Aus den Erwägungen:
Die Klägerin beantragt auch vor Kantonsgericht die Erteilung der vollumfänglichen unentgeltlichen Rechtspflege unter Einsetzung der Rechtsvertreterin der Kindsmutter, (…), als unentgeltliche Rechtsbeiständin.
5.1.
Nach Art. 117 der Schweizerischen Zivilprozessordnung (ZPO; SR 272) hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, umfasst die unentgeltliche Rechtspflege die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes (Art. 118 Abs. 1 lit. c ZPO). Als bedürftig gilt eine Person dann, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie erforderlich sind. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs. Im Rahmen ihrer Fürsorge- und Unterhaltspflicht haben Eltern für die Prozesskosten ihres minderjährigen Kindes aufzukommen. Diese familienrechtliche Unterstützungspflicht geht der staatlichen Pflicht zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor. Bei der Beurteilung der Frage, ob ein minderjähriges Kind bedürftig sei, dürfen deshalb auch die finanziellen Verhältnisse der Eltern berücksichtigt werden. Die gesuchstellende Person hat nach Art. 119 Abs. 2 Satz 1 ZPO ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen und sich zur Sache sowie über ihre Beweismittel zu äussern. Es trifft sie eine umfassende Mitwirkungsobliegenheit. Insofern gilt im Verfahren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege ein durch die Mitwirkungspflicht eingeschränkter Untersuchungsgrundsatz. An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch die gesuchstellende Person selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind. Das Gericht hat den Sachverhalt aber immerhin dort weiter abzuklären, wo Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, und es hat allenfalls unbeholfene Rechtsuchende auf die Angaben hinzuweisen, die es zur Beurteilung des Gesuchs benötigt. Bei einer anwaltlich vertretenen Partei ist das Gericht nach Art. 97 ZPO nicht verpflichtet, eine Nachfrist anzusetzen, um ein unvollständiges oder unklares Gesuch zu verbessern. Wenn der anwaltlich vertretene Gesuchsteller seinen Obliegenheiten nicht (genügend) nachkommt, kann das Gesuch mangels ausreichender Substanziierung oder mangels Bedürftigkeitsnachweises abgewiesen werden (BGer-Urteil 5A_606/2018 vom 13.12.2018 E. 5.1 ff.).
5.2.
Vorliegend ist zu berücksichtigen, dass der Klägerin von der Vorinstanz, soweit ersichtlich, ohne weitere Abklärungen die unentgeltliche Rechtspflege gewährt worden ist. Dieser Entscheid ist in Rechtskraft erwachsen und kann auch nicht abgeändert werden. Die Klägerin stellt für das Berufungsverfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dass die Klägerin über keine finanziellen Mittel verfügt, ist aus den Akten ersichtlich. Zu beachten ist jedoch, dass nach Art. 276 des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs (ZGB; SR 210) die elterliche Unterhaltspflicht grundsätzlich auch die Übernahme von Prozesskosten des Kindes umfasst, da die familienrechtliche Unterstützungspflicht der staatlichen Pflicht zur Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vorgeht (vgl. Jozic/Boesch, Die unentgeltliche Rechtspflege im Zivilprozess, 4. Aufl. 2012, Ziff. 2.2; Maier, FamPra.ch 2014, S. 639). In diesem Sinne ist ein Kind nur insoweit mittellos, als es auch seine beiden Elternteile sind (Bühler, Berner Komm., Bern 2012, Art. 117 ZPO N 47). Damit hat das Gericht bei der Prüfung des Anspruchs der unentgeltlichen Rechtspflege grundsätzlich auch die finanziellen Verhältnisse der Eltern zu prüfen.
5.3.
In verfahrensmässiger Hinsicht stellt sich nun die Frage, ob dem minderjährigen Kind zuzumuten ist, von ihm zu verlangen, vorgängig zur Einleitung eines Rechtsschutzverfahrens oder zur Einlassung auf ein solches seinen Prozesskostenvorschussanspruch gegenüber seinen nicht freiwillig leistenden Eltern in einem vorsorglichen Massnahmenverfahren durchzusetzen. Wenn die Eltern der Erfüllung der Unterhaltspflicht nicht nachkommen, ist es grundsätzlich nicht zumutbar, über die Prozesskostenvorschusspflicht der Eltern für den Prozess mit einem Dritten vorerst ein vollstreckbares Urteil zu erstreiten (BGer 5A_590/2009 vom 6.1.2010). Aus diesem Grunde gibt es in der Praxis Lösungen, wonach dem minderjährigen Kind die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wird unter dem Vorbehalt, dass kein Elternteil zu einem ausreichenden Prozesskostenvorschuss verpflichtet werden kann (vgl. dazu OG BE: ZK 18 10 vom 17.4.2018).
Auch im Eheschutzverfahren stellt sich die Frage nach der Prozesskostenvorschusspflicht. Gemäss LGVE 2002 I Nr. 37 ist der Eheschutzrichter nicht verpflichtet, über den Antrag eines Ehegatten, der andere habe ihm einen Prozesskostenvorschuss für das Eheschutzverfahren zu leisten, vorab zu entscheiden. An dieser Praxis hat sich seit der Einführung der bundesrechtlichen ZPO nichts geändert. Gemäss Art. 107 Abs. 1 lit. c ZPO können die Kosten in familienrechtlichen Verfahren in Berücksichtigung der Beistandspflicht verteilt werden.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten wie ein minderjähriges Kind prozessual seinen Unterhaltsanspruch gegen den unterhaltsverpflichteten Elternteil geltend macht. Das Kind kann in eigenem Namen (gesetzlich vertreten durch den nicht beklagten Elternteil) Klage erheben (wie vorliegend) oder der nicht beklagte Elternteil kann als Prozessstandschafter in eigenem Namen den Unterhaltsanspruch geltend machen (BGE 142 III 78 E. 3) oder die Unterhaltsklage wird sowohl im Namen des Kindes als auch des Elternteils gegen den beklagten Elternteil eingereicht. Bei allen drei Möglichkeiten sind die Eltern im Prozess involviert, sei es als klägerische oder beklagte Partei oder dann als gesetzlicher Vertreter des Kindes.
Bei der direkten Klage des Kindes (gesetzlich vertreten durch einen Elternteil) gegen den unterhaltsverpflichteten Elternteil ist der Elternteil, welcher das Kind vertritt, formell nicht Prozesspartei. Gegenstand dieses Prozesses bildet dabei der Unterhaltsanspruch des Kindes, bzw. die Frage, wer dessen Bar- und Betreuungsunterhalt deckt. Dabei wird zwangsläufig auch die finanzielle Situation des im Prozess nicht als formelle Partei beteiligten Elternteils geprüft und dieser allenfalls zur Aufnahme einer Erwerbstätigkeit verpflichtet. Von daher ist mit Zogg (Selbstständige Unterhaltsklagen mit Annexentscheid über die weiteren Kinderbelange – verfahrensrechtliche Fragen, in: Fampra.ch 2019, S. 1, 23 und 32 f.) davon auszugehen, dass dem formell nicht als Partei beteiligten Elternteil gewisse parteiähnliche Rechte zugestanden werden. Sofern er gesetzlicher Vertreter des Kindes ist, nimmt er in der Regel diese Rechte auf diesem Wege wahr.
Bei Klage eines Elternteils (als Prozessstandschafter) gegen den anderen Elternteil sind beide Elternteile Partei dieses Verfahrens und die Kosten können gemäss den Bestimmungen von Art. 106 ff. ZPO verteilt werden. Im Grundsatz ist dafür der Ausgang des Verfahrens massgebend (Art. 106 ZPO). In familienrechtlichen Verfahren, wozu auch selbstständige Unterhaltsprozesse zählen, kann das Gericht jedoch von den üblichen Verteilungsgrundsätzen abweichen und die Prozesskosten nach Ermessen verlegen (Art. 107 Abs. 1 lit. c ZPO). Wie bereits erwähnt, haben Eltern die Kosten, die im Zusammenhang mit der Durchsetzung von Kindesunterhaltsansprüchen anfallen, materiell-rechtlich zu tragen (Art. 276 ZGB). Dabei ist der Anteil an der Kostentragung zwischen den Eltern nach denselben Grundsätzen wie in Bezug auf andere, einmalig anfallende Barkosten festzulegen, also namentlich im Verhältnis der jeweiligen Leistungsfähigkeit und der Betreuungsanteile. Nach Zogg muss diese materielle Rechtslage bei der prozessualen Kostenverlegung nach Art. 107 Abs. 1 lit. c ZPO berücksichtigt werden. Wie Zogg richtig ausführt, ist es bei der Klage des Kindes auf Unterhalt wünschenswert, das gleiche Ergebnis zu erzielen. Dabei führt er aus, dass Art. 107 Abs. 1 ZPO, wonach die Prozesskosten in bestimmten Fällen nach Ermessen verteilt werden können, eine Kostenauflage an Drittpersonen nicht erlaube. Auch Art. 108 ZPO lasse sich nur heranziehen, soweit es sich um unnötige Kosten handle. Zu beachten sei, dass der Begriff der «Partei» in Art. 106 ff. ZPO weit zu verstehen sei und über den gewöhnlichen zivilprozessualen Parteibegriff, der den Art. 66 ff. ZPO zugrunde liegt, hinausgehe. Von daher vertritt er die Meinung, dass dem nicht beklagten Elternteil, der in Bezug auf die weiteren Kinderbelange von Amtes wegen in parteiähnlicher Stellung in das Verfahren einzubeziehen ist, in diesem Sinne «Parteistellung» zuzuerkennen ist, sodass er nach Art. 106 ff. ZPO – für das gesamte (einheitliche) Verfahren – kostenpflichtig werden kann. Weder die Tatsache, dass dieser Elternteil nicht formelle (Haupt-)Partei i.S.v. Art. 66 ff. ZPO sei, noch der Umstand, dass er nur in Bezug auf die weiteren Kinderbelange, nicht aber den Unterhalt parteiähnliche Stellung habe, vermöge daran etwas zu ändern (Zogg, a.a.O., S. 30 ff.). Dieser Auffassung kann sich das Kantonsgericht vorbehaltlos anschliessen. Dies ist auch insofern sachgerecht, als ja der Unterhaltsprozess letztlich auch in Zustimmung des gesetzlichen Vertreters erfolgt und wie bereits gesagt, die finanzielle Seite beider Elternteile zu berücksichtigen ist. Kommt hinzu, dass in Prozessen, in welchen das Gericht neben den Unterhaltspflichten noch über weitere Kinderbelange zu entscheiden hat, in der Praxis die Kosten zwischen den Eltern verteilt und nicht dem Kind (als weitere Prozesspartei) überbunden werden.
Zusammenfassend ist daher festzuhalten, dass vorliegend gestützt auf Art. 107 Abs. 1 lit. c ZPO die Prozesskosten auch ganz oder teilweise beiden Elternteilen überbunden werden können. Von daher ist das minderjährige Kind auch nicht zu verpflichten, vorgängig oder parallel oder erst nachträglich vom beistandsverpflichteten Elternteil einen Prozesskostenvorschuss zu erwirken. Sind die Eltern nicht in der Lage, für die Prozesskosten aufzukommen, kann dem Gesuch des Kindes um unentgeltliche Rechtspflege immer noch ganz oder auch nur teilweise (bspw. Kostengutstand für die Anwaltskosten) entsprochen werden.
(…)