Erwägungen:
Mit Eingabe vom 6. Februar 2017 bzw. 3. März 2017 ersuchte Rechtsagent X. um Entbindung vom Berufsgeheimnis zur Geltendmachung einer Honorarforderung, da eine vorgängige direkte Anfrage bei seiner ehemaligen Klientin – nach seiner Darstellung – erfolglos blieb. Die Gesuchsgegnerin liess sich am 21. März 2017 (Poststempel vom 27. März 2017) vernehmen, wobei sie sich der Entbindung ausdrücklich widersetzte.
a) Gemäss Art. 13 Abs. 1 BGFA unterstehen Anwältinnen und Anwälte zeitlich unbegrenzt und gegenüber jedermann dem Berufsgeheimnis über alles, was ihnen infolge ihres Berufes von ihrer Klientschaft anvertraut worden ist (vgl. auch Art. 321 StGB). Zu den Tatsachen, welche unter den Schutz des Anwaltsgeheimnisses fallen, gehört schon der Umstand des Bestehens eines Mandats zwischen dem Rechtsanwalt und seinem Klienten. Deshalb setzt die klageweise Einforderung einer Honorarforderung eine vorgängige Befreiung des Anwalts von seiner Schweigepflicht voraus. Verweigert der Mandant die Entbindung vom Anwaltsgeheimnis, so hat sich der Rechtsanwalt, der sein Honorar auf dem Rechtsweg einzutreiben sucht, mit einem entsprechenden Begehren an die Aufsichtsbehörde zu wenden (BGer 2C_704/2016 E. 3.1; 2C_1127/2013 E. 3.1; 2C_661/2011 E. 3.1; 2C_508/2007 E. 2.1; 1S.5/2006 E. 5.3.1)
Zuständig ist die Aufsichtsbehörde an demjenigen Ort, an welchem der um Entbindung ersuchende Anwalt über einen Geschäftssitz verfügt (vgl. Art. 5 Abs. 1 i.V.m. Art. 13 und Art. 14 BGFA). Im Kanton St. Gallen erfolgt die Entbindung vom Berufsgeheimnis durch den Präsidenten der Anwaltskammer (Art. 5 Abs. 2 lit. e AnwG i.V.m. Art. 5 der Weisung der Anwaltskammer vom 27. April 2015 über die Übertragung von Aufgaben an den Präsidenten, das Anwaltsregister und die EU/EFTA-Anwaltsliste sowie den Geschäftsgang; zur Zulässigkeit der Delegation an den Präsidenten siehe auch BGer 2C_586/2016 E. 6.2). Das Gesuch muss durch den Anwalt selbst und vor der Preisgabe der vertraulichen Information gestellt werden (Fellmann, Anwaltsrecht, 2. Aufl., Bern 2017, Rz. 590 f.; Nater/Zindel, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2. Aufl., Zürich 2011, Art. 13 N 138). Die Entbindung durch den Präsidenten der Anwaltskammer ist jedoch subsidiär, d.h. der Anwalt muss sich – soweit möglich – zunächst selbständig um die Einwilligung seines Klienten bemühen (Testa, Die zivil- und standesrechtlichen Pflichten des Rechtsanwaltes gegenüber dem Klienten, Diss. Zürich 2001, S. 149 und S. 248; Nater/Zindel, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2. Aufl., Zürich 2011, Art. 13 N 133). Diese Voraussetzungen gelten sachgemäss auch für den Rechtsagenten (vgl. Art. 1 Abs. 2 und Abs. 3 AnwG).
b) Im vorliegenden Fall übt der Gesuchsteller seine Geschäftstätigkeit in A./SG aus. Er hat unbestrittenermassen Leistungen für die Gesuchsgegnerin erbracht. Es liegt damit eine Honorarforderung bzw. ein Mandatsverhältnis vor. Der Gesuchsteller ist schliesslich erfolglos an die Gesuchsgegnerin gelangt, bevor er der Anwaltskammer die Entbindung vom Berufsgeheimnis beantragt hat. Auf das Gesuch ist daher ohne weiteres einzutreten.
bb) Zunächst ist anzufügen, dass Kostenvorschüsse im Dienstleistungsbereich allgemein unüblich sind (dazu insbesondere Schiller, Der Anwalt als Testamentsvollstrecker und Schweigepflicht, a.a.O., S. 502; Fellmann, a.a.O., Rz. 605), insbesondere bei Dauerklienten, die eine besondere Vertrauensstellung einnehmen. Die Pflicht zur Erhebung eines Kostenvorschusses stellt zudem eine Einschränkung der Wirtschaftsfreiheit (Art. 27 BV) dar. Grundrechtseinschränkungen bedürfen einer gesetzlichen Grundlage (Art. 36 Abs. 1 BV). So hat der Gesetzgeber etwa im Aktienrecht der Revisionsstelle im Hinblick auf die Wahrung ihrer Unabhängigkeit die Möglichkeit einer Honorarbevorschussung zuerkannt (Art. 731b Abs. 2 OR; vgl. dazu Bertschinger, Honorardruck und Unabhängigkeit der Revisionsstelle, in: AJP 1/2013, S. 26). Eine vergleichbare, gesetzlich ausdrücklich verankerte Berufsregel, wonach die Anwältin oder der Anwalt einen Kostenvorschuss erheben muss, besteht indes nicht (vgl. Art. 12 und Art. 13 BGFA).
Die Pflicht zur Erhebung eines Kostenvorschusses findet insbesondere in Art. 12 lit. b BGFA keine hinreichende gesetzliche Grundlage. Die anwaltliche Unabhängigkeit bezweckt die Gewährleistung der grösstmöglichen Freiheit und Sachlichkeit bei der Interessenwahrung gegenüber dem Klienten wie gegenüber dem Richter (BGer 2P.187/2000 E. 4a = Pra 2001 Nr. 141). Der Umfang dieser unverzichtbaren Unabhängigkeit ist jedoch begrenzt. Zwingend ist nur, dass mandatsstörende Einflüsse ausgeschlossen sind. Damit geht die notwendige Unabhängigkeit nicht weiter als das Verbot von Interessenkonflikten (Schiller, Anwaltliche Unabhängigkeit – Wozu? Wie weit? Wovon?, in: Anwaltsrevue 10/2011, S. 428; vgl. auch Botschaft zum Bundesgesetz über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte vom 28. April 1999, BBl 1999 6013 ff., 6054; AmtlBull NR 1999 1552). Eine Pflicht zur Erhebung eines Kostenvorschusses kann sich auch dann nicht ergeben, wenn die Grösse des Auftrags eine erhebliche wirtschaftliche Abhängigkeit zur Folge hat ("too big to lose"). Die Versuchung, unter dem Druck eines solchen Mandanten berufsrechtliche Grundsätze zu vernachlässigen, ist zwar gross (vgl. dazu Hartung, in: Hartung/Scharmer [Hrsg.], BORA/FAO Kommentar, 6. Aufl., München 2016, § 43a N 18). Es ist indes nicht ersichtlich, inwiefern dieser Gefahr durch die Erhebung eines Kostenvorschusses wirksam begegnet werden kann, zumal der Anwalt geneigt sein könnte, einen lukrativen Auftrag trotz Nichtbezahlung des Kostenvorschusses zu übernehmen. Aus dem BGFA lassen sich damit keine vorsorglichen Massnahmen ableiten, die einen Verstoss gegen Art. 12 lit. b BGFA präventiv verhindern sollen. Entsprechende Verstösse führen deshalb nur (aber immerhin) ex post zu einer disziplinarischen Ahndung (Art. 17 BGFA).
Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass in Bezug auf die Rechnungstellung einzig Art. 12 lit. i BGFA eine Berufsregel aufstellt. Demnach klären Anwälte ihre Klientschaft bei Übernahme des Mandates über die Grundsätze ihrer Rechnungsstellung auf und informieren sie periodisch oder auf Verlangen über die Höhe des geschuldeten Honorars. Diese Berufsregel dient der Vermeidung von Streitigkeiten über die Höhe der Honorare. Auf die Pflicht zur Erhebung eines Kostenvorschusses hat der Gesetzgeber jedoch – entgegen den Vorschriften einiger Kantone – auch in diesem Zusammenhang ausdrücklich verzichtet (Botschaft BGFA, a.a.O., BBl 1999 6057 f.).
cc) Damit besteht nach Auffassung der Anwaltskammer mangels gesetzlicher Grundlage keine Pflicht, welche Anwälten vorschreibt, von ihrer Klientschaft ausreichende Vorschüsse zu verlangen.
b) Selbst wenn eine solche Pflicht bundesrechtlich bestehen würde, wäre die Erhebung eines Kostenvorschusses im vorliegenden Fall nicht erforderlich gewesen. Denn der Kostenvorschuss lag nicht im Interesse der Gesuchsgegnerin, weil sie bei mangelhafter Vertragserfüllung oder übersetztem Honorar in die Klägerrolle gedrängt und ihr damit die wirkungsvolle Waffe der Zahlungsverweigerung aus der Hand geschlagen worden wäre (vgl. Fellmann, a.a.O., Rz. 605). Zudem ist davon auszugehen, dass die Kostenvorschusspflicht weniger vermögenden Klienten den Zugang zur Justiz verwehrt (vgl. Schiller, a.a.O., S. 503). Die Gesuchsgegnerin gab denn auch an, nicht über "genug Geld" zu verfügen. Auch sonst sind keine Gründe ersichtlich, weshalb der Gesuchsteller unter dem Gesichtspunkt des Unabhängigkeitserfordernisses von Art. 12 lit. b BGFA gehalten gewesen wäre, von der Gesuchsgegnerin einen Kostenvorschuss zu verlangen.
b) Das Bestehen einer Honorarforderung wird seitens der Gesuchsgegnerin nicht bestritten. Der Gesuchsteller hat als freiberuflich tätiger Rechtsberater ein Unternehmer- und Inkassorisiko, wobei es zu berücksichtigen gilt, dass die Honorare aus der Rechtsvertretung bzw. Rechtsberatung in aller Regel die einzige Einnahmequelle darstellen. Es liegt deshalb auf der Hand, dass der Gesuchsteller ein hohes Interesse an der Offenbarung des Berufsgeheimnisses hat, weil er diese benötigt, um seine Honorarforderung durchsetzen zu können. Es entspricht denn auch der Praxis der Kantone, solche Gesuche zu bewilligen, um dem Anwalt die Durchsetzung seiner Honorarforderung gegen seinen Klienten zu ermöglichen (vgl. BGer 2C_661/2011 E. 3.1; 2P.313/1999 E. 2d; Testa, a.a.O., S. 157). Die demgegenüber von der Gesuchsgegnerin vorgebrachten Einwände, sind zivilrechtlich für den Bestand bzw. die Höhe der Forderung von Bedeutung bzw. betreffen die Art und Weise der Mandatsausübung. Sie können im Verfahren vor der Anwaltskammer jedoch nicht berücksichtigt werden, sondern sind vom Zivilgericht zu beurteilen (vgl. Testa, a.a.O., S. 249). Überwiegende Interessen, die gegen die Offenbarung der für die Durchsetzung der Honorarforderung benötigten Informationen gegenüber dem Betreibungsamt bzw. Zivilgericht oder einem in diesem Zusammenhang mandatierten Rechtsvertreter sprechen, sind weder dargetan noch ersichtlich. Unter diesen Umständen ist das Gesuch um Entbindung vom Berufsgeheimnis zu bewilligen.
Der Gesuchsteller wird jedoch darauf hingewiesen, dass er nicht frei ist, Klienteninformationen nach Belieben preiszugeben. Der gewährte Dispens von der Geheimhaltungspflicht ist möglichst schonend auszuüben, d.h. die Preisgabe muss sich auf das Honorarinkasso Notwendige beschränken.
Da die Gesuchsgegnerin mit ihrem Antrag, die Entbindung zu verweigern, unterliegt, hat sie die Kosten des vorliegenden Entscheids, bestehend aus einer Entscheidgebühr von Fr. 200.00, zu tragen (Art. 95 Abs. 1 VRP; vgl. auch Brunner/Henn/Kriesi, Anwaltsrecht, Zürich 2015, Kap. 5 Rz. 113).
Im erstinstanzlichen Verwaltungsverfahren werden in der Regel keine Parteientschädigungen zuerkannt (Art. 98 Abs. 3 lit. b VRP). Es besteht kein Grund, im vorliegenden Fall von dieser Regel abzuweichen.