Aus den Erwägungen:
II. 2. Art. 130 StPO bestimmt, unter welchen Voraussetzungen ein Beschuldigter notwendig verteidigt sein muss. Gemäss Art. 132 Abs. 1 lit. a Ziff. 1 StPO ordnet die Verfahrensleitung die amtliche Verteidigung an, falls die beschuldigte Person trotz Aufforderung der Verfahrensleitung nicht selber eine Wahlverteidigung bestimmt, obschon ein Fall notwendiger Verteidigung vorliegt. Gleiches gilt, wenn der Wahlverteidigung das Mandat entzogen wurde oder sie es niedergelegt hat und die beschuldigte Person nicht innert Frist eine neue Wahlverteidigung bestimmt (Ziff. 2). Die Anordnung der amtlichen Verteidigung darf in diesen Konstellationen nicht vom Nachweis der finanziellen Bedürftigkeit des Beschuldigten abhängig gemacht werden. Die Verfahrensleitung hat bei der Einsetzung des amtlichen Verteidigers zudem die Wünsche der beschuldigten Person zu berücksichtigen, ohne dies von weiteren Voraussetzungen wie der Offenlegung der finanziellen Verhältnisse abhängig machen zu dürfen (BGE 139 IV 113, E. 4 und 5; BSK StPO – Niklaus Ruckstuhl, Art. 132 N 18b).
Diese gesetzliche Konzeption ist ohne weiteres sachgerecht. Einerseits schützt sie den Beschuldigten, in dem sie sicherstellt, dass tatsächlich verteidigt wird, wer notwendig verteidigt werden muss. Andererseits schützt sie aber auch die Verteidigung, könnte sich diese doch andernfalls – je nach Lage des Strafverfahrens – gezwungen sehen, von einem Beschuldigten allfällig deliktisch erlangtes Geld als Honorar entgegennehmen und sich damit selber dem Vorwurf der Geldwäscherei aussetzen zu müssen.
3. Eine Wahlverteidigung liegt nur dann vor, wenn zwischen Mandant und Rechtsanwalt ein privatrechtliches Auftragsverhältnis im Sinne von Art. 394 ff. OR zu Stande gekommen ist. Ein solches setzt den Austausch übereinstimmender Willenserklärungen zwischen den Parteien voraus (Art. 1 Abs. 1 OR). Aus den mehrfachen und beständigen Äusserungen von Rechtsanwalt B.___, wonach er im Strafverfahren nicht zum Wahlverteidiger bestellt worden sei, ist zu schliessen, dass zwischen ihm und dem Beschwerdeführer kein solches privatrechtliches Auftragsverhältnis und damit keine Wahlverteidigung besteht.
4. Da eine Verteidigung vorliegend unbestrittenermassen notwendig ist, der Beschwerdeführer aber keine solche bestellt hat, ist seine amtliche Verteidigung anzuordnen. Der Beschwerdeführer hat hierfür (entgegen der Ansicht der Vorinstanz einzig) von seinem Vorschlagsrecht gemäss Art. 133 Abs. 2 StPO Gebrauch gemacht und um die Ernennung von Rechtsanwalt B.___ ersucht. Die Anklagekammer setzt deshalb – im Sinne eines reformatorischen Entscheids (Art. 397 Abs. 2 StPO) – jenen antragsgemäss und rückwirkend ab 21. September 2016 als amtlichen Verteidiger ein.
5. Es bleibt darauf hinzuweisen, dass am Ende des Strafverfahrens über die Entschädigung des amtlichen Verteidigers zu entscheiden sein wird und der Beschwerdeführer – sollte er zur Tragung der Verfahrenskosten verurteilt werden – dem Kanton jene zurückzahlen muss (Art. 135 Abs. 2 und 4 StPO, BGE 139 IV 113 E. 5.1). Lebt der Beschwerdeführer tatsächlich in guten finanziellen Verhältnissen, wie die Vorinstanz vorbringt, bleibt das finanzielle Risiko des Staates daher selbst bei Anordnung der amtlichen Verteidigung gering.