Aus den Erwägungen:
Gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids durch die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde kann gemäss § 128 Abs. 4 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege (VRG; SRL Nr. 40) das gegen den Endentscheid zulässige Rechtsmittel ergriffen werden, hier die Verwaltungsgerichtsbeschwerde (§§ 156 ff. VRG) an das Kantonsgericht (Art. 450 Abs. 1 des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs [ZGB; SR 210]) in Verbindung mit § 53 des Einführungsgesetzes zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch [EGZGB; SRL Nr. 200] und Art. 450a Abs. 2 ZGB). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin ist nicht der subsidiäre Rechtsbehelf der Aufsichtsbeschwerde gegeben (§ 181 VRG; vgl. dazu LGVE 2017 VI Nr. 3 E. 1.1). Die falsche Bezeichnung der Eingabe schadet ihr jedoch nicht.
(…)
3.2.
Eine formelle Rechtsverweigerung liegt vor, wenn eine Behörde auf eine ihr frist- und formgerecht unterbreitete Sache nicht eintritt bzw. diese nicht behandelt, obschon sie darüber befinden müsste (vgl. BGE 135 I 6 E. 2.1, 134 I 229 E. 2.3). Eine Verwaltungsbehörde begeht mithin eine Rechtsverweigerung, wenn sie es ausdrücklich oder stillschweigend unterlässt, eine Entscheidung zu treffen, zu der sie verpflichtet wäre. Eine solche Verpflichtung kann sich aus dem einschlägigen Verfahrensrecht oder aus dem Verfassungs- bzw. Konventionsrecht ergeben (vgl. Steinmann, St. Galler Komm., 3. Aufl. 2014, Art. 29 BV N 18 ff.).
3.3.
Zur Beurteilung der Frage, ob die Beschwerdegegnerin in formelle Rechtsverweigerung verfallen ist, indem sie hinsichtlich der Ablehnung der Übernahme der von der KESB Y für A geführten Beistandschaft keine anfechtbare Verfügung erlassen hat, ist im Folgenden zu prüfen, ob eine Rechtsnorm besteht, aufgrund welcher sie verpflichtet wäre, in dieser Sache mittels Verfügung zu entscheiden. Dazu ist zunächst auf die einschlägige Zuständigkeitsordnung (vgl. Art. 442 Abs. 1 und 5 ZGB) einzugehen.
3.4.
3.4.1.
Die örtliche Zuständigkeit der Erwachsenenschutzbehörde richtet sich laut Art. 442 Abs. 1 ZGB grundsätzlich nach dem Wohnsitz der betroffenen Person. Ist ein Verfahren rechtshängig, so bleibt die Zuständigkeit bis zu dessen Abschluss auf jeden Fall erhalten. Wechselt eine Person, für die eine Massnahme besteht, ihren Wohnsitz, so übernimmt die Behörde am neuen Ort die Massnahme ohne Verzug, sofern keine wichtigen Gründe dagegen sprechen (Art. 442 Abs. 5 ZGB).
3.4.2.
Bei Begründung eines neuen Wohnsitzes wird eine bestehende Beistandschaft somit grundsätzlich unverzüglich an die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde am neuen Ort übertragen. Aus wichtigen Gründen kann ausnahmsweise von einer sofortigen Übertragung abgesehen werden. Mit dieser Regelung sollen die betroffenen Behörden die erforderliche Flexibilität erhalten, um auf die vielfältigen und unterschiedlichen Bedürfnisse des Alltags angemessen reagieren zu können. Den Behörden kommt daher beim Entscheid, wann eine Massnahme übertragen wird, ein gewisses Ermessen zu (vgl. Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht] vom 28.6.2006, in: BBl 2007 7075; BGer-Urteil 5A_483/2017 und 5A_484/2017 vom 6.11.2017 E. 2.1).
Wichtige Gründe nach Art. 442 Abs. 5 ZGB, welche den (gegebenenfalls einstweiligen) Verzicht auf eine Übertragung beziehungsweise die Verweigerung der Übernahme rechtfertigen, sind nur zurückhaltend anzunehmen (vgl. KOKES-Praxisanleitung Erwachsenenschutzrecht, Zürich/St. Gallen 2012, Rz. 1.129; BGer-Urteil 5A_483/2017 und 5A_484/2017 vom 6.11.2017 E. 2.3 mit Hinweisen). Das Erfordernis der Übertragung ohne Verzug ist im revidierten Recht auch aufgrund der massgeschneiderten Massnahmen notwendig, verliert doch die bisherige KESB, auch wenn die Massnahme noch nicht übertragen wurde, die örtliche Zuständigkeit zur Abänderung der Massnahme, wenn es sich um eine Verschärfung oder Erweiterung der Massnahme handelt (vgl. Vogel, Basler Komm., 6. Aufl. 2018, Art. 442 ZGB N 22; Affolter/Vogel, Berner Komm., Bern 2016, Art. 315-315b ZGB N 59 ff.). Eine notwendige Anpassung der Massnahme bei Übertragung ist – im Rahmen der Abklärungen für die Übernahme – durch die neue KESB vorzunehmen (vgl. Vogel, a.a.O., Art. 442 ZGB N 22). Ob wichtige Gründe gegen eine sofortige Übernahme sprechen, ist mit Blick auf die Interessen und das Wohl der betroffenen Person zu beurteilen (vgl. Häfeli, Wohnsitzwechsel der betreuten Person und Zuständigkeit der KESB, in: AJP 2016 337). Ein wichtiger Grund kann etwa darin liegen, dass die Massnahme ohnehin aufgehoben werden muss oder lediglich noch einzelne Geschäfte anfallen. Sodann kann auch die mangelnde Stabilität des neuen Aufenthaltsorts ein gewisses Zuwarten mit der Übertragung der Massnahme rechtfertigen. Gleiches gilt, wenn zustimmungsbedürftige Geschäfte anstehen und die bisherige Behörde bei komplexen Sachverhalten bereits in den Vorabklärungen involviert war (vgl. BGer-Urteil 5A_483/2017 und 5A_484/2017 vom 6.11.2017 E. 2.3 mit Hinweisen). Als wichtiger Grund für einen Aufschub der Übertragung wird in der Literatur auch die Prognose einer schwerwiegenden Destabilisierung der betroffenen Person durch den Verlust der bisherigen Beistandsperson als Vertrauensperson angesehen, sofern die Übertragung der Massnahme aus organisationsrechtlichen Gründen zwingend mit einem Beistandswechsel verbunden ist (vgl. KOKES-Praxisanleitung, a.a.O., Rz. 1.129).
3.4.3.
Nach dem Gesagten bildet die sofortige Übertragung der Massnahme die Regel. Die KESB am neuen Wohnsitz der betroffenen Person ist verpflichtet, die Massnahme zu übernehmen (so auch Vogel, a.a.O., Art. 442 ZGB N 21; KOKES-Praxisanleitung, a.a.O., Rz. 1.107). Sie kann die Übernahme nur aus wichtigen Gründen verweigern. Massgebend ist das Interesse der betroffenen Person. Wird – wie hier – die bevorstehende Aufhebung der Massnahme als Grund für ein Zuwarten mit der Übertragung angeführt, setzt dies klare Verhältnisse voraus. Ein wichtiger Grund ist in einem solchen Fall nur dann anzunehmen, wenn – wie es das Bundesgericht formuliert hat – "die Massnahme ohnehin aufgehoben werden muss" (vgl. BGer-Urteil 5A_483/2017 und 5A_484/2017 vom 6.11.2017 E. 2.3). Bestehen Zweifel, ist vom Regelfall der unverzüglichen Übernahme der Massnahme auszugehen.
3.5.
Für Kompetenzkonflikte hinsichtlich der örtlichen (oder sachlichen) Zuständigkeit im Sinne von Art. 442 Abs. 1 ZGB sieht das Gesetz in Art. 444 ZGB ein Verfahren zur Klärung vor. Demnach pflegt die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde bei Zweifeln an ihrer Zuständigkeit einen Meinungsaustausch mit der Behörde, deren Zuständigkeit in Frage kommt (Art. 444 Abs. 3 ZGB). Kann im Meinungsaustausch keine Einigung erzielt werden, unterbreitet die zuerst befasste Behörde die Frage ihrer Zuständigkeit der gerichtlichen Beschwerdeinstanz (Art. 444 Abs. 4 ZGB). Dieser Beschwerdeinstanz ist es gemäss BGE 141 III 84 indes verwehrt, eine bindende Anordnung über die Zuständigkeit einer ausserkantonalen Erwachsenenschutzbehörde zu treffen. Entschieden werden kann allein über die Zuständigkeit (bzw. Nichtzuständigkeit) der Behörde des eigenen Kantons. Soweit der Zuständigkeitskonflikt zwischen den beiden Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden trotz des Entscheids der gerichtlichen Beschwerdeinstanz gemäss Art. 444 Abs. 4 ZGB fortbestehen sollte – und folglich ein Übertragungsverfahren nicht durchgeführt werden könnte –, würde rechtsprechungsgemäss die Klage gemäss Art. 120 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetzes über das Bundesgericht (BGG; SR 173.110) offenstehen (vgl. BGE 141 III 84 mit weiteren Ausführungen zum Klageverfahren).
Offen ist hingegen, wie vorzugehen ist, wenn – wie hier – nicht die (örtliche oder sachliche) Zuständigkeit, sondern eine Frage des materiellen Rechts, konkret das Vorliegen wichtiger Gründe nach Art. 442 Abs. 5 ZGB, umstritten ist. In der Literatur wird darauf hingewiesen, dass sich die Behörden diesbezüglich auszutauschen haben und sich im Interesse der betroffenen Person verständigen sollen (vgl. Art. 444 Abs. 3 ZGB; Affolter-Fringeli, in: Fountoulakis und andere [Hrsg.], Fachhandbuch Kindes- und Erwachsenenschutzrecht, Zürich 2016, N 8.286). Als Lösungsweg wird auch auf das Verfahren nach Art. 444 Abs. 4 ZGB verwiesen (vgl. Wider, in: FamKomm. Erwachsenenschutz [Hrsg. Büchler/Häfeli/Leuba/Stettler], Bern 2013, Art. 442 ZGB N 7 f. und 24). Dieser Weg ist für die Klärung der hier strittigen materiellen Frage, ob wichtige Gründe gegen eine Übernahme ohne Verzug sprechen, hingegen nicht sachgerecht. Wie bereits erwähnt, könnte die ausserkantonal zuständige Beschwerdeinstanz sich lediglich über die örtliche und sachliche Zuständigkeit (bzw. Nichtzuständigkeit) der Behörde des eigenen Kantons aussprechen, hingegen letztlich nicht verbindlich darüber, ob die Berufung auf wichtige Gründe rechtens ist. Von daher wäre der Sache selber mit Erlass eines solchen Urteils nicht gedient und der gesetzlichen Vorgabe des unverzüglichen Handelns (in welcher Form auch immer) nicht Genüge getan. Wie dem Wortlaut von Art. 444 Abs. 4 ZGB zudem zu entnehmen ist, ist dieses Verfahren allein bei umstrittener Zuständigkeitsfrage vorgesehen.
Wie bereits dargelegt, gilt grundsätzlich das Prinzip der sofortigen Übertragung und Übernahme, wenn die Betreuung der betroffenen Person kein anderes Handeln erfordert (vgl. Affolter-Fringeli, a.a.O., N 8.285). Entsprechend ist die ersuchte Behörde gestützt auf Art. 442 Abs. 5 ZGB zur Übernahme der Massnahme verpflichtet, sofern sie nicht wichtige Gründe anführen kann, die ein Zuwarten mit der Übertragung rechtfertigen. Das Kantonsgericht unterstützt den in der Literatur gemachten Vorschlag, wonach die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörden einen Meinungsaustausch pflegen und sie sich im Interesse der betroffenen Person über die strittige Angelegenheit verständigen sollen. Führt dieser Meinungsaustausch nicht zu einer Lösung, ist der Konflikt in einem einfachen und raschen Klärungsverfahren auszutragen. Das Kantonsgericht spricht sich deshalb dafür aus, dass die Behörde, welche die Massnahme aus materiellen Gründen nicht übernehmen will, obwohl sie hierzu örtlich und sachlich zuständig wäre, eine anfechtbare Verfügung zu erlassen hat. In dieser Verfügung sind die wichtigen Gründe im Sinne von Art. 442 Abs. 5 ZGB darzulegen, wobei an dieser Stelle nochmals darauf hingewiesen wird, dass diesbezüglich ein strenger Massstab anzulegen ist (vgl. E. 3.4.2 und 3.4.3). Dieses Vorgehen greift schliesslich auch nicht in die Souveränität der Kantone ein. Gegenstand einer allfälligen Beschwerde gegen einen ablehnenden Entscheid wäre allein, ob die innerkantonale KESB die Übernahme der Massnahme zu Recht aus wichtigen Gründen im Sinne von Art. 442 Abs. 5 ZGB abgelehnt hat.
3.6.
Im hier zu beurteilenden Fall ist zu berücksichtigen, dass die örtliche (wie auch sachliche) Zuständigkeit der Beschwerdegegnerin im Sinne von Art. 442 Abs. 1 ZGB nicht bestritten ist. Die Parteien sind sich darüber einig, dass A ihren Wohnsitz seit 1. April 2018 in Z hat und die Beistandschaft in Z weiterzuführen ist, sofern die Massnahme nicht infolge Wegfalls der Gründe, die zu ihrer Errichtung geführt haben, aufzuheben ist. Bei dieser Sachlage liegt kein gewöhnlicher Zuständigkeitskonflikt vor, dessen Beurteilung davon abhängt, wo die Verbeiständete ihren Wohnsitz hat. Dieser steht fest. Entsprechend ist das Verfahren nach Art. 444 Abs. 4 ZGB für den vorliegenden Konflikt nicht massgebend. Entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin beschränkt sich der Streitgegenstand auch nicht auf die (formelle) Frage, welche der beiden Behörden die Aufhebung der Massnahme vorzunehmen hat. Vielmehr betrifft der Streit der Parteien die materielle, mit Blick auf die Interessen der betroffenen Person zu beurteilende Frage, ob wichtige Gründe im Sinne von Art. 442 Abs. 5 ZGB vorliegen. Solche sind – wie bereits erwähnt – zu bejahen, wenn die Massnahme ohnehin, mithin zweifelsfrei, aufzuheben ist. Ob dies der Fall sein kann, wenn sich die beteiligten Behörden über die Massnahmenbedürftigkeit nicht einig sind, ist höchst fraglich, braucht vorliegend aber nicht entschieden zu werden.
3.7.
Wie in Erwägung 3.5 ausgeführt, ist die Beschwerdegegnerin, sofern die Massnahme nicht übernommen wird, verpflichtet, die wichtigen Gründe gemäss Art. 442 Abs. 5 ZGB, welche gegen die Übernahme der Massnahme sprechen, in einem anfechtbaren Entscheid darzulegen. In diesem Sinne ist die Verwaltungsgerichtsbeschwerde gutzuheissen. Der entsprechende anfechtbare Entscheid ist innert 20 Tagen seit Zustellung des vorliegenden Urteils zu fällen.