Aus den Erwägungen:
a) Für die öffentlich-rechtlichen Dienstverhältnisse der Mitarbeiter des Kantons und seiner rechtsfähigen Anstalten gilt das kantonale Gesetz über das öffentlich-rechtliche Dienstverhältnis (Personalgesetz) vom 13. September 1988 (PG; SRL Nr. 51; vgl. § 2 Abs. 1 PG). Die übrigen Gemeinwesen, wozu namentlich die Gemeinden (§ 1 lit. e PG) und damit auch die Einwohnergemeinde Z zählen, können die öffentlich-rechtlichen Dienstverhältnisse ihrer Mitarbeiter durch rechtsetzende Erlasse selber regeln. Auch für die Gemeinden sind jedoch die §§ 86 ff. (Verfahren) 89 und 90 ff. (Rechtsschutz) des Personalgesetzes zwingend, soweit die öffentlich-rechtlichen Dienstverhältnisse nicht durch öffentlich-rechtlichen Vertrag geregelt werden (§ 2 Abs. 2 PG).
Die Gemeinde Z macht von diesem kantonalen Vorbehalt in ihrem Personalreglement (PR) Gebrauch. Dieses wurde am 20. Oktober 1998 vom Einwohnerrat Z erlassen und ist am 1. Januar 1999 in Kraft getreten. Es hält in Art. 38 unter der Überschrift «Verwaltungsgerichtliche Klage» Folgendes fest: Gegen die Gemeinde kann wegen der Verletzung des öffentlich-rechtlichen Arbeitsvertrages beim Verwaltungsgericht des Kantons Luzern Klage eingereicht werden (Abs. 1). Bevor die verwaltungsgerichtliche Klage eingereicht wird, soll das Schlichtungsverfahren gemäss Art. 37 PR durchgeführt werden (Abs. 2).
b) Die Beschwerdeführerin bringt hierzu vor, beim öffentlich-rechtlichen Anstellungsvertrag handle es sich entgegen seiner Bezeichnung als «Vertrag» um einen einseitigen zustimmungsbedürftigen Verwaltungsakt. Die Rechte und Pflichten der Beteiligten beruhten auf einschlägigen kantonalen und kommunalen Bestimmungen und seien der vertraglichen Disposition entzogen. Die Kündigung sei ein personalrechtlicher Entscheid. Für den Rechtsschutz würden daher die Bestimmungen des Personalgesetzes gelten.
Die Gemeinde Z bestreitet die Darstellung der Beschwerdeführerin nur sinngemäss und führt aus, bei der Kündigung würden keine Anforderungen an Form und Inhalt gestellt. Insbesondere werde hier keine schriftliche Begründung und Rechtsmittelbelehrung verlangt. In Art. 43 PR werde zudem subsidiär auf die arbeitsrechtlichen Bestimmungen des Obligationenrechts verwiesen.
c) Es kann hier offen bleiben, ob die Bestreitung der Gemeinde Z unter allen Aspekten in genügender Weise erfolgt ist, denn das Verwaltungsgericht prüft von Amtes wegen, ob es auf die beiden Verwaltungsgerichtsbeschwerden eintreten kann (§ 107 Abs. 1 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege vom 3.7.1972 [VRG; SRL Nr. 40]). Erste Voraussetzung hierfür ist eine Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts zur Beurteilung einer Verwaltungsgerichtsbeschwerde in der vorliegenden Streitsache.
d) Der kantonale Vorbehalt gemäss § 2 Abs. 2 PG bezüglich Verfahren und Rechtsschutz zu Gunsten von kommunalen Regelungen für Dienstverhältnisse, die durch öffentlich-rechtliche Verträge geregelt werden, wurde erst auf die zweite Beratung im Grossen Rat hin durch die Kommission eingebracht. Begründet wurde dieser Antrag mit dem Anliegen der Stadt Luzern und der Gemeinde Kriens, ihre Dienstverhältnisse durch Vertrag und nicht durch Verfügung regeln zu können. Es wurde im Rat aber ebenso ein Gegenantrag auf Beibehaltung der bisherigen zwingenden Regelung betreffend Verfahren und Rechtsschutz auch für die Gemeinden gestellt, der von verschiedener Seite unterstützt wurde. Die Regierung stand dem Kommissionsantrag neutral gegenüber, führte indessen aus, wenn den Gemeinden einerseits der Grundsatz zugestanden werde, ihre Besoldungssysteme selber regeln zu können, müsse ihnen andererseits auch der nötige Gestaltungsspielraum geboten werden. Die Gemeinden müssten aber auch die Konsequenzen selber tragen. Schliesslich stimmte der Rat dem Kommissionsantrag ausdrücklich zu (GR 1997 370 ff.). Diese Beschlussfassung zeigt deutlich auf, dass der kantonale Gesetzgeber den Gemeinden und Gemeindeverbänden mit Blick auf Verfahren und Rechtsschutz bezüglich öffentlich-rechtlicher Anstellungsverträge den nötigen Freiraum für eigene kommunale Regelungen überlassen wollte, die sich durchaus von der gesetzlichen Regelung im kantonalen Personalgesetz sollten unterscheiden dürfen. Diesen Freiraum hat die Gemeinde Z zu Gunsten des verwaltungsgerichtlichen Klageverfahrens gestützt auf die in § 2 Abs. 2 PG als Vorbehalt ausgestaltete kantonale Kompetenznorm genutzt.
e) Nach Art. 2 Abs. 2 PR ist das Personalreglement nicht auf Lehrpersonen anwendbar. Damit ist die Frage zu prüfen, ob die Beschwerdeführerin als Musiklehrerin eine Lehrperson im Sinne dieser Bestimmung darstellt. Sie selbst äussert sich zu dieser Frage nicht ausdrücklich. Die Gemeinde Z stellt in allgemeiner Art fest, dass die Musikschullehrer aufgrund ihrer besonderen Beschäftigungsverhältnisse nicht unter die Kategorie der Lehrpersonen im Sinne des Gesetzes über die Volksschulbildung vom 22. März 1999 (VBG; SRL Nr. 400a) fallen würden.
Die Gemeinde Z kennt im Personalreglement und der Verordnung hierzu keine eigene Umschreibung des Begriffs einer Lehrperson. Im übergeordneten kantonalen Gesetzgebungsverfahren hingegen sind in dieser Richtung wiederholt massgebliche Entscheidungen gefallen. Diese erscheinen umso bedeutsamer, als die Musikschulen als eigenständige Organisationen im Kanton Luzern auf eine bedeutende Tradition zählen können (GR 1997 1410), die in ihrem rechtlichen Gehalt durch die genannten Entscheidungen bestätigt und nicht etwa geändert wurde. So lehnte der Grosse Rat im Zuge der Revision des Volksschulbildungsgesetzes am 27. Oktober 1998 die damals vom Regierungsrat und von der vorberatenden Kommission beantragte Integration der Musikschule in die Volksschule ausdrücklich ab (GR 1998 1500); das entsprechende Gesetz wurde anschliessend in der Referendumsabstimmung vom 12. September 1999 vom Volk angenommen.
In seiner Botschaft zur Revision des Personalgesetzes vom 19. September 2000 zeigte der Regierungsrat auf, dass zwar die Lehrpersonen und die Fachpersonen für schulische Dienste neu diesem Gesetz unterstellt werden sollten. Er hielt aber fest, dass die übrigen Gemeinwesen - also auch die Gemeinden - weiterhin für ihre Mitarbeiter abweichende Bestimmungen erlassen könnten. Diese regierungsrätliche Feststellung betraf u.a. die Dienstverhältnisse der Angestellten, die in Zusatzangeboten der Volksschulen (z.B. Musikschulen) tätig waren (GR 2001 446). In der nachfolgenden grossrätlichen Beratung wurde diese regierungsrätliche Konzeption bestätigt und ein Antrag aus der Ratsmitte, auch die Musikschullehrpersonen ausdrücklich in das Personalgesetz zu integrieren, wurde nach intensiver Beratung abgelehnt (GR 2001 517 ff., insbes. 521 f.). Ergänzend ist festzuhalten, dass im kantonalen Recht für die Musikschullehrpersonen im Gegensatz zu den Lehrpersonen der Volksschule kein Anforderungsprofil festgelegt wird (vgl. § 23 Abs. 3 VBG, GR 1997 1417 f.).
Schliesslich wurden mit den Musikschullehrpersonen der Gemeinde Z im Sinne des Gemeinderatsbeschlusses vom 26. Mai 1999 ab 1. September 1999 öffentlich-rechtliche Anstellungsverträge abgeschlossen, womit auch die Gemeinde dokumentierte, dass diesbezüglich ihr Personalreglement entgegen der Ausschlussbestimmung für Lehrpersonen in Art. 2 Abs. 2 PR Anwendung fand. Nach dem bereits über die erwähnten kantonalen Entscheide im Gesetzgebungsverfahren Ausgeführten war diese Auslegung des Gemeinderates zutreffend.
f) Der Anstellungsvertrag vom 17. September 1999 verweist in seiner Ziffer 21 unter dem Titel «Ergänzendes Recht» auf die einschlägigen rechtlichen Bestimmungen, insbesondere sinngemäss auf die Bestimmungen des Gesetzes über die Volksschulbildung und die dazugehörigen Ausführungsbestimmungen. Dieses Gesetz enthält zum einen keine personalrechtlichen Regelungen, zum andern hat es für die kommunalen Musikschulen keine Geltung (vgl. § 1 VBG und das bereits früher Gesagte). Hingegen findet bezüglich des Rechtsschutzes die Regelung von § 147 Abs. 3 ErzG weiterhin Anwendung (Ziff. V lit. b BVBG). Nach dieser Bestimmung ist gegen personalrechtliche Entscheide die Verwaltungsgerichtsbeschwerde zulässig, soweit sie das Personalgesetz vorsieht. Das Personalgesetz selber lässt nach dem bereits Gesagten die von der Gemeinde Z getroffene Regelung mit öffentlich-rechtlichem Vertrag und Klageweg zu.
g) Zusammenfassend hält das Personalreglement der Gemeinde Z bezüglich seiner Regelung des Rechtsschutzes vor dem kantonalen Recht stand. Stellt diese Musikschullehrpersonen durch öffentlich-rechtlichen Vertrag an, gelangt folglich das Klageverfahren zur Anwendung. Ein Verweis im Anstellungsvertrag auf ergänzendes Recht im vorerwähnten Sinne (Erw. 1f) führt zu keinem anderen Ergebnis.
a) Der hier in Frage stehende Anstellungsvertrag stellt einen verwaltungsrechtlichen oder im weiteren Sinne einen öffentlich-rechtlichen Vertrag dar. Er ist die auf übereinstimmenden Willenserklärungen von zwei oder mehreren Rechtssubjekten beruhende Vereinbarung, welche die Regelung einer konkreten verwaltungsrechtlichen Rechtsbeziehung, vor allem im Zusammenhang mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe, zum Gegenstand hat. Von der Verfügung unterscheidet er sich durch seine Zweiseitigkeit. Er beruht auf Zustimmung des beteiligten Gemeinwesens und des Privaten zur ausgehandelten Regelung und begründet gegenseitige Rechte und Pflichten der Vertragsparteien. Demgegenüber handelt es sich bei der Verfügung um eine einseitige, hoheitliche Anordnung des Gemeinwesens (Häfelin/Müller, Grundriss des Allgemeinen Verwaltungsrechts, 3. Aufl., Zürich 1998, Rz. 843 f.). Die Vertragsnatur ist auch gegeben, selbst wenn der Spielraum für Verhandlungen noch klein ist, denn es versteht sich von selbst, dass das öffentliche Dienstrecht der einzelvertraglichen Aushandlung in weniger weit gehendem Umfang zugänglich ist als das Arbeitsverhältnis zwischen einem privaten Arbeitgeber und seinen Arbeitnehmern. Die Verwaltung hat nach Massgabe von Gesetzen tätig zu werden, und die Rechte und Pflichten der Bediensteten müssen zu einem grossen Teil normativ festgelegt werden (Michel, Beamtenstatus im Wandel, Diss. Zürich 1998, S. 238; Richli, Öffentliches Dienstrecht im Zeichen des New Public Managements, Bern 1996, S. 56).
b) Der erwähnte Anstellungsvertrag regelt im Einzelnen u.a. die Tätigkeit der Beschwerdeführerin als Lehrperson für ein Musikinstrument, den Beginn des Anstellungsverhältnisses am 1. September 1999 und die schriftliche Kündigung, die Unterrichtsverpflichtung auf drei Wochenstunden, den Hinfall des Anspruchs auf Lohnzahlung bei Schüleraustritten, die Beitragssätze von 60% zu Lasten der Gemeinde Z und 40% zu Lasten der Beschwerdeführerin zu Gunsten der obligatorischen Versicherung für die berufliche Vorsorge und die Lohnzahlung bei Krankheit oder Unfall. Bei der Besoldung verweist er auf die kantonalen Richtlinien; bei den Ferien, der Unfallversicherung und der Lohnzahlung bei besonderen Ereignissen auf das Personalreglement, andere kommunale Regelungen oder Weisungen. Dieser ganz unterschiedliche Inhalt des Dokuments unterstützt dessen Natur als öffentlich-rechtlicher Vertrag, zumal diese Rechtsform in Art. 3 Abs. 1 PR auch als grundsätzliche Regelung für das Dienstverhältnis zwischen der Gemeinde und ihrem Personal vorgesehen ist. Der Verweis auf ergänzendes kantonales Recht bleibt nach dem früher Gesagten ohne Einfluss auf diese Beurteilung.
c) Der aufliegende Anstellungsvertrag ist nur seitens der Gemeinde Z und der Musikschule Z unterzeichnet, nicht aber von der Beschwerdeführerin. Einwendungen in dieser Richtung liegen seitens der Verfahrensbeteiligten indessen nicht vor.
Das Personalreglement und auch die dazugehörende Vollzugsverordnung legen für die Begründung des Anstellungsvertrages im Gegensatz zu dessen Kündigung, für die ausdrücklich die Schriftlichkeit vorgeschrieben ist, keine bestimmte Form fest (Art. 5 und 8 PR). Für einen solchen Fall gelten subsidiär die Bestimmungen des Schweizerischen Obligationenrechts (OR; SR 220) über den Arbeitsvertrag (Art. 319 ff. OR; vgl. Art. 43 PR). Durch diese Verweisung wird das Obligationenrecht zum öffentlichen Recht der Gemeinde Z und ist nach deren Regeln anzuwenden und auszulegen (Thomas Poledna, in: Helbling/Poledna [Hrsg.], Personalrecht des öffentlichen Dienstes, Bern 1999, S. 213 f.).
Nach Art. 320 OR bedarf der Einzelarbeitsvertrag zu seiner Gültigkeit keiner besonderen Form (Abs. 1); er gilt auch dann als abgeschlossen, wenn der Arbeitgeber Arbeit in seinem Dienst auf Zeit entgegennimmt, deren Leistung nach den Umständen nur gegen Lohn zu erwarten ist (Abs. 2). Der Anstellungsvertrag wurde von der Gemeinde und der Musikschule Z unterzeichnet; letztere setzte die Beschwerdeführerin vertragsgemäss ein und zahlte dieser für ihre Arbeit den entsprechenden Lohn. Damit galt der Anstellungsvertrag auch nach öffentlichem Recht in jedem Fall als ordnungsgemäss abgeschlossen.
An dieser Beurteilung vermag auch nichts zu ändern, dass die Gemeinde Z der Beschwerdeführerin am 25. Mai 2000 eine zweite Kündigung mit der Aufzählung der Kündigungsgründe und dem Hinweis auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde als Rechtsmittel zukommen liess. Diese Kündigung erfolgte nämlich unter ausdrücklichem Verweis auf die entsprechenden Rügen der Beschwerdeführerin in deren erster Verwaltungsgerichtsbeschwerde und daher rein vorsorglich.