Aus den Erwägungen:
II. 3.a) Die Polizei stellt im Ermittlungsverfahren auf der Grundlage von Anzeigen, Anweisungen der Staatsanwaltschaft oder eigenen Feststellungen den für eine Straftat relevanten Sachverhalt fest (Art. 306 Abs. 1 StPO). Ihre Feststellungen und die von ihr getroffenen Massnahmen hält die Polizei laufend in schriftlichen Berichten fest und übermittelt diese nach Abschluss ihrer Ermittlungen zusammen mit den Anzeigen, Protokollen, weiteren Akten sowie sichergestellten Gegenständen und Vermögenswerten umgehend der Staatsanwaltschaft (Art. 307 Abs. 3 StPO).
b) Gemäss Art. 307 Abs. 4 StPO kann die Polizei von der Berichterstattung an die Staatsanwaltschaft absehen, wenn zu weiteren Verfahrensschritten der Staatsanwaltschaft offensichtlich kein Anlass besteht (lit. a) und keine Zwangsmassnahmen oder andere formalisierte Ermittlungshandlungen durchgeführt worden sind (lit. b). Unter diese Bestimmung sind Sachverhalte zu subsumieren, bei denen feststeht, dass eine Orientierung der Staatsanwaltschaft lediglich zum Erlass einer Nichtanhandnahme (Art. 310 StPO) oder einer Sistierung (Art. 314 StPO) führen muss. Ist von Beginn an ersichtlich, dass dem infrage stehenden Sachverhalt offensichtlich keine strafrechtlich relevante Bedeutung zukommt (z.B. weil das Verhalten bloss zivilrechtliche Relevanz hat), braucht keine Meldung an die Staatsanwaltschaft zu erfolgen. Ebenso besteht keine Rapportierungspflicht, wenn sich der Anfangsverdacht im Laufe der polizeilichen Ermittlungen nicht bestätigt hat und keine formalisierten Ermittlungshandlungen gegen eine bestimmte Person vorgenommen wurden. Die Polizei braucht in diesen Fällen keine weiteren Erhebungen vorzunehmen und kann von einer Rapportierung an die Staatsanwaltschaft absehen, wenn der Deliktsverdacht durch die Ermittlungen eindeutig entkräftet ist. Auch bei einem Verzicht auf die Berichterstattung an die Staatsanwaltschaft hat die Polizei jedoch die entsprechenden Vorgänge hinreichend zu dokumentieren (Landshut/Bosshard in: Donatsch/Hansjakob/Lieber, StPO Komm., Art. 307 N 39, 40 f.; Schmid, StPO Praxiskommentar, Art. 307 N 8 f.; BSK StPO – Rüegger, Art. 307 N 14).
4. Das Kommando der Kantonspolizei St. Gallen legt in seiner Stellungnahme dar, der Beschwerdeführer sei nach Eingang der Strafanzeige am 25. Januar 2016 von einem polizeilichen Sachbearbeiter telefonisch kontaktiert worden. Dabei sei ein Besprechungstermin auf den folgenden Tag vereinbart worden und der Beschwerdeführer habe die Aufforderung erhalten, zu diesem Termin alle im Zusammenhang mit der Strafanzeige relevanten Unterlagen mitzunehmen. Am 26. Januar 2016 habe der Beschwerdeführer den Besprechungstermin sodann kurzfristig per Telefon abgesagt und mitgeteilt, dass er nur bei der Polizei erscheinen würde, wenn er dazu schriftlich vorgeladen werde. Diesem Anliegen sei nicht entsprochen worden, weshalb das Telefongespräch ohne Einigung beendet worden sei. Nach Eingang der "Mahnung" vom 29. Februar 2016 habe der polizeiliche Sachbearbeiter am 3. März 2016 wiederum telefonischen Kontakt mit dem Beschwerdeführer aufgenommen. Da der Beschwerdeführer weiterhin beharrlich auf eine schriftliche Vorladung durch die Polizei bestanden habe, sei das Gespräch wieder ohne Einigung beendet worden. Im Anschluss an dieses Gespräch habe der polizeiliche Sachbearbeiter weitere Abklärungen bei diversen Amtsstellen durchgeführt, wobei unter anderem die Vaterschaft des Beschwerdeführers habe bestätigt werden können. Weiter habe in Erfahrung gebracht werden können, dass die Kindsmutter in Deutschland gerichtliche Massnahmen gegen den Beschwerdeführer erwirkt habe. Am 4. März 2016 habe sodann die Kindsmutter (X.) am Telefon angegeben, dass das gemeinsame Sorgerecht beim Amtsgericht [Ort] per 18. August 2015 in ein alleiniges Sorgerecht zu ihren Gunsten umgewandelt worden sei und dem polizeilichen Sachbearbeiter per E-Mail zwei Gerichtsbeschlüsse des Amtsgerichts [Ort] zugestellt. Gestützt auf diese Erkenntnisse sei davon ausgegangen worden, dass keine Kindesentführung vorliege.
5. Vorliegend erstattete der Beschwerdeführer bei der Polizei Strafanzeige. Als Anzeiger oblag es dabei ihm, einen sachlich, örtlich, zeitlich und inhaltlich hinreichend substantiierten Sachverhalt vorzutragen und diesen, soweit möglich, zu belegen (vgl. GVP 2012 Nr. 68 und BGer. 1B_316/2012 E. 2.2.3). Diesen Anforderungen an eine hinreichende Substantiierung genügte die Strafanzeige vom 25. Januar 2016 offensichtlich nicht. Vielmehr ging daraus lediglich hervor, dass der Beschwerdeführer bereits seit über einem Jahr keinen persönlichen Kontakt mehr mit seinem – bei der Mutter in Deutschland lebenden – Sohn gehabt haben soll. Die Schilderung in der Anzeige deutete damit von Beginn weg auf eine besuchs- bzw. kontaktrechtliche, d.h. rein zivilrechtliche, Streitigkeit zwischen den Eltern des Kindes hin. Dieser Eindruck verstärkte sich in der Folge durch die gemäss Stellungnahme des Kommandos der Kantonspolizei erfolgte Kontaktaufnahme mit der Kindsmutter und der von dieser offenbar zugestellten deutschen Gerichtsbeschlüsse. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer die (unbestrittenermassen) von der Polizei vorgenommenen Bemühungen zur Klärung der Sachverhalts selbst vereitelte, indem er die vereinbarten bzw. vorgeschlagenen Besprechungstermine ohne nachvollziehbare Gründe nicht wahrnahm und auch keine zusätzlichen Unterlagen einreichte. Somit hat nicht die Polizei, sondern allein der Beschwerdeführer selbst zu verantworten, dass seine Strafanzeige weitgehend unsubstantiiert blieb. Entsprechend durfte die Kantonspolizei St. Gallen in dieser Situation i.S.v. Art. 307 Abs. 4 StPO von einer Berichterstattung an die Staatsanwaltschaft absehen, zumal angesichts des angezeigten Sachverhalts und der Aktenlage offensichtlich nur der Erlass einer Nichtanhandnahmeverfügung infrage gekommen wäre und weder Zwangsmassnahmen noch andere formalisierte Ermittlungshandlungen durchgeführt worden waren. Mit Blick auf die fehlende Einreichung entsprechender Akten durch das Kommando der Kantonspolizei St. Gallen bleibt jedoch darauf hinzuweisen, dass auch polizeiliche Vorgänge, die zu keiner Berichterstattung an die Staatsanwaltschaft geführt haben, hinreichend zu dokumentieren sind, damit auch solche Vorgänge im Bedarfsfall durchgehend belegt werden können.
6. Insgesamt ergibt sich, dass vorliegend der Verzicht auf eine Rapportierung an die Staatsanwaltschaft unter den gegebenen Umständen rechtmässig war und im Vorgehen der Kantonspolizei St. Gallen somit keine Rechtsverweigerung oder Rechtsverzögerung erkannt werden kann. Die Beschwerde ist demzufolge abzuweisen.