Aus den Erwägungen:
II. 2. Die Verfahrensleitung gewährt der Privatklägerschaft für die Durchsetzung ihrer Zivilansprüche ganz oder teilweise die unentgeltliche Rechtspflege, wenn die Privatklägerschaft nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und die Zivilklage nicht aussichtslos ist (Art. 136 Abs. 1 StPO). Die unentgeltliche Rechtspflege umfasst die Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen, die Befreiung von den Verfahrenskosten und die Bestellung eines Rechtsbeistands, wenn dies zur Wahrung der Rechte der Privatklägerschaft notwendig ist (Art. 136 Abs. 2 StPO).
2.1. Die unentgeltliche Rechtspflege wird gemäss Art. 136 StPO allein im Hinblick auf die Durchsetzung von Zivilansprüchen gewährt. Die Verfolgung des Strafanspruchs ist grundsätzlich Sache des Staates und schliesst daher einen Anspruch der Privatklägerschaft auf unentgeltliche Rechtspflege aus. Für den Fall, dass sich die Privatklägerschaft ausschliesslich im Strafpunkt beteiligt, besteht kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Erhebt die Privatklägerschaft Zivilklage, kann der Rechtsbeistand auch für Tätigkeiten im Strafpunkt bestellt und entschädigt werden (Viktor Lieber, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber, StPO Kommentar, Art. 136 N 2; BSK StPO – Goran Mazzucchelli/Mario Postizzi, Art. 136 N 4).
2.2. Besonders können die Verhältnisse dann liegen, wenn sich ein Anzeiger in einem Strafverfahren gegen Beamte als Privatkläger konstituieren will. Beamte werden in vielen Kantonen durch kantonale Verantwortlichkeitsgesetzte vor direkten Haftungsansprüchen geschützt. Die Geschädigten können dann für ihre finanziellen Forderungen lediglich den Staat, nicht aber den schädigenden Beamten ins Recht fassen, wobei diese Schadenersatzforderungen öffentlich-rechtlicher Natur sind. Auch der Kanton St. Gallen kennt eine entsprechende Regelung (vgl. Art. 1 VG), die im Ergebnis bewirkt, dass der Anzeiger über keine Zivilansprüche verfügt und deshalb im Strafverfahren auch nicht als Zivilkläger auftreten kann. Damit entfällt aber ein auf Art. 136 StPO gestützter Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht entschied indessen in einem Urteil vom 12. Oktober 2012 (BGer. 1B_355/2012 = Pra 102 [2013] Nr. 1), dass gemäss Art. 10 Abs. 3 BV, Art. 3 und 13 EMRK, Art. 7 UNO-Pakt II sowie Art. 13 des UN-Übereinkommens gegen Folter und andere grausame, unmenschliche oder erniedrigende Behandlung oder Strafe ein Anspruch auf wirksamen Rechtsschutz und vertiefte amtliche Untersuchung besteht, sofern der Betroffene in vertretbarer Weise behauptet, durch Beamte in derartiger Weise unzulässig behandelt worden zu sein. In solchen Ausnahmefällen ist daher gemäss Bundesgericht die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege direkt gestützt auf Art. 29 Abs. 3 BV möglich; dem stehe auch Art. 136 StPO nicht entgegen (BGer. 1B_355/2012, E. 1.2 und 5; Viktor Lieber, in: Donatsch/Hansjakob/Lieber, StPO Kommentar, Art. 136 N 2; BSK StPO – Goran Mazzucchelli/Mario Postizzi, Art. 136 N 4 und 4a). Wenngleich sich die genannte bundesgerichtliche Rechtsprechung unmittelbar auf die unentgeltliche Rechtspflege in einem Beschwerdeverfahren gegen eine Einstellungsverfügung bezog, erweist sie sich auch in anderen strafprozessualen Verfahrensschritten als beachtlich.
2.3. Ein auf Art. 29 Abs. 3 BV gestützter Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege besteht demnach, sofern der Anzeiger bedürftig ist und sein Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung seiner Rechte notwendig ist, hat er gestützt auf die genannte Verfassungsbestimmung zudem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Letzteres ist der Fall, wenn der Anzeiger seine Sache, auf sich allein gestellt, nicht sachgerecht und hinreichend wirksam vertreten kann, sodass ihm nicht zuzumuten ist, das Verfahren selbstständig zu führen. Die Notwendigkeit der Verbeiständung beurteilt sich aufgrund der Gesamtheit der Umstände. Dazu zählen insbesondere die Schwere der Betroffenheit in grundlegenden Interessen, die tatsächlichen und rechtlichen Schwierigkeiten, die anwendbaren Verfahrensvorschriften sowie die Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (BGer. 1B_355/2012, E. 5.2 und 5.5 m.w.H.).
3. Die Anklagekammer hatte mit Entscheid vom 19. Januar 2016 die Ermächtigung zur Eröffnung eines Strafverfahrens erteilt (AK.2015.341-AK – AK.2015.344-AK; Versand am 22. Februar 2016), womit damals ein entsprechender Anfangsverdacht bestand. Bis zur Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege vom 21. März 2016 erfolgten keine wesentlichen Untersuchungshandlungen, weshalb sich die Ausgangslage zwischen Eröffnung des Entscheids und der Gesuchstellung durch den Beschwerdeführer nicht wesentlich veränderte. Es ist entsprechend davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Gesuchstellung in vertretbarer Weise behauptete, Opfer polizeilicher Gewalt geworden zu sein.
4. Bei dieser Ausgangslage erscheint die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Rechtsverbeiständung im vorliegenden Fall gestützt auf Art. 29 Abs. 3 BV grundsätzlich möglich. Die unentgeltliche Rechtspflege wurde von der Vorinstanz bereits rechtskräftig bewilligt und ist in diesem Verfahren daher nicht mehr zu prüfen. Demgegenüber ist vorliegend umstritten, ob zur Wahrung der Interessen des Beschwerdeführers auch die unentgeltliche Rechtsverbeiständung erforderlich ist.
4.1. Der Beschwerdeführer steht im fraglichen Strafverfahren vier Polizeibeamten, vier Strafverteidigern und – als Verfahrensleiter – einem Staatsanwalt gegenüber. Sie alle sind von Berufs wegen mit Ermittlungs- bzw. Strafverfahren vertraut und verstehen es, sich in einem solchen (wirkungsvoll) zu bewegen. Der Beschwerdeführer ist demgegenüber – abgesehen von einer gewissen Verfahrensgewöhnung als Beschuldigter – in strafrechtlicher und strafprozessualer Hinsicht nicht versiert. Darüber hinaus sind seine intellektuellen Fähigkeiten nachweislich limitiert, verfügt er doch gemäss des von ihm ins Recht gereichten Assessmentprotokolls der Sozialversicherungsanstalt lediglich über einen IQ von 87. Damit ist seine Intelligenz selbst nach Auffassung der Vorinstanz unterdurchschnittlich und liegt nur knapp im Normalbereich (der Normalbereich liegt gemäss angefochtener Verfügung zwischen 85 und 115). Der Beschwerdeführer vermag zudem durch einen Arztbericht nachzuweisen, dass er von einer depressiven Störung betroffen ist, die auch schon eine kurzstationäre Überwachung und die Verschreibung entsprechender Medikamente erforderlich machte.
4.2. Im Strafverfahren sind die Kräfteverhältnisse dementsprechend sehr asymmetrisch, wobei dieses Ungleichgewicht auch konkret greifbar wird. So sassen beispielsweise bei der Einvernahme der beiden Zeugen X.___ und Y.___, die am 2. Juni 2016 im Untersuchungsamt St. Gallen stattfand, dem Vertreter des Beschwerdeführers neben dem Staatsanwalt die vier Verteidiger sowie zwei der angeschuldigten Polizeibeamten gegenüber. Die Verteidiger machten dabei (zulässigerweise) ausgiebig von ihrem Recht auf Ergänzungsfragen Gebrauch. Es erscheint demgegenüber nicht vorstellbar, dass der Beschwerdeführer angesichts seiner ausgewiesenen Beeinträchtigungen ohne fachkundige Unterstützung von seinem eigenen Recht auf Ergänzungsfragen ebenfalls wirkungsvoll hätte Gebrauch machen können. Auch sonst ist davon auszugehen, dass es dem Beschwerdeführer Mühe bereiten würde, sich im Strafverfahren alleine zurecht zu finden. Beim gegenwärtigen Verfahrensstand – die Vorinstanz beabsichtigt gemäss Parteimitteilung vom 3. Juni 2016 den Erlass von Einstellungsverfügungen – hatte der Beschwerdeführer zudem allfällige Beweisanträge zu prüfen und diese sachgerecht ins Verfahren einzubringen.
4.3. Insgesamt wäre der Anspruch des Beschwerdeführers auf wirksamen Rechtsschutz und vertiefte amtliche Untersuchung der von ihm in vertretbarer Weise behaupteten Polizeigewalt verletzt, wenn ihm angesichts seiner ausgewiesenen Defizite und in Anbetracht der Kenntnisse der ihm gegenüberstehenden Beschuldigten und deren Verteidigern nicht auch ein eigener Rechtsbeistand zugeordnet würde. Nur so ist es dem Beschwerdeführer möglich, das Strafverfahren kritisch zu begleiten und nötigenfalls in der geeigneten strafprozessualen Form zu intervenieren. Da der Beschwerdeführer zudem unbestrittenermassen mittellos und sein Rechtsbegehren nicht aussichtslos ist, sind die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung gestützt auf Art. 29 Abs. 3 BV gegeben.
5. Zusammenfassend ergibt sich damit, dass die Beschwerde zu schützen und dem Beschwerdeführer im Sinne eines reformatorischen Entscheids (Art. 397 Abs. 2 StPO) die unentgeltliche Rechtsverbeiständung (durch Rechtsanwalt B.___) zu gewähren ist. Sie gilt rückwirkend ab dem Zeitpunkt der Gesuchstellung am 21. März 2016.