Aus den Erwägungen:
I. 1. Mit Schreiben vom 3. August 2015 erstattete der Präsident des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen bei der Anwaltskammer Anzeige gegen A. wegen unzulässiger berufsmässiger Vertretung. In der Anzeige wird festgehalten, dass A. seit 2012 in mittlerweile 20 Beschwerdeverfahren vor Verwaltungsgericht Parteien vertreten habe. Dabei lege er für seine Tätigkeit regelmässig eine Vollmacht vor, gemäss welcher er die Beschwerdeführer unentgeltlich vertrete. Obwohl er mit Schreiben vom 18. Juni 2015 in einem Beschwerdeverfahren darauf aufmerksam gemacht worden sei, dass es für den Begriff der berufsmässigen Vertretung nicht in erster Linie darauf ankomme, ob ein Vertreter für seine Tätigkeit in einer unbestimmten Zahl von Fällen Entgelt beziehe oder diese Tätigkeit zu Erwerbszwecken ausübe, habe A. trotz dieser "Vorwarnung" kürzlich bereits wieder zwei neue Beschwerden als Vertreter eingereicht. In diesen beiden Verfahren sei ihm nun mitgeteilt worden, dass seine Vertretungstätigkeit als unzulässige berufsmässige Vertretung qualifiziert werde. Die Beschwerdeführer erhielten deshalb mit prozessleitender Verfügung Gelegenheit, einen anderen Vertreter zu bestimmen oder die bisherigen Prozesshandlungen von A. zu genehmigen und das Verfahren selber weiterzuführen. Der Verwaltungsgerichtspräsident ersuchte die Anwaltskammer, das Verfahren an die Hand zu nehmen.
[2.-3. Prozessgeschichte]
II. […]
III. 1. a) Die Anwaltskammer verfügt Massnahmen gegen Personen oder Unternehmen, die ohne Berechtigung den Beruf des Rechtsanwalts ausüben oder ausüben lassen oder sonst wie die Bestimmungen des Anwaltsgesetzes verletzen (Art. 37 AnwG). Die berufsmässige Vertretung vor Strafuntersuchungsbehörden und Gerichten ist nach Art. 10 Abs. 1 AnwG den in einem kantonalen Register eingetragenen Rechtsanwälten vorbehalten. Berufsmässig ist die Tätigkeit mit der Bereitschaft, von unbestimmt vielen Personen Aufträge entgegenzunehmen. Berufsmässigkeit wird vermutet, wenn ein Entgelt verlangt oder entgegengenommen wird (Art. 10 Abs. 2 AnwG).
b) Der anwaltliche Monopolbereich wird zum einen durch das Bundesrecht bestimmt. Seit Inkrafttreten der eidgenössischen Zivil- und Strafprozessordnung besteht für die berufsmässige Vertretung in Zivil- und Strafsachen ein Anwaltsmonopol. Die berufsmässige Parteivertretung vor Zivil- und Strafgerichten ist grundsätzlich den Anwältinnen und Anwälten vorbehalten, die nach dem BGFA zur Vertretung von Parteien vor Gerichtsbehörden berechtigt sind (Art. 68 Abs. 2 lit. a ZPO, Art. 127 Abs. 5 StPO), d.h. den registrierten Anwältinnen und Anwälten (Art. 4 BGFA) und den ausländischen Anwältinnen und Anwälten aus der EU und der EFTA (Art. 21 ff. BGFA).
In Verfahren, die nicht Zivil- und Strafsachen betreffen, fällt die Regelung des Monopolbereichs indessen nach wie vor in die Kompetenz der Kantone (BGer 1C_111/2014 E. 2; Nater, in: Fellmann/Zindel, Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2. A., Zürich 2011, Art. 3 N 7). Der Kanton St. Gallen hat wie erwähnt in Art. 10 Abs. 1 AnwG die berufsmässige Vertretung vor Gerichten generell dem Anwaltsmonopol unterstellt, also auch die Vertretung vor Verwaltungsrekurskommission, Versicherungsgericht und Verwaltungsgericht (Art. 16 - 18 GerG). Das Monopol beruht diesbezüglich nicht auf Bundes-, sondern auf kantonalem Recht. Vom Monopol ausgenommen sind Streitigkeiten über Schätzungen und öffentliche Abgaben (Art. 12 lit. d AnwG). Ausserdem sind in Verfahren vor dem Versicherungsgericht auch Vertreter von Selbsthilfe- und gemeinnützigen Organisationen zugelassen (Art. 12 lit. b AnwG). Ferner besteht die kantonalrechtliche Spezialität, dass in gewissen Verfahren auch patentierte Rechtsagentinnen und Rechtsagenten berufsmässig Parteien vertreten können (Art. 11 AnwG).
c) In Monopolbereichen, die durch das kantonale Recht festgelegt werden, richtet sich auch die Auslegung, was als berufsmässige Vertretung zu gelten hat, nach kantonalem Recht. Es besteht indessen kein Anlass, diesen Begriff anders auszulegen als im Bundesrecht, zumal das kantonale Anwaltsgesetz eine möglichst kohärente Anwendung bundes- und kantonalrechtlicher Regelungen anstrebt (vgl. Art. 1 Abs. 3 AnwG).
Das Bundesgericht hat sich in BGE 140 III 555 eingehend mit dem Begriff der berufsmässigen Vertretung gemäss Art. 68 Ziff. 2 lit. a ZPO befasst. Es hielt fest, dass die Einschränkung der Zulässigkeit der berufsmässigen Vertretung auf Anwältinnen und Anwälte der Sicherung der Qualität der Vertretung diene. Durch diese Beschränkung solle sichergestellt werden, dass die im BGFA vorgesehenen Qualitätssicherungsmassnahmen in Verfahren, die der ZPO unterständen, zum Zuge kommen, wenn der Vertreter "berufsmässig" auftrete. Das Bundesgericht verwies in diesem Zusammenhang auf die Anforderungen an die Anwälte hinsichtlich ihrer Ausbildung (Art. 7 BGFA) und weiterer persönlicher Eigenschaften, wie ihrer finanziellen Situation oder dem Fehlen strafrechtlicher Verurteilungen (Art. 8 BGFA). Sodann lege das eidgenössische Anwaltsgesetz die von ihnen einzuhaltenden Berufsregeln (Art. 12 BGFA) fest, regle das Berufsgeheimnis (Art. 13 BGFA) und die Aufsicht, der die Anwälte unterstehen würden (Art. 14 ff. BGFA). Diese Regeln seien insbesondere im Interesse der vertretenen Parteien aufgestellt worden. Damit sie ihre Schutzwirkung entfalten könnten, sei bei der Zulassung von Vertretern, die diesen Ansprüchen nicht genügen würden, Zurückhaltung angezeigt. Vor diesem Hintergrund könne es für die Auslegung des Begriffs der berufsmässigen Vertretung nicht entscheidend darauf ankommen, ob der Vertreter seine Tätigkeit gegen Entgelt oder zu Erwerbszwecken ausübe. Ein Schutzbedürfnis des Publikums bestehe bereits dann, wenn der Vertreter bereit sei, in einer unbestimmten Vielzahl von Fällen tätig zu werden. Darauf könne dann geschlossen werden, wenn er bereit sei, die Vertretung ohne besondere Beziehungsnähe zum Vertretenen zu übernehmen. In solchen Fällen gründe das Vertrauen in den Vertreter nicht auf seiner Person oder seiner Nähe zum Vertretenen, sondern auf anderen Eigenschaften des Vertreters (z.B. seine behauptete Fachkompetenz, Mitgliedschaft in Interessenverbänden etc.) und damit auf ähnlichen Kriterien wie bei der Auswahl eines Berufsmanns bzw. einer Berufsfrau. Da das Element des persönlichen Näheverhältnisses nicht im Vordergrund stehe, rechtfertige es sich, solche Vertreter den Restriktionen für berufsmässige Vertreter zu unterwerfen (BGE 140 III 555 E. 2.3).
Diese Überlegungen sind nach dem Gesagten auch für die Auslegung des Begriffs der berufsmässigen Vertretung gemäss Art. 10 Abs. 2 AnwG massgebend.
Bei diesen Beschwerdeverfahren handelt es sich offensichtlich nicht um Streitigkeiten über Schätzungen oder öffentliche Abgaben im Sinne von Art. 12 lit. d AnwG. Sie sind deshalb dem kantonalrechtlich festgelegten Monopolbereich zuzuordnen, weshalb eine berufsmässige Vertretung in diesen Beschwerdeverfahren nur durch eine registrierte Anwältin oder einen registrierten Anwalt möglich war.
a) A. bestreitet eine berufsmässige Vertretung. Er macht geltend, dass der Begriff der Berufsmässigkeit definitionsgemäss und auch bei einer ökonomischen Analyse des Rechts eine Erwerbsabsicht voraussetze, die er für sich (sinngemäss) verneint. In den Beschwerdeverfahren, die er geführt habe, sei es um "wesentliche Grund- und Menschenrechtsverletzungen [...] von Personen ohne schweizerische Staatsangehörigkeit und grösstenteils um Kinder i.S. der UNO-Kinderrechtskonvention" gegangen. Seine "staatsbürgerlich motivierte, grossmehrheitlich unentgeltliche Vertretungsarbeit" könne "als ein Altershobby von mir (geb. […]) zur Stützung des Rechtsstaats im materiellen Sinne" angesehen werden. Die Beschwerdeführer habe er mehrheitlich schon zuvor im Asylverfahren vertreten. Er habe allerdings nie eine aktive Mandatsakquisition betrieben. Die Beschwerdeführer seien ihm teilweise von überlasteten Rechtsanwälten bzw. der B. [Organisation] zugewiesen worden. Durch seine zum Teil mehrjährige uneigennützige Vertretungstätigkeit habe sich ein grosses Vertrauensverhältnis zu den vertretenen Personen ergeben.
b) Soweit A. die Auffassung vertritt, dass der Begriff der Berufsmässigkeit zwingend eine Erwerbsabsicht bzw. Entgeltlichkeit der Tätigkeit voraussetze, widerspricht dies der erwähnten bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vorne E. III.1.c). Dass Entgeltlichkeit nicht erforderlich ist, ergibt sich im Übrigen bereits aus dem Wortlaut von Art. 10 Abs. 2 AnwG. Sie begründet – als einer der möglichen Anwendungsfälle – zwar die Vermutung der Berufsmässigkeit. Diese kann aber durchaus auch bei einer unentgeltlichen, idealistischen Tätigkeit gegeben sein.
Aus den Stellungnahmen von A. ist klar zu schliessen, dass dieser bereit war, in einer unbestimmten Vielzahl von Fällen tätig zu werden. Dies ergibt sich schon aus der grossen Zahl von Beschwerdeführern, die er vertrat, bzw. Beschwerdeverfahren, die er führte. Er übernahm diese Vertretungen offensichtlich auch ohne besondere Beziehungsnähe zu den Vertretenen, also nicht beispielsweise aufgrund Verwandtschaft oder (vorbestandener) enger Freundschaft. Dass sich aufgrund seiner Tätigkeit als Vertreter – teilweise auch im bereits vorgängig geführten, nicht dem anwaltlichen Monopolbereich unterstehenden Asylverfahren – ein besonderes Vertrauensverhältnis zu den Vertretenen entwickelte, mag zutreffen. Es war jedoch nicht Ursache für die ursprüngliche Übernahme der Rechtsvertretung. A. spricht denn auch selbst von "Mandanten" bzw. "Klienten", die ihm von Dritten "zugewiesen" worden seien. Er will diese Vertretungen auch übernommen haben, weil die Vertretenen nicht in der Lage gewesen seien, einen Anwalt zu bezahlen, und auch keine Aussicht gehabt hätten, eine unentgeltliche Rechtsverbeiständung bewilligt zu erhalten. A. übernahm also einfach an Stelle eines Anwalts die entsprechenden Mandate. Soweit er für sich in Anspruch nimmt, über besondere Fachkenntnisse im Migrationsrecht, namentlich hinsichtlich der UNO-Kinderrechtskonvention, zu verfügen, ist festzuhalten, dass gerade dies nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts (vorne E. III.1.c) ebenfalls ein Kriterium für die Annahme der Berufsmässigkeit bildet.
Die Vertretungstätigkeit in den 21 Beschwerdeverfahren vor Verwaltungsgericht ist deshalb als berufsmässig im Sinne von Art. 10 Abs. 2 AnwG zu qualifizieren. Wieweit die Tätigkeit unentgeltlich war, nachdem A. immerhin eingeräumt hat, in Einzelfällen eine Entschädigung erhalten zu haben, kann damit offen bleiben.
a) Soweit A. sich für die Zulassung als Vertreter in den verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren auf die Wirtschaftsfreiheit gemäss Art. 27 und 94 Abs. 1 BV beruft, sind seine Vorbringen von vornherein nicht zu hören. Die Wirtschaftsfreiheit gewährleistet den freien Zugang zu einer Erwerbstätigkeit (BGE 130 I 26 E. 4.1). Sie schützt jede private wirtschaftliche Aktivität, die von Berufes wegen ausgeübt wird und darauf ausgerichtet ist, einen Gewinn oder ein Einkommen zu erzielen (BGE 134 I 214 E. 3 = Pr. 98 [2009] Nr. 2). Da A. eine Erwerbsabsicht explizit verneint, ist ihm auch die Berufung auf dieses Grundrecht verwehrt.
b) A. macht geltend, dass er nicht erkennen könne, weshalb die Qualität seiner "Vertretungsleistung" für die Führung der betreffenden Beschwerdeverfahren ungenügend sei. Er betont, dass die von ihm geführten Verfahren fast durchwegs der Wahrung von Kinderrechten gedient hätten, und sieht sich als ausgesprochenen Experten in diesem Thema, insbesondere der UNO-Kinderrechtskonvention. Er habe einen CAS-Studiengang der Fachhochschule Luzern für Soziale Arbeit zum Kinderverfahrensrecht absolviert. Demgegenüber seien entsprechende Kompetenzen in der st. gallischen Anwaltschaft kaum vorhanden.
Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben. Der Gesetzgeber geht jedenfalls davon aus, dass berufsmässige Parteivertreter im anwaltlichen Monopolbereich nicht nur ein juristisches Hochschulstudium mit einem Lizentiat oder Master abgeschlossen haben (Art. 7 Abs. 1 lit. a BGFA). Sie müssen überdies ein mindestens einjähriges Praktikum absolviert und sich anschliessend erfolgreich in einer Prüfung über ihre theoretischen und praktischen Kenntnisse ausgewiesen haben (Art. 7 Abs. 1 lit. b BGFA). Der Prüfungsstoff umfasst alle wesentlichen Rechtsgebiete, insbesondere auch die verschiedenen Verfahrensrechte (vgl. Art. 6 f. des Prüfungs- und Bewilligungsreglements für Rechtsanwälte und Rechtsagenten, sGS 963.73). Der Gesetzgeber geht bei Inhabern des Anwaltspatents davon aus, dass diese grundsätzlich in der Lage sind, Mandate in sämtlichen Rechtsgebieten zu führen. In der anwaltlichen Tätigkeit kommt es zwar immer wieder vor, dass ein Anwalt sich mit einem für ihn bisher unbekannten, allenfalls auch sehr komplexen Thema beschäftigen muss. Aufgrund seiner Ausbildung ist der Anwalt aber in der Lage, sich die entsprechenden Spezialkenntnisse anzueignen oder zumindest von dritter Seite zu beschaffen. Dies gilt ohne Weiteres auch für die angesprochenen Individualrechte von Kindern.
Demgegenüber verfügt A. offenkundig nicht über die erforderlichen Fachausweise. Es ist nicht ersichtlich, wie eine Gerichtsbehörde prüfen könnte, ob er in der Lage ist, das ihm übertragene Mandat mit der nötigen Sachkunde zu führen. Dies gilt insbesondere auch im Hinblick auf das für die anwaltliche Tätigkeit oft bedeutende Verfahrensrecht.
c) A. beruft sich ausserdem auf das Verhältnismässigkeitsprinzip gemäss Art. 36 Abs. 3 BV. Ein Ausschluss als unentgeltlicher Rechtsvertreter müsse verhältnismässig sein, d.h. ein legitimes Ziel verfolgen und dürfe nicht über dieses hinausschiessen.
Bei der Zulassung zum Anwaltsberuf handelt es sich um eine wirtschaftspolizeiliche Bewilligung (BGE 130 II 87 E. 3). Die Voraussetzungen für die Erteilung der Bewilligung sind im Gesetz (BGFA, AnwG) umfassend und abschliessend umschrieben. Ein Spielraum für die Rechtsanwendung besteht jedenfalls hinsichtlich der fachlichen Anforderungen (Art. 7 Abs. 1 BGFA) nicht. Diese Anforderungen dienen insbesondere dem Schutz des rechtsuchenden Publikums und erscheinen in der gesetzlichen Konzeption keineswegs unverhältnismässig, sondern im Gegenteil notwendig und sachgerecht. A. erfüllt die gesetzlichen Anforderungen für die Zulassung zum Anwaltsberuf offenkundig nicht. Die Erteilung einer Ausnahmebewilligung würde eine ausdrückliche gesetzliche Grundlage voraussetzen (Häfelin/Müller/Uhlmann, Allgemeines Verwaltungsrecht, 6. A., Rz. 2539). Eine solche besteht für die Zulassung zum Anwaltsberuf nicht. Dies erscheint auch im Hinblick auf die Rechtsanwendung im Einzelfall keineswegs unverhältnismässig, denn für die – notabene berufsmässige – Rechtsvertretung im Monopolbereich sind die erwähnten fachlichen Anforderungen unverzichtbar.
d) A. macht ferner geltend, dass es den von ihm vertretenen Personen ohne seine unentgeltliche Tätigkeit nicht möglich gewesen wäre, den Rechtsweg zu beschreiten. Zum einen hätten sie nicht über die finanziellen Mittel verfügt, um eine anwaltliche Vertretung zu bezahlen. Aber auch eine unentgeltliche Prozessführung sei nicht möglich gewesen, da konsultierte Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte die Erfolgsaussichten als schlecht beurteilen würden.
Nach Art. 29 Abs. 3 BV hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Aufgrund dieser verfassungsmässigen Garantien hätten auch die von A. vertretenen Beschwerdeführer einen unentgeltlichen Rechtsbeistand erhalten können, wenn ihre Begehren eine gewisse Aussicht auf Erfolg versprochen hätten. Soweit die Begehren von angefragten Anwältinnen oder Anwälten aber als wenig aussichtsreich beurteilt worden sind, haben diese eine Mandatsübernahme zu Recht abgelehnt, denn es ist mit den anwaltlichen Berufspflichten in der Regel nicht vereinbar, aussichtslose Prozesse zu führen (vgl. Entscheid der Anwaltskammer vom 29. April 2014, AW.2013.82, E. II.3.e, publiziert auf www.gerichte.sg.ch). Die Konsequenz in dieser Situation kann nun nicht darin bestehen, dass fachlich nicht qualifizierte Rechtsvertreter für die Führung solcher aussichtsloser Prozesse zugelassen werden müssen.
Zusammenfassend ergibt sich somit, dass A. ohne Berechtigung im anwaltlichen Monopolbereich tätig war und damit gegen Art. 37 i.V.m. Art. 10 AnwG verstossen hat.
Art. 37 AnwG sieht als mögliche Sanktionen die Ausfällung einer Verwarnung, eines Verweises, einer Busse bis Fr. 20'000.–, die Androhung einer Ungehorsamsstrafe nach Art. 292 StGB und Strafanzeige vor. Die Sanktion richtet sich im Einzelfall insbesondere nach der objektiven Schwere des Verstosses und dem Verschulden.
Vorliegend ist zu berücksichtigen, dass A. nicht nur einige wenige, sondern insgesamt 21 Beschwerdeverfahren ohne Berechtigung geführt hat. Er hat davon auch nicht Abstand genommen, nachdem er vom Verwaltungsgerichtspräsidenten auf die Unzulässigkeit solcher Vertretungen hingewiesen worden war, sondern hat sogar noch zwei weitere Beschwerden eingereicht. Andererseits ist zu berücksichtigen, dass er die Mandate unentgeltlich und aus einer idealistischen Motivation heraus führte. Auch wurde gegen ihn bisher noch nie eine Massnahme wegen unberechtigter Berufsausübung im Monopolbereich ausgesprochen (in zwei früheren Verfahren, AW.2006.[…] und AW.2010.[…], war Anzeigen wegen Vertretungen in Einzelfällen nicht Folge geleistet worden). Insgesamt rechtfertigt es sich, eine Busse von Fr. 800.– auszusprechen.
b) Nach Art. 39 Abs. 1 AnwG veröffentlicht die Anwaltskammer eine Mitteilung über eine Disziplinarmassnahme oder eine Massnahme gegen Dritte im kantonalen Amtsblatt, wenn ein überwiegendes öffentliches Interesse es erfordert. Eine solche Mitteilung erscheint im vorliegenden Fall nicht erforderlich; sie hätte auch eine unnötige Prangerwirkung.
Allerdings ist aus den Eingaben von A. zu schliessen, dass er möglicherweise auch noch vor anderen Behörden Verfahren im Monopolbereich führt. Es kann offen bleiben, ob in diesen Fällen ebenfalls eine unzulässige berufsmässige Vertretung vorlag. Damit die genannten Behörden bei allfälligen künftigen Vertretungen durch A. die Frage einer berufsmässigen Tätigkeit überprüfen können, ist ihnen aber der vorliegende Entscheid nach Eintritt der Rechtskraft ebenfalls mitzuteilen (Art. 39 Abs. 1 AnwG, a maiore ad minus). Beizufügen ist, dass die Frage der Zulassung einer Rechtsvertretung im Einzelfall von der mit dem betreffenden Verfahren befassten Behörde und nicht von der Anwaltskammer zu prüfen ist.
[9. Kosten]
Bemerkung: Gegen diesen Entscheid ist eine Beschwerde beim Verwaltungsgericht hängig (B 2015/306).