Aus den Erwägungen:
3. Die Beschwerdeinstanz beurteilt Beschwerden gegen Verfahrenshandlungen und gegen nicht der Berufung unterliegende Entscheide der Staatsanwaltschaft (vgl. Art. 20 Abs. 1 lit. b StPO). Die Beschwerde ist zulässig gegen Verfügungen und Verfahrenshandlungen der Staatsanwaltschaft (Art. 393 Abs. 1 lit. a StPO), die in einem Strafverfahren in Anwendung der Strafprozessordnung ergangen sind (vgl. BSK StPO - Kipfer, Art. 20 N 1 ff.).
b) Die Stellung eines Rechtshilfegesuchs an einen ausländischen Staat stellt keine Verfügung oder Verfahrenshandlung der Staatsanwaltschaft dar, die in Anwendung der Strafprozessordnung ergangen ist. Das Vorgehen in Rechtshilfeangelegenheiten und insbesondere der Rechtsschutz in internationalen Rechtshilfesachen richten sich ausschliesslich nach den Bestimmungen des IRSG (Bundesgesetz über internationale Rechtshilfe in Strafsachen, SR 351.1; vgl. Art. 54 StPO); das in der Strafprozessordnung geregelte Beschwerdeverfahren ist nicht anwendbar (Oberholzer, Grundzüge des Strafprozessrechts, 3. A., Bern 2012, Rz. 237, Rz. 289; Guidon, Die Beschwerde gemäss Schweizerischer Strafprozessordnung, Zürich/St. Gallen 2011, Rz. 83 FN 246; BSK StPO - Kipfer, Art. 20 N 7). Das Rechtshilfeersuchen stellt damit kein Anfechtungsobjekt nach Art. 393 StPO dar. Nicht anders verhält es sich mit der "Verfügung" der Staatsanwaltschaft vom 21. August 2013 (act. 3). Auch diese "Verfügung", mit welcher die Einsicht in ein hängiges Rechtshilfeersuchen abschlägig beantwortet wird, betrifft das Rechtshilfeverfahren und nicht das Strafverfahren; entsprechend liegt keine in Anwendung der Strafprozessordnung ergangene Verfügung vor. Die Beschwerde nach Art. 393 StPO steht damit auch nicht offen gegen die "Verfügung" der Staatsanwaltschaft vom 21. August 2013. Würde die "Verfügung" vom 21. August 2013 anders behandelt als das Rechtshilfeersuchen, so stünde die Beschwerde nach Art. 393 StPO zwar nicht gegen ein Rechtshilfeersuchen offen, aber gegen damit zusammenhängende Korrespondenz. Damit würde der ordentliche Rechtsmittelweg umgangen und die gesetzliche Zuständigkeitsordnung gemäss IRSG unterlaufen (vgl. nachfolgend).
c) Zudem ist zu berücksichtigen, dass Rechtsmittelinstanz in internationalen Rechtshilfeangelegenheiten nicht die Beschwerdeinstanz nach Art. 20 und Art. 393 ff. StPO ist, sondern die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts. Diese wäre insbesondere auch zuständig zur Beurteilung von Beschwerden gegen ein schweizerisches Ersuchen an einen anderen Staat (vgl. Art. 25, Art. 48 Abs. 2 und Art. 80e IRSG; ferner BSK StPO - Kipfer, Art. 20 N 3). Damit mangelt es auch an einer sachlichen Zuständigkeit der Anklagekammer zur Beurteilung von Fragen im Zusammenhang mit der internationalen Rechtshilfe. Folglich ist die Anklagekammer auch nicht zuständig, die Staatsanwaltschaft anzuweisen, das Rechtshilfegesuch zurückzuziehen (vgl. Eventualantrag, act. 1 S. 6). Überdies sähe die Strafprozessordnung – wäre sie anwendbar – eine konkrete Weisungsbefugnis der Beschwerdeinstanz abgesehen im Falle einer Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung (vgl. Art. 397 Abs. 4 StPO) nur im Falle der Aufhebung einer Einstellungsverfügung vor (Art. 397 Abs. 3 StPO). Selbst diese Weisungsbefugnis wird unter dem Gesichtspunkt der Gewaltentrennung resp. Unabhängigkeit der Strafbehörden als nicht unproblematisch beurteilt (BSK StPO-Jeremy Stephenson/Gilbert Thiriet, Art. 397 N 7 mit Verweis). Der Erlass von Weisungen im Hinblick auf die weitere Gestaltung der Untersuchungsführung, die mit dem Anfechtungsobjekt der Beschwerde nicht in einem direkten Zusammenhang stehen, ist vom Gesetz nicht vorgesehen (vgl. einlässlich dazu GVP 2011 Nr. 80 und Nr. 84); auf den entsprechenden Eventualantrag könnte deshalb auch aus diesem Grund nicht eingetreten werden.
d) Der Beschwerdeführer ist überdies durch die Stellung des Rechtshilfegesuchs an die Dominikanische Republik weder beschwert, noch sonst wie in seinen Rechten unmittelbar betroffen. Eine allfällige (derzeit jedenfalls weder belegte, noch von amtlicher Seite bestätigte) Betroffenheit durch Handlungen der ausländischen Behörden infolge des Rechtshilfegesuchs vermag keine genügende Beschwer für ein inländisches Verfahren vor der Beschwerdeinstanz nach Art. 393 StPO zu begründen, eine allfällige Reflexwirkung genügt ebenfalls nicht. Die durch ausländische Handlungen allenfalls gegebene Beschwer ist in einem ausländischen Rechtsmittelverfahren geltend zu machen und durchzusetzen, wobei fraglich erscheint, inwiefern der Beschwerdeführer bei der angeblichen Beschlagnahme von Aktiven seines Sohnes unmittelbar betroffen wäre, was vorliegend aber nicht zu beurteilen ist. Ebenfalls stellen allfällige (noch nicht abgeschlossene) Rechtshilfehandlungen im Ausland keine rechtsgenügliche Beschwer für ein Akteneinsichtsrecht in die inländischen Rechtshilfeakten dar. Dem Beschwerdeführer käme daher auch keine Legitimation zur Erhebung eines inländischen Rechtsmittels bzw. einer Beschwerde zu.
e) Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann ein Einsichtsrecht in das Rechtshilfeersuchen vor dessen Erledigung sowie eine Zuständigkeit der Beschwerdeinstanz auch nicht aus Art. 148 StPO abgeleitet werden. Art. 148 StPO sieht bei der Erhebung von Beweismitteln im Rahmen eines Rechtshilfegesuchs im Ausland hinsichtlich der Teilnahmerechte der Parteien vor, dass diesen Genüge getan wird, wenn nach Eingang des erledigten Rechtshilfegesuchs Einsicht erteilt wird (vgl. Art. 148 Abs. 1 lit. b StPO; Hervorhebungen hinzugefügt). Erst zu diesem Zeitpunkt (nach Eingang des erledigten Rechtshilfegesuchs) werden die Rechtshilfeakten zu einem Bestandteil der Strafprozedur und unterstehen in der Folge der Regelung der Strafprozessordnung.
f) Lediglich der Vollständigkeit halber sei darauf hingewiesen, dass die Anklagekammer auch nicht zuständig ist zu prüfen, ob die Angaben in einem Rechthilfeersuchen korrekt sind und das Rechtshilfegesuch rechtmässig ist. Über die Zulässigkeit schweizerischer Ersuchen entscheidet das Bundesamt für Justiz (vgl. Art. 17 Abs. 3 lit. c IRSG). Die Anklagekammer ist daher – entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers – auch nicht zuständig für den Entscheid über die Gewährung der Einsicht in ein Rechtshilfegesuch, damit (anschliessend) die Rechtmässigkeit dieses Rechtshilfegesuches geklärt werden kann. Im Übrigen müssten allfällig falsche Angaben gegenüber den dominikanischen Behörden vorgebracht und entsprechende Sachverhaltsdarstellungen dort bestritten werden. Ebenso müsste der Beschwerdeführer den entsprechenden Rechtsmittelweg im Ausland beschreiten, wenn er sich gegen im Ausland erfolgte Rechtshilfehandlungen (Beschlagnahme etc.) zur Wehr setzen möchte; die Beschwerde nach Art. 393 StPO steht dafür jedenfalls nicht zur Verfügung. Darin liegt auch – entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers – keine Umgehung der innerstaatlichen Rechte des Betroffenen. Im Übrigen nicht massgebend für das vorliegende Verfahren ist der Umstand, dass offenbar von der Dominikanischen Republik derzeit keine Akteneinsicht bzw. keine Teilnahmerechte gewährt werden; insbesondere kann daraus nicht eine Legitimation zur Erhebung einer Beschwerde nach Art. 393 ff. StPO und einer Zuständigkeit der Anklagekammer abgeleitet werden.
g) Zusammenfassend ist festzuhalten, dass auf die Beschwerde (aus mehrfachen Gründen) nicht einzutreten ist.