A war seit dem 1. Januar 2007 zu 80 % als Pflegefachfrau DN I in X angestellt. Mit Entscheid vom 30. Juli 2009 wurde das Arbeitsverhältnis mit A seitens der X auf den 31. Oktober 2009 beendet.
Dagegen liess A am 31. August 2009 Verwaltungsgerichtsbeschwerde führen und im Wesentlichen die Feststellung der Rechtswidrigkeit der Kündigung und die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung beantragen. Die X beantragte in ihrer Vernehmlassung vom 8. Oktober 2009 sinngemäss die Abweisung der Beschwerde.
Aus den Erwägungen:
1.- a) Die X ist einer der vier Standorte des Luzerner Kantonsspitals (LUKS). Dieses ist eine öffentlich-rechtliche Anstalt mit eigener Rechtspersönlichkeit (§ 7 Abs. 1 des Spitalgesetzes vom 11.9.2006 [SRL Nr. 800a]). Das Gesetz über das öffentlich-rechtliche Arbeitsverhältnis vom 26. Juni 2001 (Personalgesetz [PG; SRL Nr. 51]) ist gemäss § 1 Abs. 1 lit. a PG somit auch auf die Arbeitsverhältnisse des LUKS anwendbar, wobei besondere rechtsetzende Bestimmungen des Spitalrechts vorbehalten bleiben (§ 1 Abs. 6 PG). Nach § 30 Abs. 1 Spitalgesetz gilt für das Personal der Unternehmen (LUKS und Luzerner Psychiatrie, vgl. § 7 Abs. 1 Spitalgesetz) das PG, mit Ausnahmen der §§ 3, 42, 43 und 69. Die §§ 31 - 36 und 60 PG sind sinngemäss anwendbar. Soweit das PG gilt, kann der Spitalrat in einem Personalreglement aus betrieblichen Gründen u.a. hinsichtlich der Beendigung des Arbeitsverhältnisses davon abweichen (§ 30 Abs. 2 Spitalgesetz). Der Spitalrat hat das Personalreglement für das Luzerner Kantonsspital vom 20. November 2007 (PR LUKS; SRL Nr. 820a) erlassen. Gemäss § 11 Abs. 2 PR LUKS ist für die Anstellung und Entlassung aller übrigen Mitarbeitenden (im Gegensatz zu den Mitgliedern der Geschäftsleitung bzw. der Departementsleiterinnen und -leiter gemäss Abs. 1) die Direktorin oder der Direktor zuständig. Er kann diese Kompetenz - mit für den vorliegend zu beurteilenden Fall nicht relevanten Ausnahmen - dem Personaldienst delegieren (siehe dazu für den vorliegend zu beurteilenden Fall: nachfolgende E. 6). Weitere Bestimmungen zur Auflösung von Arbeitsverhältnissen enthält das PR LUKS nicht.
b) Ein personalrechtlicher Entscheid, mit dem ein Arbeitsverhältnis beendet oder umgestaltet wird, kann gemäss § 70 Abs. 1 PG mit Verwaltungsgerichtsbeschwerde (§§ 148 ff. des Gesetztes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3.7.1972 [VRG; SRL Nr. 40]) angefochten werden. Demzufolge ist das Verwaltungsgericht für die Beurteilung des Entlassungsentscheides sachlich zuständig. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen (Frist, Form usw.) erfüllt sind, ist auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde einzutreten (vgl. § 107 VRG).
c) Im vorliegenden Verfahren steht dem Verwaltungsgericht eine umfassende Prüfungsbefugnis zu. Damit kann die Beschwerdeführerin nicht bloss die unrichtige oder unvollständige Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts sowie die unrichtige Rechtsanwendung rügen, sondern auch die unrichtige Handhabung des Ermessens (§ 70 Abs. 1 PG, § 156 in Verbindung mit § 144 Abs. 1 VRG).
Trotz grundsätzlich unbeschränkter Kognition ist die verwaltungsgerichtliche Spruchbefugnis im personalrechtlichen Beschwerdeverfahren beschränkt. Dem Gericht steht lediglich zu, die Rechtswidrigkeit eines Entscheides über die Beendigung oder Umgestaltung des Arbeitsverhältnisses festzustellen. Vorbehalten bleibt die Nichtigkeit einer Beendigung zur Unzeit (§ 72 Abs. 1 und 3 PG). Stellt das Gericht eine Rechtswidrigkeit fest, hat die zuständige Behörde die Möglichkeit, ihren Entscheid zu ändern. Andernfalls hat die oder der Betroffene Anspruch auf Ersatz des entstandenen Schadens (§ 72 Abs. 2 PG; vgl. dazu LGVE 2006 II Nr. 4).
Nach dem Gesagten kann das Verwaltungsgericht im vorliegenden Beschwerdeverfahren nur die Rechtmässigkeit des Entlassungsentscheides prüfen und im Falle der Rechtswidrigkeit einen entsprechenden Feststellungsentscheid erlassen. Der Entscheid als solcher kann vom Verwaltungsgericht nicht aufgehoben werden.
d) Das Verfahren vor Verwaltungsgericht ist vom Untersuchungsgrundsatz und der Rechtsanwendung von Amtes wegen beherrscht (§§ 37 und 53 VRG). Diese beiden Grundsätze gelten indessen nicht uneingeschränkt. Sie werden ergänzt durch die verschiedenen Mitwirkungspflichten der Parteien (§ 55 VRG), namentlich durch deren Begründungspflicht (§ 133 Abs. 1 VRG). Zu beachten ist ferner das Rügeprinzip, wonach die Beschwerdeinstanz nicht prüft, ob sich der angefochtene Entscheid unter schlechthin allen in Frage kommenden Aspekten als korrekt erweist, sondern nur die vorgebrachten Beanstandungen untersucht (vgl. zum Ganzen: LGVE 1994 II Nr. 10 E. 1c mit Hinweisen).
2.- a) Im Bereich des öffentlichen Personalrechts besteht, anders als im privaten Arbeitsrecht, keine Kündigungsfreiheit. Bei all seinen Tätigkeiten bleibt das Gemeinwesen auch in diesem Bereich an das Willkürverbot, die Grundrechte und die verfassungsmässigen Grundprinzipien gebunden. Das Verwaltungsgericht hat hieraus gefordert, dass die Beendigung eines öffentlich-rechtlichen Anstellungsverhältnisses sachlich begründet sein muss (LGVE 1999 II Nr. 3 E. 6 mit Hinweisen). Das Personalgesetz listet solche Gründe in § 18 PG auf. Dazu gehören namentlich die Aufhebung der Stelle oder deren Anpassung an geänderte organisatorische oder wirtschaftliche Gegebenheiten und die mangelnde Bereitschaft zur Verrichtung anderer angebotener sowie zumutbarer Arbeit (lit. a), die trotz schriftlicher Mahnung wiederholende oder anhaltende Verletzung vertraglicher oder gesetzlicher Pflichten und Mängel in der Leistung oder im Verhalten (lit. b), die mangelnde Eignung, Tauglichkeit oder Bereitschaft, die zugewiesenen Aufgaben zu erfüllen (lit. c), den Wegfall einer gesetzlichen oder vertraglichen Anstellungsbedingung (lit. d) oder das Vorliegen einer vom Angestellten begangenen strafbaren Handlung, die nach Treu und Glauben mit der korrekten Aufgabenerfüllung nicht vereinbar ist (lit. e).
Die Aufzählung in § 18 PG ist nicht abschliessend. Dies geht zum einen aus dem Wort "insbesondere" im Einleitungssatz hervor, zum anderen weisen auch die Materialien darauf hin (vgl. Botschaft des Regierungsrates an den Grossen Rat [B 72] zum Entwurf eines neuen Gesetzes über das öffentlich-rechtliche Dienstverhältnis [Personalgesetz] vom 19.9.2000, in: GR 2001 429 ff., S. 452; Urteil V 05 96 vom 11.4.2006, E. 3a; Urteil V 03 156 vom 30.9.2003, E. 4b/aa). Nichtsdestotrotz stellt die Aufzählung in § 18 PG einen Massstab dar, der für vergleichbare Kündigungsgründe beigezogen werden kann. Erforderlich ist jedoch eine gewisse Schwere der Vorfälle. Die zugrundeliegende Störung darf nicht nur subjektiv als eine solche wahrgenommen werden, sondern sie muss auch objektiv nachvollziehbar sein.
b) Bei der Prüfung, ob ein sachlicher oder triftiger Grund für die Auflösung des Dienstverhältnisses vorliegt, dürfen die Anforderungen nicht überspannt werden. Vor allem darf nicht ein wichtiger Grund verlangt werden, wie er für eine fristlose Kündigung vorausgesetzt wird (§ 19 PG). Dass die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses geradezu unzumutbar wäre, ist daher nicht erforderlich. Auch ein Verschulden der betroffenen Person braucht es nicht. Vielmehr genügen schon objektive Gründe, die sich im Rahmen des der Verwaltung zustehenden Ermessens bewegen und die angesichts des Verhaltens des Angestellten oder der gegebenen Situation eine Kündigung als vertretbare Massnahme erscheinen lassen. Dabei können die Gründe selbst auf Seiten der Verwaltung liegen. So reicht es bereits aus, wenn die Weiterbeschäftigung dem öffentlichen Interesse, namentlich demjenigen an einer gut funktionierenden Verwaltung respektive wie im vorliegenden Fall eines gut funktionierenden Spitalbetriebs widerspricht (Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, RB 1999, Nr. 163).
c) Bei jeder Entlassung muss aber der Grundsatz der Verhältnismässigkeit (Art. 5 Abs. 2 der Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft vom 18.4.1999 [BV; SR 101]) gewahrt werden. Als erstes muss die Kündigung geeignet sein, die aufgetretenen Probleme zu lösen. Zweitens muss die Entlassung in dem Sinn erforderlich sein, dass nicht eine andere, gleich geeignete, aber mildere Massnahme für den angestrebten Erfolg ausreichen würde. Schliesslich und drittens muss eine Abwägung der gegenseitigen Interessen vorgenommen werden, welche die Kündigung als gerechtfertigt erscheinen lässt.
Fehlt es an diesen Erfordernissen oder an einem sachlich vertretbaren Kündigungsgrund, so gilt die Auflösung des Arbeitsverhältnisses als rechtswidrig.
3.- Die Vorinstanz stützt ihren Kündigungsentscheid vom 30. Juli 2009 auf § 15 lit. a PG in Verbindung mit § 18 lit. b PG und begründet diesen mit mangelhaftem Verhalten der Beschwerdeführerin (Vernehmlassung vom 8.10.2009).
a) Nach diesen angerufenen Gesetzesbestimmungen kann das Arbeitsverhältnis durch Kündigung beendet werden, bei Verletzung gesetzlicher oder vertraglicher Pflichten und bei Mängeln in der Leistung oder im Verhalten, die sich trotz schriftlicher Mahnung wiederholen oder anhalten. § 18 lit. b PG zielt somit auf Pflichtverletzungen und auf Verhaltens- oder Leistungsmängel, bei denen es als möglich erachtet wird, dass sie sich beheben oder verbessern lassen. Beim Auftreten dieser Mängel ist somit eine weitere Zusammenarbeit nicht zum Vornherein undenkbar. Deshalb darf eine Kündigung nur nach schriftlicher Mahnung und nur dann ausgesprochen werden, wenn sich die Mängel in der Folge trotzdem wiederholen oder anhalten und sich die Kündigung auch im Übrigen als verhältnismässig erweist. Daraus ergibt sich, dass in den Fällen von § 18 lit. b PG im Gegensatz zu denjenigen von lit. c vom schriftlichen Mahnungserfordernis in aller Regel nicht abgesehen werden darf (vgl. LGVE 2004 II Nr. 4 E. 2c und 3; Schroff/ Gerber, Die Beendigung der Dienstverhältnisse in Bund und Kantonen, St. Gallen 1985, Rz. 426).
b) Die Vorinstanz spricht in ihren Rechtsschriften von einem Vertrauensbruch und damit von einem Mangel im Verhalten der Beschwerdeführerin. Diese habe mit ihrem Verhalten das Vertrauen der Klinik in eine gemeinsame Zusammenarbeit zerstört.
Ein grundlegend gestörtes Vertrauensverhältnis stellt in der Regel einen hinreichenden und sachlichen Grund für eine Entlassung dar. Allerdings kann es dabei nicht bloss auf das subjektive Empfinden der Beteiligten ankommen, sondern der Vertrauensverlust muss auf Verhaltensweisen oder Leistungsmängel des Entlassenen rückführbar sein, die ihn auch für Dritte als nachvollziehbar erscheinen lassen. Sodann muss die Störung des Vertrauensverhältnisses die Arbeitstätigkeit des Entlassenen betreffen (vgl. zum Ganzen: LGVE 2003 II Nr. 2, 1999 II Nr. 3 E. 7b, je mit Hinweisen; Michel, Beamtenstatus im Wandel, Zürich 1998, S. 299 f.). Das Verwaltungsgericht hat bereits in einem früheren Beschwerdeverfahren entschieden, wenn die Entlassung eines Mitarbeitenden wegen eines durch dessen Verhalten gestörten oder gar zerstörten Vertrauensverhältnisses ausgesprochen wird, in aller Regel § 18 lit. b PG beschlagen wird. Davon auszunehmen sind insbesondere solche Fälle, in denen bereits ein einmaliges Vorkommnis zur unwiederbringlichen Zerrüttung des Vertrauensverhältnisses geführt hat und daher sogar eine fristlose Kündigung nach § 19 PG gerechtfertigt gewesen wäre (LGVE 2004 II Nr. 4 E. 2c und d). Doch auch die Beurteilung einer solchen Situation hätte nach objektiven Massstäben zu erfolgen.
c) Die Beschwerdeführerin rügt sowohl das Fehlen eines sachlichen Grundes wie auch einer rechtsgenüglichen Mahnung. Materiell macht sie geltend, der Vorwurf mangelhaften Verhaltens sei nicht gerechtfertigt. Dieses Vorbringen ist vorab zu prüfen, bevor im Anschluss daran auf das Erfordernis der Mahnung eingegangen wird.
4.- a) Die Vorinstanz verweist in ihrem Kündigungsschreiben vom 30. Juli 2009 auf das Schreiben vom 16. Juli 2009, mit dem der Beschwerdeführerin das rechtliche Gehör gewährt worden sei. Demnach seien zur Verbesserung der Situation die gegenseitigen Erwartungen definiert, respektive Zielsetzungen vereinbart worden. Zudem habe man ausgemacht, dass das umstrittene Schreiben vom 22. April 2009 nicht übersetzt und im Betrieb verbreitet werde. Seitens der Vorinstanz habe man diesen "Neubeginn" als Chance betrachtet und sei der Hoffnung gewesen, dass die Beschwerdeführerin das Verhalten ihr gegenüber ändere. Anlässlich des Gesprächs vom 16. Juli 2009 habe die Beschwerdeführerin die Feststellungen der Vorinstanz bestätigt, insbesondere was die weitere Verbreitung des Schreibens vom 22. April 2009 betreffe. Die von der Beschwerdeführerin im Rahmen des rechtlichen Gehörs vorgebrachten Ausführungen habe die Vorinstanz nicht veranlasst, von der beabsichtigten Beendigung des Arbeitsverhältnisses abzusehen.
b) Die Beschwerdeführerin bringt dagegen vor, der Vorwurf des mangelhaften Verhaltens sei nicht gerechtfertigt. Zwischen ihr und Dritten sei nie beschlossen worden, dass das Schreiben vom 22. April 2009 nicht übersetzt und im Betrieb weiter verbreitetet werde. Dies sei lediglich die Meinung ("Avis") der Pflegedienstleiterin gewesen, wie sich aus deren Aktennotiz vom 8. Juni 2009 ergebe. Die Beschwerdeführerin habe denn auch mehrfach darauf hingewiesen, dass das Dokument vom 22. April 2009 von Personen der X. Etage verfasst worden und nicht vertraulich sei, weshalb überhaupt nicht ersichtlich sei, weshalb dieses nicht hätte weitergereicht werden dürfen. Die darin enthaltenen Ausführungen seien im Übrigen bereits an der Sitzung vom 23. April 2009 vorgetragen worden. Des Weiteren sei das Dokument bis heute nicht übersetzt. Zudem sei im Schreiben zum rechtlichen Gehör vom 16. Juli 2009 das streitbetroffene Dokument mit keinem Wort erwähnt worden, wohl weil die Klinikleitung gewusst habe, dass dieses resp. dessen Übersetzung und Verbreitung keinen sachlichen Kündigungsgrund darstelle. Zudem sei der Beschwerdeführerin am Gespräch vom 16. Juli 2009 lediglich vorgeworfen worden, sie habe eine Arbeitskollegin betreffend Übersetzung angefragt. Im Weiteren sei darauf hinzuweisen, dass das Dokument vom 22. April 2009 nicht den persönlichen Standpunkt der Beschwerdeführerin darstelle, sondern jenen der Mitarbeitenden der X. Etage. Ausserdem müsse der Beschwerdegegnerin (recte: Vorinstanz) bewusst sein, dass eine Kündigung die Weiterverbreitung des Dokuments nicht stoppe. Anstatt die darin angesprochenen Probleme zu bekämpfen und zu versuchen, eine gemeinsame Lösung zu finden, verschwende die Vorinstanz vielmehr Kräfte dahingehend, die Verbreitung des Dokuments zu verhindern. Würden nämlich die darin angesprochenen Probleme gelöst oder wäre zumindest ein Ansatz einer Lösung erkennbar, würde das Dokument an Bedeutung und Interesse verlieren. Das Vorgehen der Vorinstanz bestärke die Beschwerdeführerin vielmehr in der Vermutung, sie müsse wegen persönlicher Gründe irgendwelcher Beteiligten gehen und nicht aufgrund sachlicher Verfehlungen.
c) Als Grundlage zur Prüfung, ob ein sachlicher Grund in der geforderten Schwere vorliegt, ist der chronologische Sachverhalt, wie er sich aus den Akten und den Rechtsschriften entnehmen lässt und der zur Entlassung der Beschwerdeführerin führte, kurz aufzulisten:
aa) Am 23. April 2009 kam es zu einer Aussprache zwischen neun Personen aus der Pflege, welche die vier Pflegestationen vertraten, und der Klinikleitung. Seitens der Vorinstanz nahmen an diesem Gespräch Dr. med. B, Chefarzt, C, Leiter Betriebswirtschaft und D, Leiterin Pflegedienst, teil. Die Beschwerdeführerin, Mitarbeiterin auf der X. Etage und ebenfalls Sitzungsteilnehmerin, verfasste im Hinblick auf diese Aussprache am 22. April 2009 ein Schreiben in französischer Sprache, in welchem sie positive und negative Punkte zum Thema Zusammenarbeit festhielt. In diesem Dokument, das neben der Beschwerdeführerin von vier weiteren Mitarbeitenden der X. Etage unterzeichnet und an der Sitzung vom 23. April 2009 von der Beschwerdeführerin vorgetragen wurde, wird vor allem über horizontale Gewalt ("violence horizontale"; ein Begriff aus dem Pflegebereich, mit dem ein persönlichkeitsverletzendes Verhalten unter Kollegen beschrieben wird) infolge ungelöster Konflikte unter den Arbeitskollegen und Mobbing ("harcèlement psychologique") sowie mangelnde Unterstützung durch die Vorgesetzten geklagt.
Noch am 23. April 2009 lud die Pflegedienstleiterin die Beschwerdeführerin zu einem Gespräch auf den 30. April 2009 ein, um die im Dokument vom 23. (recte: 22.) April 2009 vorgebrachten negativen Punkte zu konkretisieren sowie Massnahmen zur Verbesserung der Situation zu planen.
Die Pflegedienstleiterin hielt in einer Beilage zu dieser Einladung selber fest, dass sie die Beschwerdeführerin aufgefordert habe, die Namen derjenigen Personen zu nennen, die hinter diesem Schreiben stünden, da sie das Schreiben als Gemeinschaftswerk der Mitarbeitenden betrachte. So könne sie die Informationen bei jedem dieser Mitautoren selber sammeln, um die Situation präzise und objektiv zu klären. Es sei für sie wichtig, die eigenen Sorgen der Beschwerdeführerin zu kennen und welche konkreten Massnahmen bei ihrer Arbeit zu treffen seien, um die Situation zu verbessern. Dabei sei es essentiell für sie, die generellen und individuellen Meinungen auseinanderzuhalten. Die Beschwerdeführerin habe sie daraufhin um eine Bedenkfrist gebeten: sie befürchte, als Sündenbock dazustehen und wünsche deshalb eine Sitzung mit allen Beteiligten. Sie, die Pflegedienstleiterin, habe der Beschwerdeführerin eine Bedenkfrist zugesprochen, habe aber auf einem Einzelgespräch in Anwesenheit einer neutralen Person, der Personalleiterin E, bestanden. Sollte die Beschwerdeführerin an diesem Gespräch nicht erscheinen, würden die Konsequenzen gezogen. Die Pflegedienstleiterin hält in ihrer Aktennotiz weiter fest, die Beschwerdeführerin habe sie daraufhin beschuldigt, kein Verständnis zu haben und auf ihren Positionen zu beharren. Da auf dieser Basis ein Dialog nicht möglich sei, habe sie der Beschwerdeführerin vorgeschlagen, direkt mit der Personalleiterin Kontakt aufzunehmen.
bb) Das Gespräch zwischen der Beschwerdeführerin und der Pflegedienstleiterin fand schliesslich am 29. April 2009 unter Anwesenheit der Personalleiterin statt. Dem dazu verfassten Protokoll ist zu entnehmen, dass die von der Beschwerdeführerin vorgebrachten negativen Punkte besprochen wurden und sowohl diese wie auch die Pflegedienstleiterin ihre Erwartungen mitteilen konnten. Die Leiterin des Pflegedienstes formulierte unter anderem die Erwartung, dass Kritik zukünftig direkt an sie gerichtet und Verbesserungsmöglichkeiten umgesetzt würden. Klatsch werde nicht toleriert. Gleichzeitig wurden mögliche zu treffende Massnahmen diskutiert.
cc) Zu einem weiteren Gespräch mit denselben Beteiligten kam es am 8. Juni 2009. Dabei wurde insbesondere das von der Beschwerdeführerin verfasste Schreiben vom 22. April 2009 thematisiert. Die Beschwerdeführerin war der Ansicht, die Mitteilung betreffe alle bei der Vorinstanz tätigen Personen, weshalb es auch von allen verstanden werden solle. Die Pflegedienstleiterin vertrat demgegenüber offenbar die Meinung, es sei nicht angemessen, das Schreiben durch eine Klinik-Mitarbeiterin übersetzen zu lassen, und, da es nur die Pflegenden betreffe, nicht an alle verteilt werden solle. Ein Hinweis auf diese "Meinung" (avis) fehlt jedoch im Protokoll, das von der Pflegedienstleiterin über das Gespräch vom 8. Juni 2009 verfasst wurde.
dd) Am 7. Juli 2009 wandte sich die Beschwerdeführerin in einem Schreiben an den Chefarzt und beklagte sich darin, dass er sie ihres Erachtens zu Unrecht am Bett eines Patienten scharf kritisiert habe. Nachdem sie erläuterte, was sie am betreffenden Patienten vorgenommen hatte, warf sie ihm vor, er urteile überhastet, weshalb ihm wichtige Informationen entgingen. Er kreiere mit seinem Verhalten bei seinen Mitarbeitenden negativen Stress.
ee) Mit Schreiben vom 9. Juli 2009 lud die Pflegedienstleiterin die Beschwerdeführerin erneut zu einem Gespräch auf den 16. Juli 2009 ein. In diesem Einladungsschreiben zitierte sie die - gemäss ihren Angaben - von ihr an der Sitzung vom 8. Juni 2009 geäusserte Meinung, es sei nicht angemessen, das Schreiben vom 22. April 2009 von einer Klinik-Mitarbeiterin übersetzen zu lassen, das Dokument betreffe nur die Pflege und sei deshalb nicht an alle zu verteilen. Trotzdem habe die Beschwerdeführerin eine Mitarbeiterin angefragt, das Dokument zu übersetzen. Dies sei ein Vertrauensmissbrauch und müsse an einem Gespräch geklärt werden.
Die Beschwerdeführerin verfasste als Vorbereitung auf dieses Gespräch ein Schreiben (vorinstanzl. Bel. 10), in welchem sie darlegte, dass die von der Pflegedienstleiterin genannte Mitarbeiterin (F) bereits im April 2009 für die Übersetzung des Dokuments vom 22. April 2009 angefragt worden sei. Es sei aber richtig, dass sie diese kürzlich, gefragt habe, ob sie etwas habe machen können. Sie habe aber auch darauf hingewiesen, dass sie Verständnis habe, wenn sie die Übersetzung nicht machen wolle. Sie habe zudem keine Kenntnis davon, dass die Pflegedienstleiterin der Meinung war, dass dieses Dokument nicht übersetzt werden solle, fehle es doch an einer solchen Bemerkung im Protokoll vom Juni 2009. Dieser Meinung hätte sie aber auch nicht zugestimmt, da sie der Ansicht sei, dass, um Gerüchte, Klatsch usw. zu vermeiden, jede Mitarbeitende die Möglichkeit haben solle, von diesem Dokument Kenntnis zu nehmen. Sie sei deshalb keines Vertrauensmissbrauches schuldig, handle es sich doch auch nicht um ein vertrauliches Dokument. Dieses gehöre vielmehr den Unterzeichnenden und es sei an diesen zu entscheiden, ob das Dokument veröffentlicht werde oder nicht. Sie werde sich gegen allfällige Zwangsmassnahmen rechtlich wehren und hoffe sehr, dass dies nicht nötig sei, denn sie liebe ihre Arbeit an der Klinik.
Die Besprechung vom 16. Juli 2009 fand in Anwesenheit der Pflegedienstleiterin und dem Leiter Betriebswirtschaft statt. Thema an dieser Sitzung war gemäss der Besprechungseinladung der Pflegedienstleiterin an den Leiter Betriebswirtschaft die Auflösung des Arbeitsverhältnisses mit der Beschwerdeführerin per Ende Oktober 2009.
ff) In einem am gleichen Tag (16.7.2009) verfassten Schreiben mit dem Titel "Beendigung des Arbeitsverhältnisses - Rechtliches Gehör" äusserte sich der Chefarzt der Vorinstanz dahingehend, man habe die Hoffnung gehabt, die Beschwerdeführerin ändere ihr Verhalten, müsse nun aber feststellen, dass sie nicht in der Lage sei, die Anforderungen, die in den Besprechungen zwischen der Pflegedienstleiterin, der Personalleiterin und ihr vom 29. April und 8. Juni 2009 festgehalten worden seien, zu erfüllen. Gemäss den Informationen der Pflegedienstleiterin habe sie das kritisierte Verhalten über längere Zeit nicht verbessert. Diese Feststellungen habe die Beschwerdeführerin anlässlich des Gesprächs vom 16. Juli 2009 teilweise bestätigt. Die Pflegedienstleiterin habe deshalb Antrag auf Auflösung des Arbeitsverhältnisses gestellt. Aufgrund dieser Ausgangslage werde beabsichtigt, das Arbeitsverhältnis mit ihr per 31. Oktober 2009 aufzulösen; sie habe Gelegenheit, sich bis zum 30. Juli 2009 zur geplanten Massnahme zu äussern.
gg) Die Beschwerdeführerin nahm daraufhin am 27. Juli 2009 zur Kündigungsabsicht schriftlich Stellung. Sie erwähnte dabei, dass an der Sitzung vom 22. (recte: 23.) April 2009 ausdrücklich darauf hingewiesen worden sei, man solle sich offen und ohne Angst vor allfälligen Konsequenzen äussern. Da sie keine Zeit gehabt habe, den fraglichen Brief vom 22. April 2009 zu übersetzen, habe sie jemanden gesucht, der das übernehmen könne. Sie fände es wichtig, dass alle die von den Pflegenden der X. Etage wahrgenommenen Probleme kennen würden. Gleichzeitig betonte sie, ihrer Ansicht nach keinen beruflichen Fehler begangen zu haben, der eine Kündigung, einen Verweis oder eine Mahnung rechtfertigen würde. Die Ankündigung der Auflösung des Arbeitsverhältnisses respektive der Vorschlag einer einvernehmlichen Auflösung habe sie geschockt, hätte sie dies doch auch bei der Arbeitslosenversicherung benachteiligt. Sie bedaure, dass zur Verbesserung der Situation nicht eine einvernehmliche Strategie getroffen worden sei und keine Diskussion mit allen Beteiligten stattgefunden habe. Stattdessen sei eine regelrechte "Hexenjagd" erfolgt, wobei sie ein Opfer dieser Jagd sei. Was sie am meisten betrübe, sei, dass die Vorinstanz mit diesem Vorgehen die im Schreiben vom 22. April 2009 aufgeführten negativen Punkte perfekt bestätige. Sie betrachte eine Kündigung als missbräuchlich und werde sich dagegen wehren.
hh) Mit Schreiben vom 30. Juli 2009 kündigte die Vorinstanz das Arbeitsverhältnis mit der Beschwerdeführerin auf den 31. Oktober 2009; die Vorbringen der Beschwerdeführerin im Rahmen des rechtlichen Gehörs hätten zu keinem anderen Ergebnis geführt.
d) Nachdem offenbar schon im November/Dezember 2008 mit dem Pflegepersonal eine Mediation durchgeführt worden war, wurde am 23. April 2009 erneut eine Sitzung einberufen, um die Zusammenarbeit zu verbessern, indem Unklarheiten und Erwartungen geklärt würden und um eine offene und direkte Kommunikation zu fördern. Es ist denn auch unbestritten, dass sich Mitarbeitende der Pflege über eine Verschlechterung der Arbeitsbedingungen beklagt haben und es Probleme in der Zusammenarbeit und in der Kommunikation gab. Dies stellt auch die Vorinstanz nicht in Abrede. Eine Befragung von zwei ehemaligen Mitarbeitenden zur Arbeitssituation als Zeugen, wie die Beschwerdeführerin beantragt, erübrigt sich damit. Da es für den vorliegend zu beurteilenden Fall zudem nicht relevant ist, mit welchen Argumenten diese Mitarbeitenden ihre Kündigung begründet haben, kann auch auf die von der Vorinstanz diesbezüglich beantragte Befragung der Personalleiterin verzichtet werden.
Die Beschwerdeführerin hat vor dieser Sitzung das streitbetroffene Schreiben vom 22. April 2009 verfasst und darin - nebst mehreren positiven Punkten - auf angebliche Missstände in der Klinik, insbesondere, was den Umgang mit und unter den Pflegenden betrifft, aufmerksam gemacht. Jedenfalls hat sich die Beschwerdeführerin im Rahmen dieser Sitzung mit diesem von ihr und von anderen Pflegenden der X. Etage mitunterzeichneten Schreiben exponiert, was in der Folge zu mehreren Besprechungen mit der Leiterin des Pflegedienstes und anderen Kadermitarbeitenden führte. Für die Vorinstanz ausschlaggebendes Moment für den geltend gemachten Vertrauensbruch war die Information einer Mitarbeiterin, wonach diese Anfang Juli 2009 von der Beschwerdeführerin erneut angegangen worden sei, das umstrittene Dokument zu übersetzen. Hinzu traten die nach Ansicht der Vorinstanz wenig konstruktive Zusammenarbeit der Beschwerdeführerin sowie deren nicht direktes Ansprechen und Lösen von auftretenden Problemen.
Wie erwähnt kann für die Annahme eines grundlegend gestörten Vertrauensverhältnisses nicht einzig auf das subjektive Empfinden einer vorgesetzten Person abgestellt werden (vgl. vorstehende E. 3b). Es mag sein, dass das Unterlassen des Übersetzens des streitbetroffenen Dokuments für die Pflegedienstleiterin die unabdingbare Voraussetzung für eine weitere Zusammenarbeit mit der Beschwerdeführerin bedeutete. Aus den von der Pflegedienstleiterin selber verfassten Protokollen zu den Sitzungen vom 29. April und 8. Juni 2009 kann eine solche Forderung oder Bedingung für die weitere Zusammenarbeit an die Adresse der Beschwerdeführerin aber nicht entnommen werden. Zwar war an beiden Sitzungen das umstrittene Dokument Thema, es geht jedoch nur aus der Notiz der Pflegedienstleiterin an die Personalleiterin hervor, dass sie der Meinung ("avis") sei, es sei nicht angemessen, das Dokument von einer Klinikmitarbeiterin übersetzen zu lassen und an alle Mitarbeitenden zu verteilen. Damit war für die Beschwerdeführerin nicht ersichtlich, dass die Pflegedienstleiterin das Übersetzen und Verteilen des streitbetroffenen Dokuments als Dreh- und Angelpunkt für eine weitere Zusammenarbeit betrachtete. Auch bereits deshalb spielt es bei der Beurteilung der Rechtmässigkeit der Kündigung keine Rolle, ob die Beschwerdeführerin eine Arbeitskollegin für die Übersetzung anging, womit sich die beantragte Zeugeneinvernahme erübrigt. Zwar musste die Beschwerdeführerin wissen, dass ihre Vorgesetzte eine Weiterverbreitung des Dokuments nicht schätzen würde. Da es aber diesbezüglich bereits an einer klaren Anordnung der Vorgesetzten und der damit verbundenen Androhung, dass die Beschwerdeführerin im Falle eines Zuwiderhandelns mit einer Entlassung rechnen müsse, fehlt, kann objektiv nicht von einem grundlegenden Vertrauensbruch gesprochen werden, der eine Entlassung rechtfertigen würde. Im Weiteren hat die Vorinstanz durch die Einberufung der Sitzung vom 23. April 2009 selber einen weiteren Schritt unternommen, um die Zusammenarbeit und die Kommunikation mit den Pflegenden zu verbessern, was sie denn auch als Ziel formulierte. Es sollten Probleme direkt angesprochen und offen mitgeteilt werden. Wenn sie nun der Beschwerdeführerin ihre Bestrebungen zur Übersetzung und weiteren Verteilung des Dokuments als Vertrauensbruch vorwirft, verhält sie sich zudem auch widersprüchlich, verbietet sie doch damit genau die erwartete offene Kommunikation. Nicht zu beanstanden ist hingegen die Forderung der Pflegedienstleiterin gemäss ihrem Protokoll vom 29. April 2009, dass Kritik, Ängste usw. direkt ihr zu rapportieren seien, sodass Verbesserungsmassnahmen getroffen werden könnten und dass Klatsch nicht geduldet werde. Daraus aber abzuleiten, eine Weiterverbreitung des streitbetroffenen Dokuments stelle einen derartigen Vertrauensbruch dar, dass eine Kündigung gerechtfertigt wäre, ginge eindeutig zu weit.
Im Übrigen ist die Bedeutung dieses Schreibens vom 22. April 2009 zu relativieren: Einerseits enthält es nebst negativen auch einige positive Punkte zur Zusammenarbeit innerhalb der Klinik. Im Weiteren wurde das Dokument von der Beschwerdeführerin an der Sitzung vom 23. April 2009 vorgetragen, an der nebst der Klinikleitung auch Vertreter und Vertreterinnen anderer Pflegestationen teilnahmen. Im Protokoll zur Sitzung wird zudem ausdrücklich auf dieses verwiesen. Die Vorinstanz macht ausserdem geltend, die Beschwerdeführerin habe das Schreiben bereits an viele Mitarbeitende im Haus verteilt. Somit war der Inhalt des Schreibens - zumindest unter dem französischsprachigen Personal - bereits relativ breit bekannt.
Unerheblich in diesem Zusammenhang ist die Feststellung der Vorinstanz - die von der Beschwerdeführerin bestritten wird -, dass sich einige Pflegende an der Sitzung vom 23. April 2009 vom Inhalt des Schreibens distanziert haben, weil es viele Verallgemeinerungen und Übertreibungen enthalte. Ziel der Sitzung war, Probleme offen zu diskutieren, wobei jede anwesende Person ihre Meinung frei kundtun konnte. Da ist es nicht von Bedeutung, ob alle beteiligten Personen mit den Vorbringen anderer einverstanden sind.
Was das Resultat der durchgeführten Mitarbeitendenbefragung betrifft, ist dieses für die Beurteilung des vorliegenden Falles nicht von Relevanz, weshalb sich eine Befragung der von der Vorinstanz beantragten Zeuginnen erübrigt.
e) In diesem Zusammenhang ist kurz auf die Geltung der Meinungsäusserungsfreiheit im Arbeitsverhältnis einzugehen.
Auch im öffentlich-rechtlichen Dienstverhältnis - einem besonderen Rechtsverhältnis - haben die Grundrechte Geltung. Die Ausübung derselben steht aber in einem gewissen Spannungsverhältnis zur Treuepflicht, welche die öffentlichen Bediensteten gegenüber ihrem Arbeitgeber wahrzunehmen haben. Das Bundesgericht hält diesbezüglich fest, dass ein Beamter in seiner persönlichen Lebensgestaltung im Rahmen der allgemeinen Rechtsordnung zwar grundsätzlich frei ist, er hat jedoch jene Schranken zu respektieren, die seine besondere dienstrechtliche Stellung erfordern. Die Meinungsäusserungsfreiheit findet dort ihre Grenzen, wo sein Verhalten die Amtsführung und das Vertrauen der Öffentlichkeit in die Verwaltung beeinträchtigt (BGE 120 Ia 205 E. 3a; vgl. auch Müller, Das besondere Rechtsverhältnis, Bern 2003, S. 63 f., Häner, Grundrechte im öffentlichen Personalrecht, in: Helbling/Poledna, Personalrecht des öffentlichen Dienstes, Bern 1999, S. 396). Bei Meinungsäusserungen im Rahmen eines öffentlichrechtlichen Dienstverhältnisses ist regelmässig zu unterscheiden, ob diese im dienstlichen oder ausserdienstlichen Bereich erfolgen (Rausch, Die Meinungsäusserungsfreiheit der Staatsangestellten, in: ZBl 1979, S. 104 f.). In jedem Fall hat sich der Beamte inner- und ausserdienstlich so zu verhalten, dass er seine dienstlichen Aufgaben gehörig erfüllen kann. Bei ausserdienstlichen Tätigkeiten ist neben der Natur derselben auch die dienstliche Aufgabe des Beamten sowie seine Stellung und Verantwortung zu berücksichtigen (BGE 108 Ia 175 f. E. 4b/aa).
Vorliegend gilt es an Folgendes zu erinnern: Die Beschwerdeführerin hat sich in einem intern breit gestreuten Schreiben zur Arbeitssituation der Pflegenden der X. Etage geäussert. Dies in einer Phase, in der in der Klinik allgemein über die Zusammenarbeit diskutiert wurde. Sie hat auch nach besagter Sitzung im April 2009 weiter über die von ihr behaupteten Missstände diskutiert und in diesem Zusammenhang auch eine Arbeitskollegin um Übersetzung ihres Schreibens gebeten, damit es - intern - breiter gestreut werden kann. Anfang Juli 2009 richtete sie an Dr. B direkt ein Schreiben, in welchem sie sein Verhalten anlässlich einer Visite ihr und - im Allgemeinen den Pflegenden gegenüber - scharf kritisierte.
Es muss einer Arbeitnehmerin in der Position der Beschwerdeführerin erlaubt sein, ihre Meinung kundzutun, umso mehr, als sie selbst von den von ihr behaupteten Missständen betroffen ist (vgl. zur Meinungsäusserungsfreiheit im privatrechtlichen Arbeitsverhältnis BG-Urteil 4A_432/2009 vom 10.11.2009, E. 2.2.2). Zudem hat sich die Beschwerdeführerin nur im innerdienstlichen Bereich geäussert, etwas anderes wird von der Vorinstanz denn auch nicht geltend gemacht. Die Interessen der Vorinstanz an einem gut funktionierenden Klinikbetrieb waren durch diese Äusserungen der Beschwerdeführerin offenbar nie gefährdet. Beachtlich ist diesbezüglich auch, dass sich die Vorinstanz in einem Entwicklungsprozess mit den Mitarbeitenden befand und im Rahmen eines solchen es für eine Veränderung unabdingbar ist, dass sich die Mitarbeitenden offen und ohne Angst vor Sanktionen äussern können. Nicht belegt ist zudem die Aussage der Vorinstanz, die Beschwerdeführerin habe geradezu "negativ missionieren" wollen. Auch wenn die Arbeitssituation sicherlich nicht von allen Mitarbeitenden im gleichen Masse negativ empfunden wurde wie von der Beschwerdeführerin, scheinen aber zumindest auf der X. Etage gewisse Schwierigkeiten bestanden zu haben, weshalb die von der Beschwerdeführerin und einem Teil ihrer Kollegen und Kolleginnen vorgebrachte Kritik allenfalls auch im Interesse der Vorinstanz gelegen haben könnte (vgl. Faner, Besprechung Urteil Bundesgericht vom 19.12.2000 M. c. R., in: AJP 6/2001, S. 712).
f/aa) Die Vorinstanz macht zusätzlich geltend, die Beschwerdeführerin habe an der Kritik gemäss ihrem Schreiben vom 22. April 2009 festgehalten, obwohl bereits Massnahmen zur Behebung der Probleme getroffen worden seien. Die Beschwerdeführerin sei aber nicht bereit gewesen, an Lösungen mitzuarbeiten und diese mitzutragen. Mit ihrem Verhalten habe sie eine konstruktive Zusammenarbeit verunmöglicht. Sie weist zudem den Vorwurf der Beschwerdeführerin, ihr sei aus persönlichen Gründen irgendwelcher Beteiligten gekündigt worden, zurück, merkt aber auch an, dass ihr keine beruflichen Fehler vorgeworfen würden.
Die Beschwerdeführerin bestreitet das ihr vorgeworfene mangelhafte Verhalten. Die Vorinstanz vermöge denn auch nicht aufzuzeigen oder zu belegen, gegen welche konkreten Verhaltensvorschriften, Vereinbarungen oder gar Anweisungen sie verstossen habe. Sie habe zudem nur aus Respekt gegenüber den betroffenen Personen, die im Schreiben vom 22. April 2009 genannten negativen Punkte nicht mit konkreten Beispielen benannt, sondern stattdessen vorgeschlagen, eine Arbeitsgruppe zu bilden, um die vorgebrachten Kritikpunkte aufzuarbeiten. Zudem wäre sie bereit gewesen, ergänzende Erklärungen zu den negativen Punkten zu beschaffen. Es hätten im Übrigen nur zwei Sitzungen stattgefunden, um eine Verbesserung der Situation zu diskutieren. Bemängelt worden sei dabei in erster Linie nur ihre Zusammenarbeit im Zusammenhang mit der Weiterverbreitung des Dokuments.
bb) Wie bereits ausgeführt, kann der Beschwerdeführerin durch ihr Bestreben, das Dokument übersetzen zu lassen und intern weiter zu verbreiten, kein Vertrauensbruch vorgeworfen werden. Sie hat einzig an den von ihr vorgebrachten Kritikpunkten festgehalten. Dass sie sich geweigert hätte, an getroffenen Massnahmen mitzuarbeiten bzw. diese mitzutragen, kann den Vorbringen der Vorinstanz nicht entnommen werden. Die Vorinstanz äussert sich denn auch nicht zu allfällig getroffenen Lösungen, sie erwähnt einzig durchgeführte Einzelgespräche mit Mitarbeitenden der Pflege. Inwiefern konkret die Beschwerdeführerin eine konstruktive und lösungsorientierte Zusammenarbeit verunmöglichte, legt die Vorinstanz nicht dar.
Immerhin ist aber darauf hinzuweisen, dass die Beschwerdeführerin sich sowohl im streitbetroffenen Schreiben vom 22. April 2009 wie auch in ihrer Stellungnahme vom 7. Juli 2009 an die Adresse des Chefarztes teilweise im Ton vergriff. Auch zeugt ihr Festhalten an der Verbreitung des Dokuments zumindest von einer gewissen Unflexibilität bezüglich ihrer Standpunkte, und es stellt sich auch unter Beachtung ihrer übrigen Stellungnahmen/Eingaben tatsächlich die Frage, ob sie persönlich in der Lage ist, sich auf einen Prozess zur Verbesserung der Zusammenarbeit einzulassen, der nicht genau ihren Vorstellungen entspricht. Anstatt der Beschwerdeführerin konkrete, zulässige und insbesondere auch überprüfbare Vorgaben zu machen, deren Befolgung zu kontrollieren und sie im Unterlassungsfall unter Androhung von disziplinarischen Massnahmen abzumahnen, hat sich die Vorinstanz aber auf die Übersetzung und Verbreitung des Dokuments vom 22. April 2009 versteift, womit sie diesem eine überhöhte Bedeutung beigemessen hat. Die Entlassung der Beschwerdeführerin erweist sich damit in ihrem Zeitpunkt zumindest als verfrüht, hat die Vorinstanz die Beschwerdeführerin damit doch auch der Gelegenheit beraubt, den von ihr geltend gemachten Willen zur konstruktiven Zusammenarbeit nachzuweisen.
g) Die Kündigung verletzt damit auch das Gebot der Verhältnismässigkeit: Die Vorinstanz konnte vor allem nicht nachweisen, dass nicht auch ein milderes Mittel, wie z.B. eine Mahnung oder Verwarnung der Beschwerdeführerin zum Ziel geführt hätte. Bei der Interessenabwägung ist insbesondere zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführerin bezüglich ihrer Leistungen keine Vorwürfe gemacht werden können, ihre Chance, im Alter von fast X Jahren eine neue adäquate Arbeit zu finden, als schwierig einzustufen ist und sie die Kündigung entsprechend hart trifft.
h) Nach dem Gesagten erweist sich die Kündigung aufgrund des Fehlens eines sachlichen Grundes als materiell rechtswidrig. Ein grundlegender Vertrauensbruch, der eine Kündigung rechtfertigen würde, ist objektiv nicht erkennbar. Der Beschwerdeführerin werden zudem ausdrücklich keine Leistungsmängel oder sonstigen Pflichtverletzungen vorgeworfen. Im Übrigen erweist sich die Kündigung auch als unverhältnismässig.
5.- a) Zurückzukommen ist auf das in E. 3a erwähnte Erfordernis einer schriftlichen Mahnung, wenn ein Arbeitsverhältnis - wie hier - wegen Verhaltensmängel aufgelöst werden soll. Die Beschwerdeführerin rügt, sie habe nie eine solche schriftliche Mahnung erhalten, weshalb die Kündigungsvoraussetzungen gemäss § 18 lit. b PG nicht erfüllt seien.
Demgegenüber führt die Vorinstanz aus, die Beschwerdeführerin sei mehrmals darauf hingewiesen worden, das fragliche Schreiben vom 22. April 2009 nicht weiter verteilen bzw. übersetzen zu lassen. Zudem habe die Leiterin des Pflegedienstes im Protokoll der Sitzung vom 29. April 2009 unmissverständlich ihre Erwartungen bezüglich des Verhaltens der Beschwerdeführerin formuliert. Demnach seien Kritik direkt an die Leiterin des Pflegedienstes zu richten und keine Gerüchte in Umlauf zu setzen. Zudem sei bezüglich der Situation auf der X. Etage das Augenmerk auf die Zukunft zu richten, um eine fähige Gruppe Pflegender zu bilden.
b) Das Verwaltungsgericht hat schon mehrfach ausgeführt, dass auch Protokolle eines Mitarbeitergesprächs oder andere protokollarische Feststellungen im Anschluss an eine mündliche Unterredung für eine Mahnung genügen können, sofern sie die nötige Klarheit aufweisen und der Betroffenen übermittelt werden. Allerdings muss die Mahnung inhaltlich unmissverständlich auf die in § 18 lit. b PG angesprochenen Pflichtverletzungen, Leistungs- oder Verhaltensmängel Bezug nehmen. Zudem wird verlangt, dass für den Säumnisfall konkret die Entlassung in Aussicht gestellt wird. Zumindest muss für den Adressaten der Mahnung aus den gesamten Umständen klar erkennbar sein, dass er ohne Verhaltensänderung mit der Auflösung des Arbeitsverhältnisses zu rechnen hat (vgl. zum Ganzen LGVE 2004 II Nr. 4 E. 3c und d).
c) Diesen Anforderungen vermag das Protokoll der Sitzung vom 29. April 2009 nicht zu genügen. Die Pflegedienstleiterin hat zwar darin allgemein ihre Erwartungen formuliert. Inwiefern die Beschwerdeführerin bis zum Zeitpunkt der Entlassung konkret gegen diese verstossen haben sollte, wird jedoch weder im Kündigungsschreiben noch in den Rechtsschriften zur Beschwerde rechtsgenüglich dargelegt. Aus den formulierten Erwartungen ist denn auch nicht klar ersichtlich, welche Leistungs- oder Verhaltensmängel bzw. Pflichtverletzungen der Beschwerdeführerin selbst nun konkret vorgeworfen werden. Zudem geht aus dem Protokoll in keiner Weise hervor, dass im Falle des Fehlens von Verhaltensänderungen die Beschwerdeführerin mit einer Kündigung rechnen musste. Über die Sitzung vom 8. Juni 2009 wurde kein Protokoll verfasst. Die Aktennotiz zu dieser Besprechung der Pflegedienstleiterin zuhanden der Personalleiterin erfüllt die vorgenannten Anforderungen offensichtlich ebenfalls nicht.
Folglich fehlt es an einer rechtsgenüglichen Mahnung im Sinne von § 18 lit. b PG, womit es auch an einer formellen Voraussetzung für die Kündigung fehlt.
6.- Bei diesem Ausgang des Verfahrens ist nur noch vollständigkeitshalber darauf hinzuweisen, dass fraglich ist, ob die Kündigung von der sachlich zuständigen Stelle ausgesprochen wurde. Der Entscheid über die Entlassung der Beschwerdeführerin wird eingeleitet mit dem Satz: "Dr. med. B, Chefarzt und Vorsitzender der Klinikleitung beschliesst, das Arbeitsverhältnis von A [...] zu beenden". Unterzeichnet ist das Entlassungsschreiben ebenfalls nur vom Chefarzt respektive in seiner Vertretung offenbar vom Leiter Betriebswirtschaft C. Wie erwähnt ist gemäss § 11 Abs. 2 PR LUKS (E. 1a) für Entlassungen von Mitarbeitenden der Direktor oder die Direktorin des Luzerner Kantonsspitals oder aber - von dieser/m delegiert - der Personaldienst zuständig.
Da die Verwaltungsgerichtsbeschwerde jedoch ohnehin gutzuheissen ist, erübrigen sich diesbezüglich weitere Abklärungen. Im Übrigen auch, weil die Beschwerdeführerin die Unzuständigkeit der entscheidenden Stelle nicht rügte und sich aus den Akten immerhin ergibt, dass die Leiterin Personal zumindest phasenweise ins Entlassungsverfahren involviert wurde, sie insbesondere über die Kündigungsabsicht der Klinikleitung informiert war (vorinstanzl. Bel. 7). Denn selbst wenn mangels Zuständigkeit von einer ursprünglich fehlerhaften Verfügung zu sprechen wäre, wären im vorliegend zu beurteilenden Fall die Voraussetzungen für eine von Amtes wegen zu berücksichtigende Nichtigkeit derselben nicht erfüllt. Insbesondere liegt nicht zusätzlich eine Verletzung des rechtlichen Gehörs vor (vgl. dazu LGVE 2005 II Nr. 2).
7.- Zusammenfassend ist festzuhalten, dass der angefochtene Entscheid § 18 lit. b PG verletzt. Es fehlt an einem genügenden sachlichen Grund für die Entlassung der Beschwerdeführerin. Ein grundlegend gestörtes Vertrauensverhältnis, welches die Auflösung des Arbeitsverhältnisses zum damaligen Zeitpunkt gerechtfertigt hätte, ist objektiv nicht erkennbar und Leistungsmängel werden der Beschwerdeführerin nicht vorgeworfen. Zudem erfüllt die Kündigung die formellen Anforderungen nicht. Es fehlt eine rechtsgenügliche schriftliche Mahnung, womit der Beschwerdeführerin die Gelegenheit genommen wurde, sich während der Frist zu bewähren. Somit erweist sich die Kündigung vom 30. Juli 2009 als formell und materiell rechtswidrig.
8.- Die Beschwerdeführerin beantragt des Weiteren eine öffentliche Verhandlung nach EMRK, begründet ihren Antrag aber nicht näher. Die Vorinstanz widersetzt sich diesem Antrag.
Die Beschwerdeführerin dringt mit ihren Anträgen durch, womit davon auszugehen ist, dass ihr Interesse an einer öffentlichen Verhandlung dahinfällt und darauf verzichtet wird.
9.- a) Die Beschwerdeführerin obsiegt und hat keine Kosten zu tragen. Das Luzerner Kantonsspital gilt seit dem 1. Januar 2007 als selbständige öffentlich-rechtliche Anstalt. Es handelt sich dabei um ein dem Kanton nachgeordnetes Gemeinwesen im Sinne von § 199 Abs. 2 und 3 VRG (vgl. § 1 Abs. 1 lit. d VRG), womit dem Kantonsspital im vorliegenden Verfahren keine Parteistellung zukommt, sondern es als Vorinstanz am Verfahren mitwirkt. Daher fällt eine Kostenbelastung gestützt auf § 199 Abs. 2 VRG ausser Betracht (vgl. Urteil V 07 172 vom 3.3.2008, E. 5). Hingegen können dem Kantonsspital gemäss § 199 Abs. 3 und § 201 Abs. 2 VRG amtliche Kosten sowie eine Parteientschädigung auferlegt werden, wenn seiner Behörde (vgl. § 2 Abs. 1 VRG) grobe Verfahrensmängel oder offenbare Rechtsmängel zur Last fallen. Die unterlassene Mahnung ist - aufgrund des klaren Wortlauts von § 18 lit. b PG sowie der diesbezüglich konstanten und publizierten Rechtsprechung des Verwaltungsgerichts - als grober Verfahrensmangel zu bezeichnen. Hingegen ist bei der materiellen Rechtswidrigkeit der Kündigung nicht von einer offenbaren Rechtsverletzung auszugehen. Deshalb rechtfertigt es sich, dem Luzerner Kantonsspital respektive der X reduzierte amtliche Kosten in der Höhe von Fr. x.-- aufzuerlegen. Aus dem gleichen Grund schuldet die Vorinstanz der Beschwerdeführerin eine reduzierte Parteientschädigung (§ 193 Abs. 3 VRG), die ermessensweise auf Fr. x.-- (inkl. Auslagen und Mehrwertsteuern) festgesetzt wird.
b) Für das zulässige Rechtsmittel an das Bundesgericht ist davon auszugehen, dass der Streitwert im vorliegenden Fall mehr als Fr. 15'000.-- beträgt (vgl. Art. 51 und 85 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über das Bundesgericht vom 17.6.2005 [Bundesgerichtsgesetz; BGG; SR 173.110]; vgl. auch LGVE 2006 II Nr. 4 E. 5).