Aus den Erwägungen:
I.
Mit Eingabe vom 7. Dezember 2016 reichte A. bei der Anwaltskammer des Kantons St. Gallen eine Anzeige gegen Rechtsanwalt X. ein. A. führt darin aus, dass er von Rechtsanwalt X. im Rechtsstreit mit einer Bank anwaltlich vertreten worden sei. Aus diesem Mandatsverhältnis habe Rechtsanwalt X. Honorarforderungen geltend gemacht und für diese auch Betreibungen eingeleitet sowie im Februar 2016 Klage erhoben. Nach Auffassung des Anzeigers hätte die klageweise Einforderung der Honorarforderung eine vorgängige Befreiung des Anwalts von seiner Schweigepflicht vorausgesetzt. Rechtsanwalt X. habe indessen weder bei ihm noch bei der Aufsichtsbehörde jemals um Entbindung vom Berufsgeheimnis nachgesucht. A. ersucht deshalb um Prüfung disziplinarrechtlicher Massnahmen.
Im gleichen Zusammenhang wurde die Anwaltskammer ausserdem vom Untersuchungsamt St. Gallen mit Schreiben 9. Dezember 2016 darüber orientiert, dass A. gegen Rechtsanwalt X. Strafanzeige wegen Verletzung des Anwaltsgeheimnisses erstattet hat.
II.
Die Anwaltskammer wacht über die Anwendung des Anwaltsgesetzes (Art. 5 Abs. 1 AnwG). Die Leitung des Disziplinarverfahrens obliegt dem Präsidenten (Art. 5 Abs. 2 lit. f AnwG i.V.m. Art. 6 der Weisung der Anwaltskammer über die Übertragung von Aufgaben an den Präsidenten, das Anwaltsregister und die EU/EFTA-Anwaltsliste sowie den Geschäftsgang vom 27. April 2015). Dieser entscheidet über die Eröffnung des Disziplinarverfahrens. In sinngemässer Anwendung des kantonalen Disziplinarrechts ist dieser Entscheid nach pflichtgemässem Ermessen zu treffen (Art. 7 Abs. 1 Disziplinargesetz). Damit ist ein Verfahren immer dann zu eröffnen, wenn hinreichende Anhaltspunkte für eine disziplinarrechtlich relevante Berufsregelverletzung vorliegen.
Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte unterstehen in zeitlicher Hinsicht unbegrenzt und gegenüber jedermann dem Berufsgeheimnis über alles, was ihnen infolge ihres Berufes von ihrer Klientschaft anvertraut worden ist (Art. 13 Abs. 1 BGFA). Diese Berufspflicht wurde anlässlich der Einführung des BGFA vereinheitlicht (BGer 2C_586/2015 E. 2.1 mit Hinweisen).
Die Verletzung des anwaltlichen Berufsgeheimnisses ist sowohl strafrechtlich (Art. 321 Abs. 1 StGB) wie auch disziplinarrechtlich (Art. 17 BGFA) sanktionsbewehrt. Als Rechtfertigungsgründe, welche in strafrechtlicher Hinsicht trotz erfülltem Straftatbestand zum Entfallen der Rechtswidrigkeit führen, nennt Art. 321 Ziff. 2 StGB die Einwilligung des am Geheimnis Berechtigten oder eine auf Gesuch des Täters erteilte schriftliche Bewilligung der vorgesetzten Behörde oder der Aufsichtsbehörde.
In Literatur und Rechtsprechung war bislang umstritten, inwieweit es für die gerichtliche Geltendmachung einer anwaltlichen Honorarforderung einer Entbindung von der Pflicht zur Wahrung des Berufsgeheimnisses bedarf. Die Anwaltskammer des Kantons St. Gallen hat seit längerem die Auffassung vertreten, dass in solchen Fällen eine Entbindung vom Berufsgeheimnis nicht erforderlich ist. Das Erfordernis, vor der gerichtlichen Geltendmachung allfälliger Honoraransprüche zunächst eine formelle Entbindung durch die Aufsichtsbehörde einzuholen, werde in zunehmendem Masse als inhaltslos und rechtlich nicht begründbare Formalität betrachtet. Es ergebe sich bereits aus dem Wesen des Auftragsverhältnisses, dass das Interesse des Rechtsanwalts an der Honorierung demjenigen des Klienten an der Geheimhaltung des Mandatsverhältnisses vorgehe. Die Honorierung bilde einen wesentlichen Bestandteil des Auftrages, und der Klient habe sich im Rahmen des zweiseitigen Vertrags zur Erfüllung der von ihm zu erbringenden Leistungen verpflichtet. In dieser Verpflichtung sei auch die stillschweigende Einwilligung mitenthalten, dass im Streitfall der Richter für die Durchsetzung der ausstehenden Honorarforderung angerufen werden dürfe. Eine nachträgliche Berufung auf die Geheimhaltungspflicht verstosse in diesen Fällen deshalb gegen den Grundsatz von Treu und Glauben im Geschäftsverkehr (GVP 2005 Nr. 80, mit Hinweisen zu kantonalen Aufsichtsbehörden mit gleicher oder ähnlicher Praxis; vgl. auch Nater/Zindel, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2. Aufl., Zürich 2011, Art. 13 N 145 ff.). Dementsprechend ist die Anwaltskammer bisher auf Entbindungsgesuche, die von Anwälten für das Honorarinkasso gestellt wurden, jeweils nicht eingetreten.
An dieser Praxis kann nicht länger festgehalten werden. Das Bundesgericht hat sich zwar in seiner bisherigen Rechtsprechung – soweit ersichtlich – nie grundsätzlich mit der Frage auseinandergesetzt, ob aufgrund der speziellen Ausgangslage beim anwaltlichen Honorarinkasso eine Entbindung überhaupt erforderlich ist. Die Notwendigkeit der Entbindung wurde in den einschlägigen Entscheiden jeweils vorausgesetzt (vgl. zum Beispiel BGer 2C_508/2007 E. 2.1), ohne dass sich das Bundesgericht auf eine Auseinandersetzung mit der teils abweichenden kantonalen Rechtsprechung, für die wie erwähnt durchaus Argumente bestehen, eingelassen hätte. Dies dürfte auch damit zusammenhängen, dass die dem Bundesgericht vorgelegten Fälle jeweils aus Kantonen stammten, welche grundsätzlich auch für das Honorarinkasso eine Entbindung verlangen, weshalb die Frage dem Bundesgericht auch nie in grundsätzlicher Hinsicht unterbreitet wurde. Aus einem kürzlich ergangenen Entscheid vom 9. Mai 2016 (BGE 142 II 307) ist nun allerdings zu schliessen, dass das Bundesgericht an seiner bisherigen Praxis festhalten und auch im Falle des Honorarinkassos zwingend eine Entbindung verlangen wird. Mit dem genannten Entscheid hat das Bundesgericht nämlich die Anforderungen, die in diesem Fall an eine Entbindung zu stellen sind, sogar deutlich verschärft, indem es vom Anwalt verlangt, dass er darlegt, weshalb ihm eine Kostendeckung über die Erhebung eines Kostenvorschusses nicht möglich war (kritisch dazu: Staehelin, Ausreisser? Ausreisser!, in: Anwaltsrevue 2016, S. 393 ff.; Schiller, Anwaltsrubrik, in: SJZ 112 [2016], S. 501 ff.). Unter diesen Umständen ist nicht zu erwarten, dass das Bundesgericht der Auffassung der Anwaltskammer, für das Honorarinkasso sei keine Entbindung notwendig, folgen könnte. Die bisherige Praxis der Anwaltskammer, auf derartige Gesuche gar nicht einzutreten, lässt sich deshalb nicht länger aufrechterhalten. Auch für das Honorarinkasso des Anwalts ist somit ein Entbindungsgesuch erforderlich.
Im vorliegenden Fall hätte sich Rechtsanwalt X. deshalb vor der Einleitung rechtlicher Schritte gegen seinen ehemaligen Mandanten vom Berufsgeheimnis entbinden lassen müssen, denn für diese Schritte war es unumgänglich, dass er vertrauliche Tatsachen aus dem anwaltlichen Mandatsverhältnis offenbarte. Damit ist allerdings noch nicht gesagt, dass Rechtsanwalt X. deswegen zu disziplinieren wäre. Wie dargelegt (oben E. 3) entsprach es jahrelanger Praxis der Anwaltskammer, dass für das Honorarinkasso keine Entbindung vom Berufsgeheimnis notwendig war. In der Anwaltschaft war auch bekannt, dass die Anwaltskammer auf entsprechende Gesuche gar nicht eintrat. Eine Entbindung war deshalb nach bisheriger Praxis gar nicht möglich. Die heute vorgenommene Praxisänderung ist grundsätzlich zwar sofort und überall anzuwenden. Allerdings sind auch das Gebot von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 BV) und das daraus fliessende Vertrauensschutzprinzip (Art. 9 BV) zu beachten (BGer 9C_160/2016 E. 4.1 mit weiteren Hinweisen; Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl., Zürich/St. Gallen 2016, Rz. 595 ff.). Es würde diesen Grundsätzen widersprechen, wenn ein Anwalt ohne Vorwarnung wegen des unterlassenen Entbindungsgesuchs von derselben Behörde diszipliniert würde, die bisher auf solche Gesuche gar nicht eingetreten war. Eine Disziplinierung fällt deshalb im vorliegenden Fall ausser Betracht. Demzufolge ist auch keine Disziplinaruntersuchung zu eröffnen.
Ergänzend ist darauf hinzuweisen, dass Rechtsanwalt X. sich vom Berufsgeheimnis entbinden lassen müsste, falls er beabsichtigen sollte, im hängigen Zivilprozess gegen seinen ehemaligen Mandanten noch zusätzliche, bisher nicht bekanntgegebene Tatsachen aus dem Mandatsverhältnis zu offenbaren.