Aus den Erwägungen:
a) Weder nach öBG noch nach IVöB kommt der Beschwerde von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zu (§ 31 Abs. 1 öBG bzw. Art. 17 Abs. 1 IVöB). Beide Erlasse sehen aber die Erteilung der aufschiebenden Wirkung von Amtes wegen vor (§ 31 Abs. 2 öBG bzw. Art. 17 Abs. 2 IVöB), wie dies im vorliegenden Fall auch mit Verfügung vom 24. Februar 2003 geschehen ist. Unterschiedlich sind nun aber die Folgen eines Vertrages mit dem in der Zuschlagsverfügung berücksichtigten Anbieter, welcher vor dem gerichtlichen Erlass über die Anordnung der aufschiebenden Wirkung abgeschlossen wird. Gemäss öBG ist ein solcher Vertragsabschluss - unter dem Risiko späteren Schadenersatzes - zulässig (Botschaft B 112 zum öBG, in: GR 1998 S. 314, 978, 1333). Anders sieht die Situation im Anwendungsbereich der IVöB aus, welche in Art. 14 einen Vertragsabschluss nicht zulässt, bevor nicht klar ist, ob der Beschwerde von Amtes wegen aufschiebende Wirkung zukommt (vgl. Urteil F. vom 13.6.2003 Erw. 5a [V 03 53]). In jedem Fall ist jedoch nach dieser Bestimmung der Vertragsschluss vor Ablauf der Rechtsmittelfrist untersagt. Diese Bestimmung wird hier durch den verfrühten Vertragsabschluss verletzt.
b) Es stellt sich nun die Frage nach dem Schicksal des verfrüht abgeschlossenen Vertrages. Die Vergabeerlasse schweigen sich diesbezüglich aus. Art. 22 Abs. 1 des Bundesgesetzes über das öffentliche Beschaffungswesen vom 16. Dezember 1994 (BoeB; SR 172.056.1) sieht eine mit Art. 14 IVöB vergleichbare Regelung vor. So darf gemäss Rechtsprechung der Rekurskommission des Bundes der Vertrag erst abgeschlossen werden, wenn feststeht, dass keine Beschwerde erhoben wurde, oder eine Beschwerde erhoben wurde, in welcher die aufschiebende Wirkung nicht beantragt wird, oder wenn ein Gesuch um aufschiebende Wirkung abgelehnt worden ist. Die aufschiebende Wirkung von Amtes wegen ist in Art. 28 BoeB nicht vorgesehen. Die Rekurskommission stellt sich nun auf den Standpunkt, dass der in Verletzung von Art. 22 BoeB verfrüht abgeschlossene Vertrag nichtig im Sinne von Art. 20 OR sein kann. Wenn sich der Zuschlag aber als begründet erweist, wird eine Vertragsnichtigkeit als unverhältnismässig abgelehnt (VPB 62.32II). In einem Fall, in dem das Verwaltungsgericht Freiburg über ein Gesuch betreffend aufschiebender Wirkung entscheiden musste, hielt es fest, dass aufgrund einer prima-facie-Würdigung die Nichtigkeit des Vertrages nicht ausgeschlossen sei. Würde man nämlich trotz des klaren Wortlautes des Gesetzes den Abschluss des Vertrages während der Rechtsmittelfrist zulassen, verkäme Art. 14 IVöB zur Farce (BR 1999 S. 60 S18). Das Verwaltungsgericht St. Gallen hingegen lehnt es mit Berufung auf Gauch ab, den verfrüht abgeschlossenen Beschaffungsvertrag als nichtig zu qualifizieren. So wird ausgeführt: "Ob ein zivilrechtlicher Vertrag nichtig ist, beurteilt sich grundsätzlich nach dessen Inhalt. Die Vorinstanz hat zwar gegen eine objektive Norm des öffentlichen Rechts verstossen, indem sie den Vertrag abgeschlossen hat, bevor sie ihn nach dem zwingend anwendbaren Vergaberecht hätte abschliessen dürfen. Ein inhaltlicher Mangel, der den Vertrag nach Art. 20 OR nichtig machen könnte, liegt jedoch nicht vor. Im Übrigen enthält das sanktgallische Beschaffungsrecht keine spezialgesetzliche Bestimmung, welche an eine fehlerhafte Zuschlagsverfügung die Rechtsfolge der Vertragsnichtigkeit knüpft. Der Gesetzgeber hat vielmehr in Abweichung von den allgemeinen Grundsätzen des Verwaltungsjustizverfahrens entschieden, dass einem Rechtsmittel keine aufschiebende Wirkung zukommt und ein Vertrag grundsätzlich bereits vor Eintritt der Rechtskraft des Zuschlags abgeschlossen werden kann" (GVP-SG 2001 S. 71; Gauch, Zur Nichtigkeit eines verfrüht abgeschlossenen Beschaffungsvertrages, in: BR 1998 S. 119 f.).
In einem neueren Aufsatz lehnt Gauch immer noch die Folge der Vertragsnichtigkeit eines verfrüht abgeschlossenen Vertrages bei fehlerhaftem Zuschlag ab. Seiner Ansicht nach muss sich aber die Vergaberechtswidrigkeit des verfrühten Abschlusses auf die Gültigkeit des Beschaffungsvertrages auswirken, wenn das verletzte Abschlussverbot seinen Zweck erfüllen soll. Er schlägt deshalb vor, dass der verfrüht und deshalb rechtswidrig abgeschlossene Vertrag für beide Parteien unwirksam bleibt, seine Ungültigkeit aber ohne weiteres geheilt wird, wenn und sobald die Erlaubniswirkung des Zuschlags und damit die Erlaubnis zum Vertragsabschluss eintritt. Das heilende Ereignis kann z.B. darin bestehen, dass nach dem verfrühten Abschluss des Vertrages die Beschwerdefrist ohne Einreichung einer Beschwerde abläuft oder allfälligen Beschwerden die aufschiebende Wirkung versagt bleibt, immer vorausgesetzt, dass das anwendbare Vergaberecht den Vertragsabschluss ab dem betreffenden Zeitpunkt erlaubt (Gauch, Der verfrüht abgeschlossene Beschaffungsvertrag, in: BR 2003 S. 7 f.). Dieser Vorschlag ähnelt der Lösung des Verwaltungsgerichts Aargau, gemäss welchem die vergaberechtliche Erlaubnis zum Vertragsabschluss nach dem Submissionsdekret eine öffentlich-rechtliche Wirksamkeitsvoraussetzung im Sinne einer Rechtsbedingung darstellt, vor deren Eintritt sich der Vertrag in einem Schwebezustand befindet (AGVE 2001 S. 329 f.).
Stellt die Beschwerdeinstanz fest, dass der Beschaffungsvertrag zu früh abgeschlossen wurde und seine Ungültigkeit noch nicht geheilt ist, so steht gemäss Gauch nichts im Weg, dass sie den angefochtenen Zuschlag bei begründeter Beschwerde aufhebt. Da es im betreffenden Zeitpunkt keinen wirksamen Beschaffungsvertrag gibt, scheitert die Aufhebung des Zuschlages auch nicht daran, dass der abgeschlossene Vertrag fortgelten würde (Gauch, a.a.O., in: BR 2003 S. 7).
c) Unabhängig davon, ob man nun den verfrüht abgeschlossenen Vergabevertrag als nichtig, bis zum Eintreffen der Erlaubniswirkung des Zuschlages als unwirksam bzw. als bedingt abgeschlossen qualifiziert, ist die Aufhebung des Zuschlages gemäss obgenannter Lehre und Rechtsprechung noch möglich. Nur mit dieser Praxis lässt sich verhindern, dass die Regelung von Art. 14 IVöB unterlaufen werden könnte. Das Verwaltungsgericht kann sich daher dieser überzeugenden Auffassung anschliessen. Deshalb ist im vorliegenden Fall die Zuschlagsverfügung aufzuheben. Im Geltungsbereich des IVöB kann das Gericht nicht nur die angefochtene Zuschlagsverfügung aufheben, sondern sogar in der Sache selbst entscheiden oder sie an die Auftraggeberin mit oder ohne verbindliche Anordnungen zurückweisen (Art. 18 Abs. 1 IVöB). Hier drängt sich indessen lediglich die Aufhebung der Zuschlagsverfügung und die Rückweisung zur Neuüberprüfung auf. Dies einerseits, weil das Gericht keine eigene Bewertung vorgenommen hat und andererseits, weil das Angebot der zweitplatzierten Firma nicht in die Prüfung miteinbezogen wurde.