Die Aufenthaltsbewilligungen der Beschwerdeführerin und ihrer Söhne wurden gestützt auf Artikel 38 Absatz 1 BVO erteilt. Diese Bestimmung hat den Zweck, das Zusammenleben der Familienangehörigen zu ermöglichen. Die Beschwerdeführerin und ihre Söhne leben seit 12. April 1999 von ihrem Ehegatten beziehungsweise von ihrem Vater getrennt. Damit ist eine der Voraussetzungen für die Bewilligung des Familiennachzugs, nämlich das Zusammenwohnen der Familie (Art. 39 Abs. 1 b BVO), sowie der Sinn und Zweck des Familiennachzugs dahingefallen. Warum die Familie nicht mehr zusammenlebt, spielt keine Rolle. Ebenso wenig ist relevant, von wem die Initiative ausging, den gemeinsamen Haushalt aufzugeben. Abzustellen ist einzig auf den Umstand, ob die Familie in einem gemeinsamen Haushalt lebt oder nicht. Die Aufenthaltsbewilligungen können daher grundsätzlich nicht mehr im Rahmen der Bestimmungen über den Familiennachzug verlängert werden.
Es ist zu prüfen, ob die Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin und ihrer Söhne dennoch verlängert werden kann. Nach konstanter Praxis im Kanton Luzern wird Personen, die sich im Rahmen des Familiennachzugs in der Schweiz aufhalten, eine selbständige Bewilligung erteilt, wenn sie während mindestens fünf Jahren im Rahmen des Familiennachzugs in der Schweiz lebten. Diese Voraussetzung ist bei der Beschwerdeführerin und ihren Söhnen nicht erfüllt. Die Beschwerdeführerin heiratete am 3. November 1995, und ihre Söhne wurden am 12. März 1997 in der Schweiz geboren. Die Voraussetzungen des Familiennachzugs fielen am 12. April 1999 grundsätzlich dahin, und die letzte Aufenthaltsbewilligung lief am 1. März 2000 ab.
In Ergänzung zu dieser Praxis kann eine Aufenthaltsbewilligung nebst dem in Erwägung 4 genannten Fall aber auch dann erteilt werden, wenn sich eine Person in der Schweiz ausserordentlich und dauernd integriert hat. Eine gefestigte Arbeitsstelle, das Beherrschen einer Landessprache und ein tadelloses Verhalten während der Anwesenheit genügen allein noch nicht für eine ausserordentliche und dauernde Integration. Dafür müssen vielmehr besondere Gründe und Beziehungen zur Schweiz gegeben sein.
5.1 Die Beschwerdeführerin lebt seit 1995 ununterbrochen in der Schweiz. Davor war sie von 1987 bis 1995 jeweils jährlich während 8 Monaten in der Schweiz als Tänzerin tätig. Insgesamt verfügt die Beschwerdeführerin über eine recht lange Aufenthaltsdauer in der Schweiz.
5.2 Die Beschwerdeführerin hat nach ihrer Heirat und nach der Geburt ihrer beiden Söhne weiter als Tänzerin an verschiedenen Orten in der Schweiz gearbeitet. Dass die Integration dadurch gefördert worden wäre, ist nicht erstellt. Am 16. Februar 1999 bewilligte ihr die Vorinstanz den Stellenantritt als Serviceangestellte im Restaurant ihres Ehemannes. Diese Stelle musste sie nach eigenen Angaben aufgeben, da ihr Ehemann das Restaurant nicht mehr betreibe. Zurzeit geht sie keiner Arbeit nach. Sie legte jedoch einen Arbeitsvertrag mit einer Tessiner Firma auf, wonach sie ab 1. Januar 2000 als Aussendienstmitarbeiterin im Multi-Level-Marketing (Verkauf und Kundenbetreuung) hätte arbeiten sollen. Die Beschwerdeführerin konnte diese Stelle mangels Bewilligung nicht antreten. Ob der Vertrag weiterhin aktuell ist, erscheint fraglich. Die Beschwerdeführerin hat neben ihrer Tätigkeit als Tänzerin kaum Berufserfahrung. Sie hat lediglich bei ihrem Ehegatten als Serviceangestellte gearbeitet. Sie verfügt über keine gefestigte Arbeitsstelle.
5.3 Die Beschwerdeführerin macht im Übrigen keine weiteren Gründe, warum sie in der Schweiz ausserordentlich und dauerhaft integriert sein sollte, und keine besonderen persönlichen Beziehungen zur Schweiz geltend. Solche ergeben sich auch nicht aus den Akten. Zusammenfassend ist somit festzuhalten, dass die Beschwerdeführerin zwar insgesamt eine relativ lange Anwesenheitsdauer in der Schweiz nachweisen kann, sie aber über keine gefestigte Arbeitsstelle verfügt und nicht als dauerhaft integriert angesehen werden kann. Ihr ist daher keine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.