Aus den Erwägungen:
3.3.
Per 1. Juli 2014 ist das neue Sorgerecht in Kraft getreten. Gemäss Art. 298b Abs. 2 des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs (ZGB; SR 210) verfügt die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde die gemeinsame elterliche Sorge, sofern nicht zur Wahrung des Kindeswohls an der alleinige elterlichen Sorge der Mutter festzuhalten ist. Der Inhalt der elterlichen Sorge hat sich grundsätzlich nicht verändert. Dazu gehören weiterhin Pflege und Erziehung (Art. 301 Abs. 1 ZGB), Ausbildung (Art. 302 Abs. 2 ZGB), Förderung und Schutz der körperlichen, geistigen und sittlichen Entfaltung (Art. 302 Abs. 1 ZGB), religiöse Erziehung (Art. 303 ZGB), der Entscheid über den Aufenthaltsort (Art. 301a Abs. 1 ZGB), Vertretung des Kindes (Art. 304 ZGB) und Verwaltung des Kindsvermögens (Art. 318 Abs. 1 ZGB). Neu ist das Aufenthaltsbestimmungsrecht zwingend Teil der elterlichen Sorge und kann nicht als Teil der Obhut einer Partei alleine zugewiesen werden (Art. 301a Abs. 1 ZGB). Gemeinsame elterliche Sorge bedeutet, dass die Eltern alles, was das Kind betrifft, im Prinzip gemeinsam regeln. Kein Elternteil hat dabei einen irgendwie gearteten Vorrang oder Stichentscheid. Auch erfolgt keine behördliche oder gerichtliche Intervention, wenn sich die Eltern nicht einigen können, es sei denn, der Konflikt der Eltern bedeute gleichzeitig eine Gefährdung des Kindeswohls (BBl 2011 S. 9106; Art. 301 Abs. 1bis ZGB).
Kern der neuen Gesetzesbestimmung ist die gemeinsame elterliche Sorge auch unverheirateter Eltern; das alleinige Sorgerecht bildet die Ausnahme, zumal Ziel der Sorgerechtsrevision war, der gemeinsamen elterlichen Sorge unabhängig vom Zivilstand der Eltern zum Durchbruch zu verhelfen (Reusser/Geiser, Sorge um die gemeinsame elterliche Sorge, in: ZBJV 2012 S. 758; BBl 2011 S. 9078). Unbestritten ist, dass das gemeinsame Sorgerecht dann nicht in Frage kommt, wenn bei einem Elternteil ein qualifizierter Entziehungsgrund der elterlichen Sorge nach Art. 311 Abs. 1 Ziff. 1 und 2 ZGB vorliegt (so vorab Unerfahrenheit, Krankheit, Gebrechen und Ortsabwesenheit, aber auch nicht ernstliches Kümmern um das Kind oder grobe Pflichtverletzung diesem gegenüber). In der bundesrätlichen Botschaft wurde vertreten, dass andere Gründe für die Nichteinräumung des gemeinsamen Sorgerechts nicht zu berücksichtigen seien. In der parlamentarischen Beratung, und gestützt darauf in der Lehre, wurde diese eher enge Sichtweise in dem Sinn relativiert, als auch andere Gründe gegen die Einräumung des gemeinsamen Sorgerechts sprechen können. Als solche Gründe gälten dabei u.a. ein Dauerkonflikt zwischen den Eltern sowie mangelnde Kooperationsfähigkeit und mangelnder Kooperationswille (Büchler/Maranta, Das neue Recht der elterlichen Sorge, in: Jusletter vom 11.8.2014, Rz 37 ff.; Gloor/Schweighauser, Die Reform des Rechts der elterlichen Sorge – eine Würdigung aus praktischer Sicht, in: FamPra 2014 S. 6 f). Dass nebst den Entzugsgründen von Art. 311 ZGB auch weitere qualifizierte Gründe gegen die Einräumung des gemeinsamen Sorgerechts sprechen können, erscheint insofern nachvollziehbar und korrekt, als der Wortlaut von Art. 298b Abs. 2 ZGB offen formuliert ist und keine Einschränkung auf die erwähnten Entzugsgründe vorsieht. Dem spricht allerdings keineswegs entgegen, dass die Alleinsorge grundsätzlich nur im Ausnahmefall anzuordnen ist; das gemeinsame Sorgerecht ist der Regelfall (relativierend: Felder/Hausheer/Aebi-Müller/Desch, Gemeinsame elterliche Sorge und Kindeswohl, in: ZBJV 2014, S. 901). Zu beachten ist gemäss dem erwähnten einschlägigen Gesetzeswortlaut, dass sich die Beantwortung der Frage nach dem gemeinsamen Sorgerecht vorab am Kindeswohl orientiert. In diesem Zusammenhang stellt sich folgerichtig auch die Frage, ob es dem Wohl des Kindes dient, ausnahmsweise die Alleinsorge eines Elternteils anzuordnen. Bringt dieses Vorgehen dem Kind und dessen Wohl keine Vorteile, soll es beim Regelfall des gemeinsamen Sorgerechts sein Bewenden haben. Mit anderen Worten rechtfertigt sich die Alleinsorge nur, wenn dadurch der Kindeswohlgefährdung überhaupt begegnet werden kann. Liegt die Kindeswohlgefährdung darin, dass sich die Eltern dauernd streiten, wird die Zuteilung der Alleinsorge erfahrungsgemäss dem Streit kein Ende setzen (Geiser, Wann ist bei Kindern Alleinsorge anzuordnen und wie ist diese zu regeln, in: Stiftung für die Weiterbildung schweizerischer Richterinnen und Richter, Das neue Sorgerecht, Olten, 19.8.2014, S. 15; im gleichen Sinn: Büchler/Maranta, a.a.O. Rz 40 a.E.; kritisch: Felder/Hausheer/Aebi-Müller/Desch, a.a.O., S. 896). Zu beachten ist in diesem Zusammenhang überdies, dass von einem konsequent die Kooperation verweigernden Obhutsinhaber gleichsam als "Belohnung" die Alleinsorge erzwungen werden kann (Felder/Hausheer/Aebi-Müller/Desch, a.a.O., S. 899), was als sehr problematisch erscheint und einer Rechtsprechung, die dem Primat des gemeinsamen Sorgerechts nicht Nachdruck verliehe, Auftrieb geben würde. Gleichsam als Präambel über der ganzen Problematik der Frage nach dem gemeinsamen Sorgerecht oder der Alleinsorge ist vor Augen zu halten, dass ein Kind Anspruch darauf hat, dass seine Eltern gemeinsam Verantwortung für seine Entwicklung und Erziehung übernehmen (BBl 2011 S. 9092).
Sollten sich Eltern bei der Fällung gemeinsamer Entscheide nicht einigen können, kann im Sinne von Kindesschutzmassnahmen nach Art. 307 ff. ZGB um Hilfe ersucht und damit Schlichtung und Beratung in Anspruch genommen werden (vgl. Hausheer/Geiser/Aebi-Müller, Das Familienrecht des Schweizerischen Zivilgesetzbuches, 5. Aufl., Bern 2014, Rz 17.128 3. Lemma). Es bleibt jedoch festzuhalten, dass der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde keine Schiedsrichterfunktion zukommt.
3.4.
Für die vorliegende Beurteilung scheint für das Kantonsgericht die unbestrittene Darstellung im angefochtenen Entscheid von zentraler Bedeutung, wonach der Beschwerdegegner in den letzten Jahren eine herzliche Beziehung zu seinem Sohn (A) hat aufbauen können und sein Besuchsrecht (inkl. Übernachtungen) regelmässig wahrnimmt. Es ist demnach von einem intakten emotionalen Verhältnis zwischen Vater und Sohn auszugehen, was von der Beschwerdeführerin nicht bestritten wird. Es ist deshalb das Augenmerk darauf zu legen, dass diese gute Beziehung weiter aufrechterhalten und damit auch gepflegt und vertieft werden kann. Daran ändert die Darstellung der Beschwerdeführerin nichts, dass A im Zusammenhang mit dem Elternkonflikt leidet. Offenbar gelingt es den Parteien bloss schwer, die Eltern- von der Beziehungsebene zu trennen. Zentral ist die aus dem intakten Vater-Sohn-Verhältnis zu gewinnende Erkenntnis, dass in einem wesentlichen Bereich, nämlich im konkreten persönlichen Umgang, zum Wohl von A ein tragfähiges psychosoziales Verhältnis des Kindes zu beiden Elternteilen besteht. Das Kantonsgericht verkennt aus seinem früheren Verfahren mit den Parteien nicht, dass der Aufbau des Besuchsrechts für beide Eltern schmerzhaft und im Zuge des sukzessiven Beziehungsaufbaus zwischen Vater und Sohn, verbunden mit dem gleichzeitig als schwierig empfundenen Prozess des Loslassens auf Seiten der Mutter geschah. Ihre Überängstlichkeit kollidierte (und kollidiert wahrscheinlich heute noch) mit dem fordernden und nicht immer als einfühlbar zu bezeichnenden Verhalten des Vaters. Unbestritten ist denn auch, dass noch heute das Verhältnis der Parteien auf der Beziehungsebene stark belastet ist. Von eben dieser Beziehungsebene ist allerdings zu Gunsten der Elternebene zu abstrahieren, zumal sich diese – je auf das Mutter- resp. Vater-Kind-Verhältnis bezogen – nach dem Gesagten als ungetrübt erweist. Wenn die Beschwerdeführerin davon ausgeht, dass es beim Beschwerdegegner primär um ein Machtgebaren geht, mag dies einiges für sich haben, zumal die belastete Beziehungsebene sicherlich nicht frei von Machtkämpfen ist. Dies hat überdies auch das frühere Verfahren im Zusammenhang mit der Besuchsregelung beredt offenbart. Gleichzeitig weisen diese Machtkämpfe aber auch darauf hin, dass zwei Personen daran beteiligt waren und sind, wobei der Beschwerdeführerin als Obhutsinhaberin und damit näheren Bezugsperson von A eine stärkere Stellung zukommt. In diesem Zusammenhang ist ganz generell festzuhalten, dass die Frage nach den Machtverhältnissen oder gar des Machtkampfs einer Beziehung durchaus immanent ist und mit der menschlichen Natur zusammenhängt. So sind Erziehungsfragen, die im Bereich Ernährung, Bildung und Gesundheit durchaus für das Kind sehr zentrale Fragestellungen betreffen können, auch in sog. intakten Verhältnissen mit unbestrittenem gemeinsamem Sorgerecht durchaus immer wieder Grund für gemeinsame Auseinandersetzungen und für ein Ringen um Lösungen.
Die Beschwerdeführerin führt exemplarisch die Meinungsverschiedenheit im Zusammenhang mit der Einschulung von A auf. Es ist aktenmässig tatsächlich erstellt, dass sich die Parteien über den Zeitpunkt des Eintritts von A in die Schule nicht einigen konnten. Aber gerade eine solche Fragestellung kann sich auch in anderen Familien mit gemeinsamer Sorge ergeben. Entscheidend sind schliesslich die Auswirkungen der Meinungsverschiedenheiten der Eltern auf das betroffene Kind. Die Beschwerdeführerin stellt sich in diesem Zusammenhang auf den Standpunkt, dass A bereits heute – im Status ihrer Alleinsorge – unter den Zerwürfnissen der Eltern leide. Sie behauptet nicht einmal – geschweige vermag sie glaubhaft zu machen –, dass sich an diesem Zustand mit der Alleinsorge in Zukunft etwas zum Guten ändern sollte. Wenn dies aber nicht der Fall ist, so spricht gemäss Lehrmeinung Geiser nichts dagegen, die gemeinsame elterliche Sorge beiden Eltern einzuräumen, weil das gemeinsame Sorgerecht für das Kind im Vergleich zur alleinigen Sorge keinen Nachteil bringt (Geiser, a.a.O., S. 15). Dabei verweist das Kantonsgericht insbesondere auch auf die Auffassung des Gesetzgebers, der in seiner am 1. Juli 2014 in Kraft getretenen Novelle dem gemeinsamen Sorgerecht als grundsätzlich im Kindeswohl liegend den Vorzug gibt. Dies bedeutet im Ergebnis aber auch, dass diesem Vorzug im Zweifelsfall Nachachtung zu verschaffen ist und Ausnahmen restriktiv zu gewähren sind. Damit kommt der Rechtsprechung die Aufgabe zu, den Grundgedanken des gemeinsamen Sorgerechts gesellschaftlich zu verankern und den Diskussionen darüber in späterer Zukunft von vorneherein den Boden zu entziehen.
Mit dem Beispiel der Uneinigkeit der Eltern zur Einschulung von A ist exemplarisch ein mögliches Zerwürfnis angesprochen, das nebst anderen Themen aus Bereichen wie Bildung, Gesundheit und drgl. zu künftigen Meinungsverschiedenheiten wird führen können. Dies geschieht leider auch zum Nachteil und damit zur seelischen Belastung von A, wofür die Eltern die Verantwortung zu tragen haben. Diese erwähnte Belastung stammt aus Entscheidungen für die weitere Entwicklung von A, in die der Beschwerdegegner ohnehin gestützt auf Art. 275a ZGB im Sinn des Anhörungsrechts einbezogen werden muss, und sie hat mit dem an sich rein rechtlichen Konstrukt des gemeinsamen Sorgerechts wenig zu tun. Es bedarf daher keines psychologischen Gutachtens zur Abklärung der Auswirkungen des gemeinsamen Sorgerechts auf das Wohl von A: Dieses wird nicht von der gemeinsamen Sorge als solcher betroffen oder gar beeinträchtigt, sondern vielmehr vom nicht geklärten und befriedeten Verhältnis seiner Eltern untereinander. Ein Gutachter könnte denn auch nicht zuverlässig vorhersagen, welche Auswirkungen ein gemeinsames Sorgerecht auf A haben könnte. Es ist davon auszugehen, dass sich damit bezogen auf das Kind nichts ändern würde, wobei ohnehin bloss von wenigen Einzelentscheidungen im Verlauf seiner Minderjährigkeit auszugehen wäre. Es ist in früherem Zusammenhang die Frage der Machtverhältnisse angesprochen worden. Vorliegend ist davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin mit der Obhut und der alleinigen Sorge über eine faktisch stärkere Machtposition verfügt, die mit dem Grundsatz der Gleichheit von Mann und Frau gemäss Art. 8 der Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft (BV; SR 101) nicht vereinbar ist und in rechtlicher Hinsicht – wenn nicht zu egalisieren – doch einzuschränken ist. Es ist denn auch erklärtes Ziel des Gesetzgebers, diese Ungleichheit mit dem gemeinsamen Sorgerecht zu beseitigen (BBl 2011 S. 9113). Mit der Aufrechterhaltung der alleinigen Sorge durch die Beschwerdeführerin bliebe der Beschwerdegegner gleichermassen "ent"sorgt, mit dem gemeinsamen Sorgerecht wird er im Sinne eines Gleichgewichts in die Sorge und damit in die Verantwortung miteinbezogen. Nur am Rande sei vermerkt, dass er mit seinen unbestritten geleisteten Unterhaltszahlungen bereits bisher einen gewichtigen Teil seiner Verantwortung wahrgenommen hat.
3.5.
Zusammenfassend ergibt sich, dass unbestrittenermassen keine Gründe von Art. 311 ZGB vorliegen, die gegen ein gemeinsames Sorgerecht sprechen. Ebenso ist von einem intakten emotionalen Vater-Sohn-Verhältnis auszugehen. Mit der behutsam erarbeiteten und heute funktionierenden Besuchsrechtsregelung besteht damit im für das Wohl von A wichtigsten und spürbarsten Bereich eine funktionierende Kooperation zwischen den Eltern, weshalb von deren grundsätzlichem Fehlen nicht gesprochen werden kann. Dass in wenigen künftigen wichtigen Fragen, die sich vorhersehbar (Ausbildung und Berufswahl) oder unvorhersehbar (gesundheitliche Fragen) stellen werden, Meinungsverschiedenheiten zwischen den Parteien absehbar sind, rechtfertigt in Abwägung aller Umstände keine Weiterführung des alleinigen Sorgerechts der Beschwerdeführerin. Sodann ist der Beschwerdegegner dabei zu behaften, sich in die Alltagsentscheidungen der Beschwerdeführerin betreffend A nicht einzumischen. Somit spricht einzig gegen ihn, dass er sich entgegen der Empfehlung des Beistands nicht für eine Elternberatung hat motivieren lassen. Das Kantonsgericht gibt ihm an dieser Stelle die dringende Empfehlung, sich mit der Beschwerdeführerin einer solchen Beratung zu unterziehen. Insgesamt spricht dieser Umstand indes nicht gegen die Einräumung des gemeinsamen Sorgerechts, weshalb die Beschwerde als unbegründet abzuweisen ist.