Aus den Erwägungen:
II.1. Die Beschwerdeinstanz entscheidet ohne weiteres Beweisverfahren über Ausstandsbegehren, die gegen ein Mitglied eines erstinstanzlichen Gerichts, der Übertretungsstrafbehörde oder der Staatsanwaltschaft gestellt werden (Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO). Gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung hat die Beschwerdeinstanz auch Ausstandsgesuche gegen Sachverständige in analoger Anwendung von Art. 59 Abs. 1 lit. b StPO als erste Instanz zu beurteilen (BGer. 1B_488/2011 E. 1.1; 1B_196/2016 E. 2). Die Anklagekammer ist daher zur Beurteilung des vorliegenden Gesuchs zuständig. […]
[…]
3.a) Für Sachverständige gelten die Ausstandsgründe nach Art. 56 lit. a-f StPO (Art. 183 Abs. 3 StPO). Gemäss lit. f tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen befangen sein könnte.
Das Erfordernis der Unabhängigkeit und Unparteilichkeit von Sachverständigen ergibt sich verfassungsrechtlich aus Art. 29 Abs. 1 BV und deckt sich inhaltlich mit dem aus Art. 30 Abs. 1 BV fliessenden Anspruch auf einen unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter. Voreingenommenheit bzw. Befangenheit werden bejaht, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Sachverständigen zu wecken. Solche Umstände können in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Sachverständigen oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein. Hierbei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen; das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit hat vielmehr in objektiver Weise begründet zu sein. Der Ausgang des Verfahrens muss aus Sicht aller Beteiligten als offen erscheinen. Für die Ablehnung wird nicht verlangt, dass der Sachverständige tatsächlich voreingenommen ist, es genügt, wenn die Gegebenheiten den Anschein der Befangenheit zu begründen vermögen (BGer. 1B_196/2016 E. 3.1 m.w.H.; ferner BSK StPO - Boog, Vor Art. 56-60 N 8; BGE 116 Ia 485 E. 2.b; BGE 116 Ia 32 E. 2.b; Pra 78 [1989] Nr. 263 E. 2.b).
b) Anhaltspunkte für eine Befangenheit der Gesuchsgegnerin liegen nicht vor. Aus dem Umstand, dass sowohl das Psychiatrische Zentrum P.____ als auch die Klinik T.____ Betriebsstätten der kantonalen Psychiatrischen Dienste – Sektor […] sind (vgl. Art. 1 Statut der Psychiatrieverbunde, sGS 320.50), kann weder eine Befangenheit noch auch nur der Anschein einer Befangenheit abgeleitet werden. Die (lediglich) theoretische Möglichkeit des Zugriffs auf das Informationssystem und damit auf weitere oder frühere Therapieunterlagen vermag keinen Ausstand zu begründen. Die Gesuchsgegnerin erhält die für die Begutachtung notwendigen Akten und Gegenstände von der Verfahrensleitung (Art. 184 Abs. 4 StPO). Dies ist auch vorliegend mit der Auftragserteilung geschehen. Überdies wird die Gesuchsgegnerin den Gesuchsteller selber explorieren, wozu dieser denn auch bereits eingeladen wurde. Auf zusätzliche ärztliche Akten oder Unterlagen kann die Gesuchsgegnerin nur greifen, wenn eine entsprechende Entbindungserklärung des Gesuchstellers vorliegen würde und die entsprechenden Ärzte auf das Zeugnisverweigerungsrecht aufmerksam gemacht wurden (vgl. Donatsch, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber, StPO Komm., Art. 185 N 36). Darauf wurde die Gesuchsgegnerin bei Auftragserteilung ausdrücklich aufmerksam gemacht, sie ist sich dieser Problematik denn auch durchaus bewusst. Allfällige eigene Erhebungen müssten sodann unter Angabe der entsprechenden Vorkehren sowie der Quellen denn auch umfassend dokumentiert werden (vgl. BSK StPO – Heer, Art. 185 N 31). Dass in der vorliegenden Organisation der […] bzw. im gemeinsamen Informationssystem kein genereller Ausstandsgrund erblickt werden kann, muss umso mehr gelten, wenn selbst der Umstand, dass ein Sachverständiger für dieselbe Anstalt arbeitet wie ein Kollege, dessen Gutachten die Grundlage der Anklage bildet, nicht zur Annahme berechtigt, der betreffende Sachverständige sei deshalb unfähig, mit der notwendigen Objektivität zu handeln (vgl. Donatsch, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber, StPO Komm., Art. 183 N 17). Eine (unter Ausstandsgesichtspunkten problematische) frühere Behandlung durch die Gesuchsgegnerin selbst liegt (unbestrittenermassen) gerade nicht vor (vgl. dazu BSK StPO – Heer, Art. 183 N 39; Donatsch, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber, StPO Komm., Art. 183 N 14). Unerheblich ist vorliegend schliesslich der Umstand, dass M._____ in der Klinik T.____ behandelt worden war; sie wird [ausserkantonal] durch Dr. med. X._____ begutachtet.
Insgesamt sind vorliegend keine Umstände ersichtlich oder dargetan, die bezüglich der Gesuchsgegnerin eine Befangenheit bzw. einen Anschein dazu zu begründen vermöchten. Insbesondere reicht dafür die bloss theoretische Möglichkeit, allenfalls (unrechtmässig) auf zusätzliche ärztliche Unterlagen greifen zu können, nicht aus.
c) Das Ausstandsgesuch gegen Dr. med. Z._____ ist daher abzuweisen.