Aus den Erwägungen:
b) Vorab ist zu prüfen, ob eine gesetzliche Grundlage für die separate Berechnung der Fassadenhöhe bei Staffelbauten besteht.
Der Beschwerdeführerin ist insofern beizupflichten, dass im BZR Stadt Luzern nicht geregelt ist, wie die Fassadenhöhe bei Staffelbauten zu berechnen ist. Selbst der Begriff der "Staffelung" ist weder im PBG, in der PBV noch im BZR Stadt Luzern definiert. Was unter gestaffelter Bauweise zu verstehen ist, wurde von der Rechtsprechung umschrieben. Wie noch aufzuzeigen sein wird, kommt dem Begriff der Staffelung nach der Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts die Bedeutung einer vertikalen Staffelung zu (dazu nachfolgende E. 4e). Grundlage für diese Rechtsprechung bildet jedoch nicht eine Bestimmung aus dem BZR, sondern § 138 Abs. 5 PBG, wonach die Geschosszahl (d.h. die Anzahl Vollgeschosse) für jeden der versetzten Gebäudeteile separat zu berechnen ist. § 139 PBG, welcher die Berechnung der Höhenmasse definiert, nimmt ebenfalls Bezug auf den Begriff des Staffelbaus. Nach dessen Absatz 7 wird bei gestaffelten Baukörpern die zulässige Gebäude-, Trauf- und Firsthöhe für jeden der versetzten Gebäudeteile separat berechnet. Die Gebäudehöhe ihrerseits ergibt sich entweder aus der Zahl der zulässigen Vollgeschosse (§ 139 Abs. 1 PBG) oder kann auch mit Metermassen umschrieben werden (§ 139 Abs. 6 PBG). Die Rechtsprechung zum Begriff "gestaffelter Baukörper" im Sinn von § 138 Abs. 5 PBG ist analog anzuwenden auf den gleichen Begriff von § 139 Abs. 7 PBG. Denn dieser Begriff muss im Rahmen der kantonalen Baurechtsgesetzgebung einheitlich ausgelegt werden. Dass Gleiches trotz fehlender Ausführungen im Bau- und Zonenreglement der Stadt Luzern auch für das kommunale Recht und damit Art. 36 Abs. 1 BZR gelten muss, ergibt sich alleine schon aus dem Grundsatz, dass die kommunale Bestimmung mit dem übergeordneten kantonalen Recht nicht in Widerspruch stehen darf. Der Begriff der Staffelung und die an diesen geknüpften Rechtsfolgen gelten somit nicht nur im Anwendungsbereich des PBG, sondern gleichermassen auch auf der Stufe der kommunalen Baurechtsordnung. Damit ist sichergestellt, dass dem gleichen Begriff im kantonalen und kommunalen Recht auch die gleiche materielle Bedeutung zukommt. Es rechtfertigt sich daher, die Rechtsprechung im Bereich der Staffelbauten im PBG analog auf Art. 36 Abs. 1 BZR Stadt Luzern anzuwenden.
Schliesslich bleibt festzuhalten, dass sich Art. 36 Abs. 1 BZR nur zum Mass der maximalen Fassaden- und Firsthöhe äussert, nicht aber zu deren Berechnung bei gestaffelten Baukörpern. Die rechtliche Grundlage für die separate Berechnung der Gebäudehöhe für jeden der versetzten Gebäudeteile findet sich im übergeordneten kantonalen Recht (§ 139 Abs. 7 PBG). Zwar ist darin nicht von der Fassadenhöhe, sondern von der Gebäudehöhe die Rede. Die Fassadenhöhe ist Bestandteil der Gebäudehöhe (vgl. dazu auch die Skizzen des ehemaligen Bau- und Verkehrsdepartementes zur Erläuterung des PBG und der PBV, Ausgabe vom 1.9.2002). Der Begriff der gestaffelten Baukörper ist gleich auszulegen, einerseits unabhängig davon, ob es um die Berechnung der Anzahl Vollgeschosse (§ 138 Abs. 5 PBG) oder der Höhenmasse bzw. der Gebäude-, Trauf- und Firsthöhe (§ 139 Abs. 7 PBG) geht, und andererseits unbesehen darum, ob sich die Gebäudehöhe nach der Zahl der zulässigen Vollgeschosse oder nach Metermassen bestimmt. In Bezug auf das vorliegende Bauprojekt (Flachdachbauten) ist die Gebäudehöhe mit der Fassadenhöhe identisch. Damit kann die Rechtsprechung zum PBG für Art. 36 Abs. 1 BZR auch mit Blick auf den im BZR vorhandenen Begriff der "Fassadenhöhe" herangezogen werden. Da im BZR Stadt Luzern eine Regelung der Berechnungsweise der Fassadenhöhe bei gestaffelten Baukörpern fehlt, gelangt § 139 Abs. 7 PBG zur Anwendung. Die Rüge, es fehle die gesetzliche Grundlage für die separate Berechnung der Fassadenhöhe für jeden der versetzten Gebäudeteile, geht mithin fehl.
c) Gemäss dem Bebauungsplan liegen die am Verfahren beteiligten Grundstücke in der Wohnzone 9 C, welche auf die Ortsbildschutzzone C verweist. Die Ortsbildschutzzonen (A, B, C) stellen primär erhöhte Qualitätsanforderungen bei der Bewilligung von baulichen Veränderungen an bestehenden oder bei der Erstellung neuer Bauten und Anlagen (vgl. Art. 21-23 BZR Stadt Luzern). Dementsprechend bestehen für die Ortsbildschutzzone C weder Dichtebestimmungen noch ist eine Beschränkung der Anzahl Vollgeschosse festgelegt. Die maximale Fassaden- und Firsthöhe richtet sich nach Art. 36 Abs. 1 BZR Stadt Luzern. Die maximale Fassadenhöhe beträgt 20 m, die maximale Firsthöhe 26 m. Bei dieser Bestimmung handelt es sich um eine generelle Höhenbeschränkung für das Gebiet der Stadt Luzern, mit der in erster Linie vermieden werden soll, dass mehr als 20 m hohe Fassaden beidseits von Strassen den Eindruck von "Strassenschluchten" erwecken. Die Bestimmung begrenzt einzig die First- und Fassadenhöhe.
d) Unter den Parteien ist umstritten, wie die Fassadenhöhe zu berechnen ist. Vorab fragt sich, was unter dem Begriff der "Fassade" zu verstehen ist. Eine Legaldefinition, was exakt eine Fassade ist bzw. welche Bauteile für die Berechnung ihrer Höhe oder Länge relevant sind, enthalten weder das PBG, die PBV noch das BZR Stadt Luzern. Wie jeder in dem Sinn "unbestimmter" Rechtsbegriff und Bestandteil einer Norm ist der Begriff bzw. die Norm auszulegen. Zu fragen ist nach der Tragweite unter Berücksichtigung der Auslegungselemente, namentlich des Textes, des Zwecks, des Sinnes und der dem Zweck zugrunde liegenden Wertung. Wichtig ist ebenfalls der Sinn, welcher der Bestimmung in ihrem Kontext zukommt (LGVE 1998 II Nr. 7 E. 4b; ferner: BGE 125 II 185, 122 III 325 E. 7a; Rhinow/Krähenmann, Schweizerische Verwaltungsrechtsprechung, Ergänzungsband, Nr. 21 B IV; Walter, Der Methodenpluralismus des Bundesgerichts bei der Gesetzesauslegung, in: recht 1999, S. 157ff.).
Die Fassade ist die Schauseite eines Gebäudes, auf der die Gestaltung konzentriert ist. Etymologisch liegt dem Begriff denn auch das lateinische Wort facies "Gesicht" zugrunde (Koepf/Binding, Bildwörterbruch der Architektur, 3. Aufl., 1999, S. 163). Für die Berechnung des Grenzabstands, der in Relation zur Fassade steht (vgl. § 120 PBG), ist die vertikale Betrachtung relevant (Fassadenhöhe). Jede Berechnungsweise hängt aber davon ab, welche Bauteile rechtlich als Fassade einzuordnen sind, wobei auf deren Funktion und Zweck in der Umsetzung der Bauordnung abzustellen ist (Urteil V 08 288 vom 14.6.2009, E. 4b/cc).
Rechtsprechungsgemäss ist für die Bemessung der Fassadenhöhe auf die optische Erscheinung abzustellen, d.h. die sichtbare Höhe einer Baute ist Anknüpfungspunkt (LGVE 1995 II Nr. 4 E. 4b). Auch bei der Bemessung der Fassadenlänge bildet die optische Erscheinung, d.h. die sichtbare Länge einer Baute, den Anknüpfungspunkt. Die gleiche Betrachtungsweise gilt auch für die Beurteilung des Mehrlängenzuschlags (LGVE 1995 II Nr. 4 E. 4b am Ende; Urteile V 03 116 vom 25.8.2004, E. 3c, V 06 283 vom 18.2.2008, E. 8c, auch zum Folgenden). Der Sinn dieser Bestimmungen liegt in erster Linie darin, lange Häuserzeilen zu vermeiden und eine aufgelockerte, offene Bauweise zu gewährleisten. Aus Sicht des Nachbarn kann der Zweck aber auch darin gesehen werden, lange Fassaden ohne Durchblick zu verhindern. In diesem Sinn kann von einer einheitlichen Fassadenlänge (welche einen Mehrlängenzuschlag rechtfertigt) nur die Rede sein, wenn die entsprechende Aussenwand auf ihrer ganzen Linie eine die Sicht und den Zutritt einschränkende Einheit bildet.
e) Nach der Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts kommt dem Begriff der Staffelung nach § 138 Abs. 5 PBG die Bedeutung einer vertikalen Staffelung zu (vgl. Urteil V 98 214 vom 21.7.1999, E. 3b). Als gestaffelte Baukörper gelten mit anderen Worten ein oder mehrere Baukörper, die in der Höhe gestaffelt sind. Die Staffelung des Baukörpers führt zu einem "versetzten Baukörper", d.h. zu einem Baukörper mit versetzten Teilen respektive mit versetzten Gebäudeteilen. Wesentlich ist, dass gemäss dieser Norm einem Ganzen (Baukörper) blosse Teile, nämlich versetzte Gebäudeteile, zugeordnet werden. Dabei handelt es sich auch dann um einen gestaffelten Baukörper gemäss § 138 Abs. 5 PBG, wenn die Baukörper selber und nicht bloss Teile versetzt sind (Urteile V 03 22 vom 22.1.2004, E. 3b sowie V 03 269 vom 22.6.2004, E. 2b mit Hinweis auf LGVE 2001 II Nr. 19 E. 5b). In welcher Grössenordnung die fraglichen Gebäudeteile bzw. Baukörper im Einzelfall versetzt sein müssen, um als gestaffelt zu gelten, lässt sich weder dem Gesetzestext noch den Materialien entnehmen. Gemäss verwaltungsgerichtlicher Rechtsprechung handelt es sich bei einem Gebäude indessen dann um einen gestaffelten Baukörper im Sinn von § 138 Abs. 5 PBG, wenn die Baukörper oder einzelne Gebäudeteile um mindestens 3 m versetzt sind. Dies entspricht einer Rückversetzung um mindestens die Höhe eines durchschnittlichen Vollgeschosses (§ 139 Abs. 1 PBG; Urteile V 04 165 vom 18.2.2005, E. 3c, V 03 269 vom 22.6.2004, E. 2b und V 98 214 vom 21.7.1999, E. 3d). Mit diesem Mindestmass soll zum Ausdruck gebracht werden, dass der zurückversetzte Teil auch optisch deutlich als Rückversetzung wahrnehmbar sein muss.
Unbehelflich ist der Einwand der Beschwerdeführerin, die vertikal gestaffelten Baukörper müssten auch baulich getrennt vom Hauptgebäude mit dem Baugrund verbunden sein, damit die Gebäudehöhen separat berechnet werden könnten. Diese Auffassung ist mit Verweis auf Urteil V 04 165 vom 18. Februar 2005, E. 3d als unzutreffend zu bezeichnen. Denn nach der Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts ist nicht von Belang, ob die unterschiedlichen Ebenen (hangseitig) bündig verlaufen oder nicht. Ausserdem wenden die Beschwerdegegnerinnen zu Recht ein, dass der von Süden her gesehene dritte Baukörper nicht über die gleichen Gebäudegrundflächen wie die beiden südlich davon gesehenen verlaufe. Auch der Verweis der Beschwerdeführerin auf die Skizzen zur Erläuterung des PBG und der PBV vermag am Gesagten nichts zu ändern. Soweit sie vorbringt, der rückversetzte Bauteil müsse baulich-funktional bis zum Baugrund reichen, ist ihr entgegenzuhalten, dass die von ihr zitierte Skizze zu § 10 lit. b PBV die Anrechnung der Untergeschosse als Vollgeschosse zum Gegenstand hat und nicht aufzeigt, dass eine untererdige Rückversetzung sämtlicher Baukörper gefordert ist (vgl. S. 12 der Skizzen).
f) Streitig und zu prüfen ist, ob die Fassadenhöhe nach Art. 36 BZR Stadt Luzern durch die projektierte Baute verletzt wird. Ein Vertikalrücksprung kann bei der Messweise der Fassadenhöhe nur dann berücksichtigt werden, wenn der zurückspringende Fassadenteil optisch nicht mehr als Bestandteil des vorgelagerten Fassadenteils in Erscheinung tritt. Dies kann einzig durch eine klare Rückversetzung auf der ganzen Fassadenlänge erreicht werden. Für die Frage, wie weit die aufgehende Fassade ab dem Rücksprung zurückzuversetzen ist, ist analog die Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts in Bezug auf die Berechnung der Fassadenhöhe bei gestaffelten Baukörpern heranzuziehen. Demgemäss kann dann von einer Rückversetzung gesprochen werden, wenn einzelne Gebäudeteile um mindestens 3 m rückversetzt sind (vgl. dazu E. 4e). Die vorgenommene Auslegung des Begriffs "Fassade" und die davon abhängige Bestimmung der Höhe derselben überzeugt auch bzw. insbesondere im Kontext der Bestimmung von Art. 36 BZR Stadt Luzern (vgl. dazu vorstehende E. 4b).
g) Die Beschwerdeführerin stützt sich in ihrer abweichenden Argumentation auf zwei Urteile des Verwaltungsgerichts (V 03 276 und V 08 288), welche es im Folgenden kurz zu analysieren gilt.
Im Urteil V 03 276 vom 23. November 2004 hatte sich das Verwaltungsgericht mit der Frage zu befassen, ob und (allenfalls) inwieweit die Höhe eines zurückversetzten "Attikageschosses" in der Stadt Luzern bei der Bemessung der Fassadenhöhe (ab Oberkante Brüstung des Geländers gemäss § 122 Abs. 4 Satz 2 PBG) zusätzlich angerechnet werden muss. Die zitierte Gerichtspraxis kommt indes nur zur Anwendung, falls ein projektiertes "Attikageschoss" optisch nicht als Teil der Fassade in Erscheinung tritt. Andernfalls ist auch das Attikageschoss Teil der Fassade. Das Verwaltungsgericht hat sich in jenem Urteil sodann mit der Frage befasst, wie weit ein Attikageschoss zurückzuversetzen ist, damit es nicht mehr zur Fassade hinzu gerechnet werden muss. In diesem Kontext hat es dem Sinn nach auf die luzernische "Dachnorm" (Art. 33 Abs. 2 Satz 2 BZR Stadt Luzern) verwiesen. Danach darf das Dach eine Linie nicht überschreiten, die von der zulässigen Fassadenhöhe aus mit einem Winkel von 45° ansteigt. Die Rückversetzung muss somit mindestens gleich gross sein wie die über die zulässige Fassadenhöhe hinausragende Mehrhöhe.
Eine abschliessende Auseinandersetzug mit dem von der Beschwerdeführerin zur Diskussion gestellten Urteil V 03 276 vom 23. November 2004 kann in diesem Rechtsmittelverfahren unterbleiben, dies umso mehr, als im vorliegenden Fall von vornherein kein "Attikageschoss" zur Diskussion steht, das über ein bestehendes Gebäude projektiert werden soll. Damit erübrigen sich weitere Überlegungen zur zitierten Praxis und der in diesem Kontext zur Anwendung gebrachten Dachnorm gemäss Art. 33 Abs. 2 BZR Stadt Luzern.
Gleich verhält es sich auch mit dem Urteil V 08 288 vom 24. Juni 2009. Darin hatte das Verwaltungsgericht zu entscheiden, wie der Grenzabstand nach § 122 PBG berechnet wird. Für die Berechnung des erforderlichen Grenzabstandes ist die vertikale Betrachtung relevant (Fassadenhöhe). Weiter führte es aus, dass Gebäudeteile deutlich zurückversetzt sein müssen, damit diese nicht mehr als fassadenbildend in Erscheinung treten und entsprechend bei der Berechnung der Gebäudehöhe nicht berücksichtigt werden. Im vorliegenden Fall verhält es sich jedoch so, dass die Distanz zwischen den einzelnen Gebäudeteilen die geforderten 3 m überschreitet. Damit steht fest, dass das Erfordernis der "deutlichen Rückversetzung" vorliegend eingehalten ist und die Berechnung der Fassadenhöhe jeweils separat erfolgen kann. Die Beschwerdeführerin vermag nicht darzutun, inwiefern die "45°-Regel" Anwendung finden soll, zumal bei der projektierten Baute weder ein Anbau noch ein Attikageschoss Gegenstand des Verfahrens bildet. Auf Weiterungen kann deshalb verzichtet werden.
h) (Konkrete Würdigung bzw. Berechnung der Fassadenhöhen.) Demnach ergibt sich, dass das Bauprojekt im Bereich des mittleren Gebäudes der Westfassade, im Bereich des Treppenhauses der Ostfassade sowie im Bereich der südöstlich liegenden Ecke des mittleren Gebäudeteiles der Südfassade die maximale Fassadenhöhe von 20 m überschreitet.
Der Sachverhalt und weitere Erwägungen sind unter der Fallnummer V 10 246 zu finden.