Aus den Erwägungen:
I. 1. Am 11. Dezember 2013 teilte die Staatsanwaltschaft, Untersuchungsamt X., der Anwaltskammer in Anwendung von Art. 15 Abs. 1 BGFA eine mögliche Berufsregelverletzung durch Rechtsanwalt Z. mit. Zur Begründung legte die Staatsanwaltschaft im Wesentlichen dar, dass sie ein Strafverfahren gegen Y. wegen des Verdachts der qualifiziert groben Verkehrsregelverletzung führe. In diesem Verfahren habe Rechtsanwalt Z. am 17. Juli 2013 um Einsetzung als amtlicher Verteidiger ersucht; diesem Gesuch sei am 17. Oktober 2013 mit Wirkung ab 16. Juli 2013 stattgegeben worden. Im Rahmen des Strafverfahrens seien die finanziellen Verhältnisse von Y. abgeklärt und dabei Auskünfte bei dessen Treuhänder eingeholt worden. Dabei sei bei den offenen Schulden aufgefallen, dass zwei Mal Rechtsanwalt Z. aufgeführt werde. Unter dem Datum 4. September 2013 sei ein Gesamtbetrag von Fr. 500.– und unter dem Datum 15. Oktober 2013 stehe ein Gesamtbetrag von Fr. 1'500.–. In der durch den Treuhänder eingereichten Kontoübersicht der Bank A. über den Zeitraum 16. Juli 2013 bis 5. Dezember 2013 seien mehrfach Zahlungen zu Gunsten von Rechtsanwalt Z. aufgeführt; so am 2. August 2013 Fr. 550.–, am 26. August 2013 Fr. 200.– und am 26. September 2013 Fr. 250.–. Gemäss Art. 11bis HonO dürfe der amtliche Verteidiger von seinem Mandanten kein zusätzliches Honorar fordern.
[2.-4. Prozessgeschichte]
II.1. Rechtsanwalt Z. bringt vor, die Staatsanwaltschaft habe die Treuhandfirma nicht auf das Zeugnisverweigerungsrecht aufmerksam gemacht; die durch die Editionsverfügung erlangten Kenntnisse seien daher unverwertbar. Die in der Strafprozessordnung statuierten Beweisverwertungsregeln und -verbote dienen dem Schutz individueller Rechtspositionen der von Strafverfolgungsbehörden betroffenen Personen. Die beschuldigte Person soll zudem nicht geltend machen können, aufgrund von Unrecht beurteilt worden zu sein (BSK StPO - Gless, Art. 139 N 25 f.). Die strafprozessualen Beweisverbote dienen hingegen nicht einem (amtlichen) Verteidiger persönlich, noch weniger finden sie in einem anwaltlichen Disziplinarverfahren Anwendung. Der Verteidiger kann sich im Rahmen eines gegen ihn persönlich geführten anwaltlichen Disziplinarverfahrens nicht auf die zum Schutze der beschuldigten Person aufgestellten strafrechtlichen Beweisverwertungsvorschriften berufen. Dies insbesondere auch deshalb nicht, weil sich die zu untersuchende Berufsregelverletzung (Honorarforderung an die beschuldigte Person trotz amtlicher Verteidigung) zu Lasten der beschuldigten Person auswirken bzw. das Disziplinarverfahren letztlich (auch) der beschuldigten Person dienen würde.
Damit braucht an der vorliegenden Stelle nicht weiter geklärt zu werden, ob überhaupt ein Verwertungsverbot vorliegt. Immerhin ist jedoch darauf hinzuweisen, dass der Beschuldigte selbst die Staatsanwältin anwies, hinsichtlich seiner finanziellen Verhältnisse Informationen bei der Treuhandfirma einzuholen.
Dem unentgeltlichen Rechtsvertreter und amtlichen Verteidiger ist es nicht gestattet, zusätzlich zur Entschädigung aus der Staatskasse vom Klienten ein Honorar zu fordern bzw. sich von der verbeiständeten Partei entschädigen zu lassen (BGer 2A.196/2005 E. 2.3 m.w.H.; BGE 122 I 322 E. 3.b; ZR 105 [2006] Nr. 14; Beschluss KG080003 des Obergerichts Zürich vom 6. November 2008, E. 16, publiziert in: plädoyer 1/2009, S. 78 f.; Fellmann, in: Fellmann/Zindel, a.a.O., Art. 12 N 149-149a). Eine Widerhandlung gegen dieses "Verbot" stellt einen Verstoss gegen Art. 12 lit. a BGFA dar (vgl. ZR 105 [2006] Nr. 14; Beschluss KG080003 des Obergerichts Zürich vom 6. November 2008, E. 17, publiziert in: plädoyer 1/2009, S. 78 f.; a. A. Fellmann, er sieht es als Verletzung von Art. 12 lit. g BGFA an; in: Fellmann/Zindel, a.a.O., Art. 12 N 149b, N 35b). Gemäss dem Bundesgericht stellt in solchen Konstellationen bereits die Einforderung von Kostenvorschüssen eine disziplinierungswürdige Standeswidrigkeit dar: Ist das Gesuch um (unentgeltliche) Verbeiständung für ein Scheidungsverfahren eingereicht, darüber aber noch nicht entschieden worden, darf der Anwalt von seiner Klientschaft keine Kostenvorschüsse einfordern (vgl. BGer 2A.196/2005 E. 2.3). Auch gemäss Fellmann darf ein Rechtsanwalt keine Kostenvorschüsse verlangen, wenn der Klient mittellos ist und deshalb einen Anspruch auf unentgeltliche Prozessführung und Rechtsvertretung hat (Fellmann, in: Fellmann/Zindel, a.a.O., Art. 12 N 167 m.w.H.). Geleistete Kostenvorschüsse sind gegenüber den Behörden bzw. Gerichten offenzulegen, da damit zu rechnen ist, dass eine allfällige Entschädigung aus der Staatskasse entsprechend reduziert wird (vgl. BGer 2A.196/2005 E. 2.1; Fellmann, in: Fellmann/Zindel, a.a.O., Art. 12 N 149a).
Keine Verletzung von Berufsregeln kann nur dann angenommen werden, wenn dem Klienten diejenigen Bemühungen in Rechnung gestellt werden, die vor der Stellung eines Gesuchs entstanden sind und bevor ein Rechtsanwalt als unentgeltlicher Rechtsvertreter in Aussicht genommen wurde (Beschluss KG080003 des Obergerichts Zürich vom 6. November 2008, E. 18, publiziert in: plädoyer 1/2009, S. 78 f.). Kein Verstoss gegen das Verbot, dem Klienten zusätzliche Bemühungen in Rechnung zu stellen, liegt zudem vor, wenn der Anwalt dem Klienten diejenigen Bemühungen in Rechnung stellt, welche das Gericht bei der Festsetzung der Entschädigung nicht berücksichtigt hat. In Betracht fallen namentlich prozessfremde Bemühungen (ZR 105 [2006] Nr. 14; Beschluss KG080003 des Obergerichts Zürich vom 6. November 2008, E. 18, publiziert in: plädoyer 1/2009, S. 78 f.; Fellmann, in: Fellmann/Zindel, a.a.O., Art. 12 N 149c).
3.a) Soweit Rechtsanwalt Z. für das Mandat betreffend Beratung in Sachen Leasing einen Kostenvorschuss eingefordert (Fr. 500.–) bzw. entgegen genommen (Fr. 250.–) hat, so betrifft dies sowohl eine vom Strafverfahren prozessfremde Bemühung als auch ein Mandat, für welches weder eine unentgeltliche Prozessführung beantragt noch bewilligt worden wäre. Die Einforderung bzw. Entgegennahme des entsprechenden Kostenvorschusses ist daher nicht zu beanstanden.
b) Rechtsanwalt Z. klärte seinen Mandanten über die Aussichtslosigkeit des Beschwerdeverfahrens und der amtlichen Verteidigung in diesem Verfahren auf. Da der Mandant dennoch eine Beschwerdeeinreichung wünschte, reichte Rechtsanwalt Z. am 26. Juli 2013 bei der Anklagekammer eine Beschwerde zusammen mit einem Gesuch um amtliche Verteidigung ein. Am 27. Juli 2013 verlangte er von seinem Mandanten einen Kostenvorschuss von Fr. 750.–. Rechtsanwalt Z. teilte seinem Mandanten zudem mit, dass er den Kostenvorschuss zurückzahlen werde, wenn das Gesuch um amtliche Verteidigung im Beschwerdeverfahren vor der Anklagekammer bewilligt würde. Der Mandant überwies am 2. August 2013 Fr. 550.– und am 26. August 2013 Fr. 200.–. Für die anschliessende Beschwerdeeinreichung beim Bundesgericht klärte Rechtsanwalt Z. seinen Mandanten erneut über die Aussichtslosigkeit der Beschwerde auf und forderte am 15. Oktober 2013 einen weiteren Kostenvorschuss von Fr. 1'500.–.
c) Die Einforderung eines Kostenvorschusses nach der Stellung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege bzw. -verbeiständung stellt nach der klaren bundesgerichtlichen Rechtsprechung eine Verletzung der Berufsregeln dar. Rechtsanwalt Z. hat damit gegen Art. 12 lit. a BGFA verstossen, indem er am 26. Juli 2013 bei der Anklagekammer ein Gesuch um amtliche Verteidigung stellte und am 27. Juli 2013 von seinem Mandanten einen Kostenvorschuss von Fr. 750.– einverlangte. Unerheblich ist, ob über das Gesuch um amtliche Verteidigung zum Zeitpunkt der Einforderung des Kostenvorschusses bereits entschieden worden ist; nach der Stellung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege stellt die Einforderung eines Kostenvorschusses eine Verletzung der Berufsregeln dar. Entweder ist ein Klient mittellos und es ist deshalb ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu stellen, oder aber er ist nicht mittellos und in der Lage, Kostenvorschüsse zu bezahlen.
Entgegen der Auffassung von Rechtsanwalt Z. ist es nicht zulässig, ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu stellen und vom Mandanten zusätzlich einen "bedingten Kostenvorschuss" zu verlangen, der im Falle der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zurückgezahlt wird. Eine solche Rechtsauffassung kann auch nicht aus dem von Rechtsanwalt Z. zitierten Beschluss der Aufsichtskommission Zürich vom 6. November 2008 abgeleitet werden. An der klaren bundesgerichtlichen Rechtsprechung vermag auch die zitierte Auffassung von Stefan Meichssner (Aktuelle Praxis zur unentgeltlichen Rechtspflege, in: Jusletter 7. Dezember 2009, FN 125) nichts zu ändern. Die durch den Mandanten (jedoch vor der Einreichung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege) geleisteten Kostenvorschüsse wären – entgegen der Auffassung von Rechtsanwalt Z. – auch nicht an diesen zurückzuerstatten, sondern dem Gericht offen zu legen, damit eine allfällige staatliche Entschädigung entsprechend reduziert werden kann. An der Pflicht zur Offenlegung von Kostenvorschüssen vermag der Umstand, dass im Formular der Staatsanwaltschaft zu den finanziellen Verhältnissen der beschuldigten Person keine entsprechende Rubrik aufgeführt wird, nichts zu ändern. Wird (insb. bei der Einleitung eines Strafverfahrens) ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bzw. amtliche Verteidigung gestellt, sind in der Regel zuvor keine Kostenvorschüsse verlangt oder bezahlt worden und dürfen solche – gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. oben E. II.2.a) – auch nicht anschliessend an die Gesucheinreichung verlangt werden. Damit besteht auch keine Notwendigkeit für die Aufnahme einer entsprechenden Rubrik in das genannte Formular. Auch der Umstand, dass im Gegensatz dazu das Formular "Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege" eine Rubrik "Kostenvorschüsse" aufweist, vermag daran nichts zu ändern. Vielmehr zeigt dieses Formular, welches Rechtsanwalt Z. bekannt ist, klar auf, dass geleistete Kostenvorschüsse gegenüber den Behörden für den Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege grundsätzlich und immer offenzulegen sind. Rechtsanwalt Z. hat die von ihm geforderten Kostenvorschüsse, welche von seinem Mandanten auch geleistet wurden, der Beschwerdeinstanz offenbar nicht offengelegt, vielmehr wollte er diese seinem Mandanten im Falle der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege zurückerstatten. Damit hat er die Behörden über die Leistungsfähigkeit seines als mittellos bezeichneten Mandanten getäuscht.
Rechtsanwalt Z. hat, indem er – trotz dem am 26. Juli 2013 gegenüber der Beschwerdeinstanz gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung – am 27. Juli 2013 von seinem Mandanten zusätzlich Kostenvorschüsse verlangte sowie entgegennahm und diese Kostenvorschüsse der Beschwerdeinstanz nicht offenlegte, gegen Art. 12 lit. a BGFA verstossen. Ebenfalls einen Verstoss gegen Art. 12 lit. a BGFA stellt die nachfolgende Einforderung eines Kostenvorschusses für das Verfahren vor dem Bundesgericht dar, obwohl auch in diesem Verfahren ein Gesuch um amtliche Verteidigung gestellt worden war.
d) Zusammenfassend ist festzuhalten, dass Rechtsanwalt Z. durch die Einforderung und Entgegennahme von Kostenvorschüssen im Rahmen von strafrechtlichen Beschwerdeverfahren, in welchen das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt worden war, und deren Nichtoffenlegung gegenüber den Gerichtsinstanzen die Berufsregel der sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung nach Art. 12 lit. a BGFA mehrfach verletzt hat.
e) Abschliessend und der Vollständigkeit halber sei darauf hingewiesen, dass – entgegen der Auffassung von Rechtsanwalt Z. – dem Ansehen des Anwaltsstandes durch eine Nichtübernahme einer umfassenden (auch psychologischen und persönlichen) Betreuung eines Klienten nicht geschadet wird; vielmehr erscheint es für einen Anwalt geboten, auf die Führung von aussichtslosen Prozessen zu verzichten (vgl. VZR, Handbuch über die Berufspflichten des Rechtsanwalts im Kanton Zürich, Zürich 1988, S. 73). Rechtsanwalt Z. hat bei der Anklagekammer (wie auch beim Bundesgericht) Beschwerde eingereicht, obwohl er selber davon spricht, seinen Mandanten über die hohen Verlustgefahren aufgeklärt zu haben. Er habe seinen Mandanten darauf hingewiesen, dass die Gewinnaussichten beträchtlich geringer seien als die Verlustgefahren und "die Anklagekammer voraussichtlich das Gesuch um amtliche Verteidigung mit der Begründung abweisen werde, die Beschwerde sei aussichtslos." Sein Mandant habe trotzdem die Einreichung einer Beschwerde um jeden Preis verlangt. Eine Führung von Prozessen um jeden Preis erscheint jedoch äusserst fragwürdig und liegt letztlich kaum im Interesse des Anwaltsstandes wie auch des Mandanten selbst.
4.a) Die Verletzung von Berufsregeln ist nach Art. 17 BGFA mit Verwarnung, Verweis, Busse bis zu Fr. 20'000.– oder einem befristeten oder dauernden Berufsausübungsverbot zu ahnden. Bei der Wahl und Bemessung der Sanktion ist dem verfassungsmässigen Grundsatz der Verhältnismässigkeit Rechnung zu tragen. Welche Massnahme verhältnismässig ist, entscheidet sich nach der Schwere des Verstosses, dem Mass des Verschuldens und dem anwaltlichen Leumund (Poledna, in: Fellmann/Zindel, a.a.O., Art. 17 N 23 ff.).
b) Der von Rechtsanwalt Z. begangene mehrfache Verstoss gegen Art. 12 lit. a BGFA ist erheblich. Durch die unentgeltliche Rechtspflege soll bedürftigen Personen der Zugang zur Gerichtsbarkeit sichergestellt werden. Wird gleichzeitig zu einem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege vom Mandanten ein Kostenvorschuss eingefordert bzw. geleistet und den Gerichten nicht offengelegt, so leistet der Staat Prozesskostenhilfen, auf die kein Anspruch bestehen würde oder zumindest nicht im vollen Umfang. Entweder wird ein effektiv mittelloser Mandant in eine Zwangslage gebracht, oder aber der Staat wird über die tatsächliche Leistungsfähigkeit der gesuchstellenden Person getäuscht. Zusätzlich besteht die Gefahr der Bereicherung eines Rechtsanwalts zu Lasten des Mandanten bzw. des Steuerzahlers, wenn jener die Kostenvorschüsse nicht offenlegt und sowohl den Vorschuss als auch die staatliche Leistung er- bzw. behält. Insgesamt wird mit einem solchen Vorgehen der Sinn und Zweck der unentgeltlichen Rechtspflege ausgehöhlt. Zudem schadet ein solches Geschäftsgebaren dem Vertrauen in den Anwaltsstand. Hinsichtlich des Verschuldens ist darauf hinzuweisen, dass Rechtsanwalt Z. das Formular "Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege" bekannt war und er dementsprechend um die Pflicht zur Offenlegung von Kostenvorschüssen hätte wissen müssen. Zudem besteht zur Frage der Zulässigkeit von Kostenvorschüssen nach Stellung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege eine klare bundesgerichtliche Rechtsprechung. Das Verschulden kann daher nicht mehr als leicht bezeichnet werden. Rechtsanwalt Z. ist jedoch zugute zu halten, dass er sich in seiner Stellungnahme für den Fall einer Berufsregelverletzung entschuldigte und in Aussicht stellte, ein entsprechendes Vorgehen künftig nicht mehr zu praktizieren, da er die Feststellungen der Anwaltskammer umsetze und respektiere. Der anwaltliche Leumund von Rechtsanwalt Z. ist ungetrübt.
c) Angesichts dieser Bemessungsgründe erscheint eine Busse von Fr. 1'000.– für die von Rechtsanwalt Z. begangenen Berufsregelverletzungen (Art. 12 lit. a BGFA; mehrfach) als angemessen.