwaltskammer eröffnete gestützt auf die Anzeige ein Disziplinarverfahren und gab Rechtsanwalt B. Gelegenheit zur Stellungnahme. Mit Eingabe vom 12. März 2020 beantragte dieser die Feststellung, dass kein Verstoss gegen das BGFA vorliege, und verlangte die Einstellung des Disziplinarverfahrens (act. 8 und 9). Auf die Ausführungen des Angezeigten wird, soweit erforderlich, in den nachfolgenden Erwägungen eingegangen.
Die Anzeigerin war bereits am 26. Februar 2020 praxisgemäss über die Eröffnung des Disziplinarverfahrens orientiert worden. Gleichzeitig wurde sie darauf hingewiesen, dass ihr in diesem Verfahren keine Parteistellung zukomme und sie auch nicht laufend über den Gang des Verfahrens orientiert werde (act. 6). Trotzdem reichte die Anzeigerin der Anwaltskammer am 20. März 2020, 9. Juni 2020, 16. März 2021 und 30. September 2021 unaufgefordert weitere Eingaben ein (act. 10, 18, 28 und 37). Ausserdem liess sich die Anzeigerin mit einer Eingabe vom 20. März 2020 zusammen mit ihrem Ehemann für die A. GmbH vernehmen (act. 12). Diese Eingaben führten am 8. April 2020, 25. Juni 2020, 6. August 2020, 8. Januar 2021, 22. April 2021, 23. August 2021 und 7. Oktober 2021 zu weiteren Einlassungen des Angezeigten (act. 10, 21, 22, 26, 34, 36 und 39). Auch auf den Inhalt dieser Eingaben wird, soweit erforderlich, in den nachfolgenden Erwägungen eingegangen.
II.
b) Im vorliegenden Fall steht nicht die Tätigkeit des Angezeigten im Verfahren vor einer Behörde zur Diskussion, sondern sein wettbewerbliches Verhalten. Der Angezeigte ist im Anwaltsregister des Kantons St. Gallen eingetragen, ist somit hauptsächlich hier tätig (vgl. BGE 131 II 639 E. 3.5). Die Zuständigkeit der Anwaltskammer zur Behandlung der Anzeige ist damit gegeben.
[...]
a) Die Berufsregeln für Rechtsanwälte sind in Art. 12 BGFA festgelegt. Nach lit. d dieser Bestimmung dürfen Anwälte Werbung machen, solange diese objektiv bleibt und solange sie dem Informationsbedürfnis der Öffentlichkeit entspricht.
b) Da die Anwaltswerbung grundsätzlich durch die Wirtschaftsfreiheit nach Art. 27 BV geschützt ist, bedarf ihre Einschränkung der Rechtfertigung (BGE 139 II 173 E. 6.1). Die Regulierung der Werbung liegt in erster Linie im öffentlichen Interesse an einer ordnungsgemässen und qualitativ hochstehenden Ausübung der Anwaltstätigkeit (BGE 139 II 173 E. 6.2.1). Die Wirtschaftsfreiheit der Anwältinnen und Anwälte ist gegen das Vertrauen der Öffentlichkeit in die Anwaltschaft abzuwägen (BGE 139 II 173 E. 6.3.1). Auch vor Inkrafttreten des BGFA hat das Bundesgericht ein striktes Werbeverbot für Rechtsanwälte stets abgelehnt, es aber als zulässig erachtet, deren Werbetätigkeit besonderen Schranken zu unterwerfen, insbesondere aufdringliche und irreführende Werbung zu untersagen. Demgemäss wurde festgehalten, dass anwaltliche Werbung, auch wenn sie einem Informationsbedürfnis des Publikums entgegenkommt, zurückhaltend zu sein hat (BGE 125 I 417 E. 5b; BGer 2C_259/2014 E. 2.2).
c) Ausserdem ist der Wortlaut von Art. 12 lit. d BGFA zu beachten. Die Bestimmung erklärt Anwaltswerbung für zulässig, "solange sie objektiv bleibt und solange sie dem Informationsbedürfnis der Öffentlichkeit entspricht". Aus der Wortwahl kann abgeleitet werden, dass die zulässige Werbung (auch) eine Frage des Masses ist. Dies gilt insbesondere für das Element "Informationsbedürfnis der Öffentlichkeit". Dabei handelt es sich nicht um ein beliebiges, abstrakt zu denkendes (und damit möglichst grosses) Informationsbedürfnis. Vielmehr ist das durch die jeweilige Situation bestimmte Informationsbedürfnis des dort anwesenden Publikums gemeint, welches nicht überschritten werden soll. Die offen gehaltene Regelung kann die Grenzziehung im Einzelfall schwierig machen, entspricht aber der Absicht des Gesetzgebers, der Vielgestaltigkeit der Werbung gerecht zu werden (BGE 139 II 173 E. 6.3.1; BGer 2C_259/2014 E. 2.3).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung beinhaltet das Kriterium der Objektivität weitergehende Einschränkungen als die lauterkeitsrechtliche Regelung des UWG. Der Grundsatz der Objektivität erfordert eine gewisse Zurückhaltung in dem Sinn, dass auf reisserische, aufdringliche oder marktschreierische Methoden zu verzichten ist. Die gebotene Zurückhaltung bezieht sich nicht nur auf den Inhalt, sondern auch auf die Form der Anwaltswerbung (BGE 139 II 173 E. 6.2.2; BGer 2C_259/2014 E. 2.3.1).
Das Kriterium des Informationsbedürfnisses der Öffentlichkeit betrifft nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts im Wesentlichen die Existenz der betreffenden Kanzlei und deren Tätigkeitsgebiete, die Kontaktangaben sowie zusätzliche Angaben wie etwa "beratend und prozessierend". Je nach Ort, an dem die Werbung wirken soll, kann das Informationsbedürfnis der (dortigen) Öffentlichkeit höher oder niedriger sein. Nach der Lehre ist die Werbung zudem daran zu messen, ob sie Markttransparenz schafft und so eine sachgerechte Nachfrage auslöst. Eine übermässige, missbräuchliche oder unzweckmässige Nachfrage nach Dienstleistungen des Rechtsanwalts soll verhindert werden, damit eine sachgerechte Inanspruchnahme des Rechtsstaats gewährleistet bleibt (BGer 2C_259/2014 E. 2.3.2; Bernhart, Die professionellen Standards des Rechtsanwalts, 2. Aufl., S. 150).
b) Es gilt heute als selbstverständlich, dass auch Anwälte sich der internettypischen Werbemöglichkeiten bedienen, um sich dem Publikum zu präsentieren und über ihre Dienstleistungen zu informieren (Fellmann, Anwaltsrecht, 2. Aufl., Rz. 431). Die meisten Anwaltskanzleien betreiben denn auch eine eigene Website. Deren Inhalte gehen regelmässig deutlich über die vom Bundesgericht genannten Informationsbedürfnisse (BGer 2C_259/2014 E. 2.3.2: Existenz der Kanzlei, Tätigkeitsgebiete, Kontaktangaben, zusätzliche Angaben wie etwa "beratend und prozessierend") hinaus. Dies ist heute auch allgemein akzeptiert. Potenzielle Kunden haben durchaus ein Interesse daran, dass sie sich auf einer Website beispielsweise über die in der Kanzlei tätigen Anwältinnen und Anwälte, deren Zusatzausbildungen und Sprachkenntnisse oder auch über die Honorargestaltung informieren können. Dass dabei besondere fachliche Kompetenz betont wird, ist branchenüblich. Es kann nicht Gegenstand der beruflichen Aufsicht sein, solche Aussagen auf ihre Berechtigung hin zu prüfen, jedenfalls solange sie nicht irreführend sind.
Die Website der B. AG hält sich inhaltlich durchaus in diesem Rahmen. Sie ist weder reisserisch aufgemacht, noch sind täuschende oder irreführende Angaben erkennbar. Soweit in der Anzeige verlangt wird, es sei abzuklären, "wie und in welchem Umfang" die auf der Website der B. AG aufgeführten Mitarbeitenden tatsächlich für diese Anwaltsfirma tätig sind (vgl. act. 1 S. 6), bleibt die Anzeigerin näheren Aufschluss über eine mögliche Irreführung schuldig. Es ist jedenfalls nicht zu beanstanden, dass auf der Website auch ein Jurist ohne Anwaltspatent als Mitarbeiter präsentiert wird, der offenbar vor allem im Bereich Compliance tätig ist, diese Tätigkeit aber nicht nur für die B. AG, sondern auch für ein eigenes Beratungsunternehmen ausübt. Im Übrigen werden Abschlüsse und Berufserfahrungen der Mitarbeitenden auf der Website beschrieben, so dass erkennbar ist, welche Personen über ein Anwaltspatent verfügen und welche nicht. Dass auch Mitarbeitende ohne Patent auf einer Kanzlei-Website aufgeführt werden, ist jedenfalls nicht unüblich. Solange sie nicht wahrheitswidrig als Anwältinnen oder Anwälte bezeichnet werden, besteht kein Anlass für aufsichtsrechtliche Massnahmen.
c/aa) Es liegt auf der Hand, dass die Website einer Unternehmung vor allem auch der Kundenakquisition dient. Damit potenzielle Kunden auf die Website aufmerksam werden, ist eine Suchmaschinenoptimierung üblich. Dies erfolgt durch sog. Metatags, d.h. Begriffe, die im HTML-Code der Website enthalten sind. Metatags sind für den normalen Betrachter nicht erkennbar, sondern werden von Suchmaschinen ausgewertet und steuern Internetnutzer über Trefferlisten nach Sucheingaben auf die fragliche Seite. Mittels geeigneter Metatags können potenzielle Kunden gezielt auf eine Website gelenkt werden. Anwaltskanzleien wählen als Metatags häufig Rechtsgebiete, in denen sie tätig sind (z.B. "Familienrecht", "Erbrecht"), um auf ihre Webpräsenz aufmerksam zu machen (vgl. Schütz, Anwaltswerbung in der Schweiz – UWG als Alternative zu Art. 12 lit. d BGFA?, Zürich 2010, S. 362 f.).
Ein ähnliches Mittel für die Suchmaschinenoptimierung ist das Keyword Advertising. Am bekanntesten ist der Service AdWords von Google. Werbetreibende können dort Anzeigen schalten. Um zu bestimmen, in welchem Kontext die Anzeige jeweils erscheinen soll, müssen für jede Werbeeinblendung Stichwörter (sog. "Keywords") definiert werden. Diese vom Werbetreibenden festgelegten Stichwörter entscheiden, bei welchen Suchanfragen die Anzeige eingeblendet wird (vgl. Schütz, a.a.O., S. 363). Keywords beeinflussen nicht nur das Suchergebnis an sich, d.h. die Trefferhäufigkeit. Sie verschaffen dem Werbetreibenden auch die Möglichkeit, bei bestimmten Suchanfragen an prominenter Stelle, wenn auch optisch getrennt von den bestplatzierten "natürlichen" Suchergebnissen, einen als Werbung gekennzeichneten Link auf die eigene Webseite platzieren zu können (vgl. Isler/Sutter, Keyword Advertising, in: Thouvenin/Weber [Hrsg.], Werbung – Online, Zürich 2017, S. 63).
bb) Dass auch Anwaltskanzleien auf ihren Websites Metatags für die Suchmaschinenoptimierung einsetzen dürfen, wird kaum umstritten sein. Eine Website dient ja gerade auch der Akquisition von Kunden, welche die Kanzlei bisher noch gar nicht kannten. Dies lässt sich am besten erreichen, wenn die Kanzlei möglichst oben auf der Trefferliste der Suchmaschine erscheint. Die Suchmaschinenoptimierung wirkt sich dabei nicht nur bei Suchen allgemeiner Art (z.B. "Anwalt Erbrecht") aus. Auch bei der Suche nach einer bestimmten, namentlich bekannten Anwaltskanzlei ist das Ergebnis nicht eindeutig, sondern die Trefferliste umfasst regelmässig Hinweise auf diverse andere Kanzleien. Dies ist dem Algorithmus der Suchmaschine geschuldet, der insbesondere die Metatags auf der Website der gesuchten Kanzlei auswertet und durch den Vergleich mit den Metatags anderer Websites zusätzliche Resultate liefert. Eine Verwechslungsgefahr ist damit nicht verbunden. Es ist allgemein bekannt, dass Suchmaschinen regelmässig eine grössere Zahl von Ergebnissen liefern. Auch wird ein Nutzer, der nach einer bestimmten Anwaltskanzlei gesucht hat, beim Öffnen der Website schnell erkennen, ob er diese gefunden hat oder bei einer anderen Kanzlei gelandet ist.
Die Verwendung von Metatags für die Suchmaschinenoptimierung erscheint damit als ein nach Massgabe von Art. 12 lit. d BGFA ohne weiteres zulässiges Werbemittel. Es entspricht dem Informationsbedürfnis des Publikums, dass sie bei der Benutzung einer Suchmaschine Hinweise auf Anwaltskanzleien erhalten, denen sie möglicherweise ihr Anliegen anvertrauen können. Dass eine Kanzlei durch Suchmaschinenoptimierung anstrebt, möglichst oft und möglichst weit vorne auf der Trefferliste zu erscheinen, kann auch nicht als reisserisch, aufdringlich oder marktschreierisch bezeichnet werden, sondern entspricht dem wettbewerblichen Verhalten in wahrscheinlich allen Wirtschaftsbranchen.
cc) Aber auch der Einsatz von Keyword Advertising erscheint mit Blick auf Art. 12 lit. d BGFA als grundsätzlich zulässig. In der Erscheinungsform bzw. in der Wirkung ist Keyword Advertising sehr ähnlich wie die Suchmaschinenoptimierung mittels Metatags. Während Letztere zu einem besseren Ergebnis in der "normalen" Trefferliste führt, wird bei Keyword Advertising eine Werbeeinblendung oberhalb der Trefferliste (teilweise auch unterhalb oder daneben) angezeigt. Diese Anzeige ist bei Google als solche gekennzeichnet. Es ist auch allgemein bekannt, dass die Werbeeinblendungen nicht unbedingt dem gesuchten Ergebnis entsprechen. Hinsichtlich der Verwechslungsgefahr gilt das Gleiche wie bei der Suchmaschinenoptimierung mittels Metatags. Wer nach einer bestimmten Anwaltskanzlei sucht, muss damit rechnen, dass ihm in den Werbeeinblendungen eine Konkurrenzkanzlei angezeigt wird. Auch dies kann aber als allgemein bekannt vorausgesetzt werden.
dd) Die Anzeigerin unterstellt Rechtsanwalt B., dass er die Google-Suchergebnisse "mittels aggressiver Werbeschaltung" beeinflusse. Auch der Anwaltskammer ist schon vor Eingang der Anzeige aufgefallen, dass bei Google-Suchen nach einem St. Galler Anwalt, sei dies in allgemeiner Form oder bezogen auf einen bestimmten Anwalt oder eine bestimmte Kanzlei, in den Suchergebnissen praktisch immer der Hinweis auf die Kanzlei von Rechtsanwalt B. in Form einer Anzeige zuoberst erschien. Es fragt sich, ob dieses Werbeverhalten als reisserisch oder aufdringlich im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu qualifizieren ist.
Bei der Prüfung dieser Frage ist zu berücksichtigen, dass Rechtsanwalt B. offensichtlich während längerer Zeit der einzige St. Galler Anwalt war, der Google Adwords als Werbemittel einsetzte. Dass seine Kanzlei bei Google-Suchen fast immer zuoberst in der Trefferliste erschien, hat er wahrscheinlich durch die Abstinenz seiner Konkurrenten erreicht, die auf den Einsatz dieses Werbemittels verzichteten. Seit dem Eingang der Anzeige bei der Anwaltskammer ist allerdings zu beobachten, dass zunehmend auch andere St. Galler Anwaltskanzleien Google Adwords als Werbemittel einsetzen, was wie dargelegt grundsätzlich auch zulässig ist (vgl. zu digitalen Marketingmethoden der Anwaltschaft auch Genna, Sind wir Anwälte fit für die Digitalisierung?, Anwaltsrevue 2017/2, S. 55 ff., 58). Die Präsenz der Kanzlei von Rechtsanwalt B. in den Google-Suchergebnissen ist deshalb bei weitem nicht mehr so dominant wie früher.
Es ist ein unternehmerischer Entscheid, welche finanziellen Mittel eine Anwaltskanzlei für Marketingmassnahmen wie Google Adwords aufwenden will. Aufsichtsrechtliche Limitierungen sind in dieser Hinsicht nicht angezeigt. Auch wenn eine Anwaltskanzlei erhebliche Mittel für das Marketing mit Google Adwords aufwendet, kann daraus nicht auf eine reisserische oder aufdringliche Werbung geschlossen werden. Massstab für die Beurteilung bildet nämlich nicht die Wahrnehmung von Branchenkurrenten, die vielleicht stört, dass eine andere Kanzlei in den Google-Suchergebnissen regelmässig eine prominentere Stellung hat als die eigene. Das für die Beschränkung der Anwaltswerbung notwendige öffentliche Interesses lässt sich damit nicht begründen. Die anwaltsrechtlichen Werbebeschränkungen bezwecken, das Vertrauen in die Anwaltschaft und deren Ansehen zu wahren sowie eine Täuschung der Rechtsuchenden zu vermeiden (vgl. Fellmann, a.a.O., Rz. 418; Brunner/Henn/Kriesi, Anwaltsrecht, S. 141). Auszugehen ist deshalb vom Durchschnittsnutzer der Suchmaschine, der beispielsweise auf der Suche nach einem Anwalt einmal oder einige wenige Male eine entsprechende Suchanfrage durchführt. Wenn dann immer eine bestimmte Kanzlei als Anzeige in der Trefferliste erscheint, wird dies kaum als aufdringlich wahrgenommen werden. Es entspricht der Erfahrung bei Suchanfragen in anderen Wirtschaftsbranchen, wo bestimmte Unternehmen sich werbemässig ebenfalls besonders hervortun. Für das Vertrauen in die Anwaltschaft und den Schutz des Publikums vor Täuschungen entscheidend ist aber ohnehin in erster Linie der Inhalt der konkreten Website.
ee) Für die Vermutung der Anzeigerin, Rechtsanwalt B. verwende für seine Werbeanzeigen bei Google die Namen von Anwaltskonkurrenten als Keywords, fehlt jeder Anhaltspunkt. Dass bei der Suche nach einem bestimmten St. Galler Anwalt die Anzeige für die Kanzlei von Rechtsanwalt B. in den Suchergebnissen erscheint, hängt offenkundig mit der analytischen Auswertung und Indexierung der Websites durch Google zusammen. Eine Rolle spielen dabei auch die verwendeten Metatags. Es liegt deshalb auf der Hand, dass bei der Suche nach einem bestimmten Anwalt bereits in den "normalen" Suchergebnissen auch die Websites von Konkurrenten angezeigt werden. Analog verhält es sich beim Einsatz von Google Adwords und Verwendung entsprechender Keywords. Dies dürfte auch erklären, dass bei einer Google-Suche mit der Telefonnummer der Kanzlei der Anzeigerin in den Suchergebnissen nicht nur deren Website, sondern auch diejenige von Rechtsanwalt B. in Form einer Anzeige erscheint (vgl. act. 12 und 13). Der Umstand, dass diese Anzeige zwar bei einer Suche nach Rechtsanwältin A. erscheint, nicht aber bei einer Suche nach ihrem in derselben Kanzlei tätigen Ehemann C., ist zwar merkwürdig, kann jedoch nicht belegen, dass Rechtsanwalt B. den Namen der Anzeigerin als Keyword verwendet. Rechtsanwalt B. hat jedenfalls eine schriftliche Bestätigung von Google Switzerland & Austria vorgelegt, dass er für seine Google Ads Kampagne weder das Keyword "A." noch irgendwelche Variationen davon gebucht hat (vgl. act. 9/2). Es fehlt am Nachweis, dass er Namen von Konkurrenten als Keywords benutzt.
Damit kann die Frage offenbleiben, ob die Verwendung des Namens einer anderen Kanzlei als Keyword zulässig ist oder nicht. Immerhin sei der Hinweis erlaubt, dass in der wettbewerbsrechtlichen Literatur auch die Auffassung vertreten wird, die Verwendung eines fremden Kennzeichens sei unter dem Gesichtspunkt von Art. 3 Abs. 1 lit. d UWG zulässig, wenn der Suchmaschinennutzer hierdurch nicht zu einem Irrtum über die betriebliche Herkunft oder die Identität des Unternehmens veranlasst werde. Soweit das fremde Kennzeichen nicht in die eigene Werbung aufgenommen werde, sei ein solcher Irrtum unwahrscheinlich, da die Internetnutzer die Anzeige zahlreicher Produkte verschiedener Hersteller gewohnt seien. Es könne deshalb nur unter besonderen Umständen eine Verwechslungsgefahr entstehen (vgl. Heinemann, in: Heizmann/Loacker [Hrsg.], UWG Kommentar, Zürich 2018, Art. 3 lit. d / V. - VI. N 148; siehe auch den Entscheid des Obergerichts Thurgau vom 7. September 2011, sic ! 2012, S. 387).