Aus den Erwägungen:
2.- b) Ein schutzwürdiges Interesse ist im Beschaffungsverfahren nach Lehre und Rechtsprechung (vgl. Rechtsprechungsübersicht von Wolf, Die Beschwerde gegen Vergabeentscheide, in: Vergabetagung 02, Institut für Schweizerisches und internationales Baurecht, Universität Freiburg, 29.8.2002) in der Regel und gemäss Luzerner Praxis nur dann gegeben, wenn die Beschwerdeführerin im Falle einer Aufhebung des Zuschlags Chancen hätte, diesen selber zu erhalten. Denn das Interesse muss ein individuelles und aktuelles sein; die Wahrung öffentlicher oder ideeller Interessen reicht zur Legitimation nicht aus (Urteil der Eidgenössischen Rekurskommission für das öffentliche Beschaffungswesen [BRK] vom 4.8.1998, in: BR 1999 S. 54 Nr. S4), ebenso wenig die Verfolgung von Drittinteressen. Die Beschwerdelegitimation ist daher nicht schon gegeben, wenn eine Anbieterin rügt, die berücksichtigte Anbieterin habe mehrere gesetzliche Vorschriften missachtet. Nach dem Gesagten ist die Legitimation nur zu bejahen, wenn die Rügen der Beschwerdeführerin - sofern sie sich als zutreffend erweisen - den Entscheid zu ihren Gunsten beeinflussen können. Soweit sie hingegen auf Mängel der Vergabe hinweist, die nicht kausal dafür waren, dass ihr Angebot unberücksichtigt blieb, so verficht sie keine eigenen aktuellen Interessen und ist mit dem Einwand nicht zu hören (Wolf, Die Beschwerde gegen Vergabeentscheide - Eine Übersicht über die Rechtsprechung zu den neuen Rechtsmitteln, in: ZBl 2003 S. 11 ff.; im gleichen Sinne auch Urteile A. vom 3.2.2003 und H. vom 18.4.2002).
Gleiches gilt für den Fall, dass der Vertrag bereits abgeschlossen ist und das Gericht nur noch die allfällige Rechtswidrigkeit der Zuschlagsverfügung feststellen kann. Denn diese Beurteilung erfolgt entgegen der von der Beschwerdeführerin vertretenen Ansicht nicht aus einem Selbstzweck heraus, sondern im Hinblick auf potentiellen Schadenersatz. Ein solcher ist nur zu leisten, wenn zwischen der Rechtswidrigkeit einer Zuschlagsverfügung und dem Schaden einer Anbieterin ein adäquater Kausalzusammenhang besteht. Hätte die Anbieterin auch bei korrektem Vorgehen der Vergabeinstanz den Zuschlag nicht erhalten, so ist dieser adäquate Kausalzusammenhang und folglich auch ein schutzwürdiges Interesse zu verneinen.
(...)
5.- Entsprechend der bisherigen Praxis des Verwaltungsgerichts, an der grundsätzlich festzuhalten ist, werden die Verfahrenskosten in sinngemässer Anwendung der §§ 193 ff. VRG auch im Vergabeverfahren grundsätzlich zugunsten der obsiegenden der unterliegenden Partei auferlegt (vgl. aber LGVE 2000 Nr. 51, wo das Gericht zufolge mangelhaft begründeter Zuschlagsverfügung der Beschwerdeführerin trotz Beschwerderückzugs eine Parteientschädigung zusprach). Demnach hat die unterliegende Beschwerdeführerin die amtlichen Kosten zu tragen und dem durch einen Anwalt vertretenen Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung zu vergüten (§§ 198 Abs. 1 lit. c und 201 Abs. 1 VRG).
Die bisherige Praxis bedarf jedoch, wenn wie im konkreten Fall eine Parteientschädigung zugunsten des Gemeinwesens geschuldet ist, einer Modifizierung. Gemäss der Praxis des Bundes und verschiedener Kantone lehnen diese es nämlich mehrheitlich ab, den Gemeinwesen Parteientschädigungen zuzusprechen. Dies mit der Begründung, ein Gemeinwesen nehme öffentliche Aufgaben wahr und/oder verfüge in der Regel über genügend sachverständige Dienststellen, sodass sich die anwaltliche Prozessvertretung erübrige (vgl. die Praxisübersicht in Galli/Moser/Lang, Praxis des öffentlichen Beschaffungsrechts, Zürich 2003, Rz. 722 ff., mit Hinweisen).
Die bisherige Vergabepraxis hat gezeigt, dass sich die angefochtene Zuschlagsverfügung regelmässig als ungenügend oder zumindest als unvollständig begründet erweist. Da sich eine sachgerechte Begründung, weshalb die berücksichtigte und nicht irgend eine andere Anbieterin den Zuschlag erhalten hat, gar nicht ohne unverhältnismässigen Aufwand erstellen lässt, ist eine mangelhafte Begründung zwar nicht immer dem Gemeinwesen als Versäumnis anzulasten. Dennoch hat aber grundsätzlich jede nicht berücksichtigte Anbieterin Anspruch auf eine sachgerechte Begründung. Häufig übernimmt im Vergabeverfahren die Vernehmlassung der Vergabeinstanz im Rahmen der gerichtlichen Überprüfung des Vergabeentscheids diese Funktion. Insofern bildet die Vernehmlassung Teil des üblichen Verwaltungsauftrags der Behörden innerhalb der ihnen zur Erfüllung übertragenen öffentlichen Aufgaben. In diesem Sinne erscheint es angezeigt, die grundsätzlich vom Unterliegerprinzip beherrschte Kostenverlegung dahingehend zu modifizieren, als der anwaltliche Aufwand für die Ausarbeitung der Vernehmlassung, Sonderfälle vorbehalten, nicht zu entschädigen ist, wohl aber derjenige für eine allenfalls notwendige Duplik. (...)
Die staatsrechtliche Beschwerde gegen dieses Urteil wurde vom Bundesgericht am 6. Februar 2004 abgewiesen.